Презентация на тему "уравнение касательной к графику функции". Конспект урока "Физический и геометрический смысл производной. Касательная к графику функции" IV Изучение нового материала
Разделы: Математика
Класс: 10
Цель урока. Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме “Геометрический смысл производной.”.
Задачи урока.
- Развивать умения применять теоретические знания при решении заданий различной сложности.
- Подготовка к ЕГЭ
- Развивать умение распределять время урока, оценивать свою учебную деятельность.
Оборудование: Интерактивная доска, презентация, чертежные инструменты, мел, учебники, тетради. У каждого на столе кроссворд.
Тип урока. Урок систематизации и углубления знаний по теме.(подготовка к ЕГЭ.).
Ход урока
1. Повторение теоретического материала. Решение кроссворда (Слайд - 3)
2. Повторить алгоритм составления уравнения касательной . (Слайд - 6.7)
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0 , надо найти
2) у"(x0) =f"(x 0)
3) у(x0) =f(x 0)
4) Подставим найденные числа, в формулу
3. Решение примеров. Взаимопроверка. Самопроверка. Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0.
а) , х 0 =1 (Слайд - 7,8)
б) у=-х 2 +4, х 0 =-1 (Слайд - 9,10)
в)у=х 3 , х 0 =1 (Слайд - 12-15)
г) х 0 =4 (Слайд - 16,17)
д) у = tgx в точке x 0 =0 (Слайд - 20-22)
4. Решение сложных задач.
Второй тип уравнения касательной. (Слайд - 23)
- Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x0), если касательная параллельна прямой y= kx+b.
Алгоритм нахождения.
1. Найдем производную функции.
2. Так как угловой коэффициент касательной к графику функции y= f(x0) равен значению производной функции, т.е. k=f " (x0), то абсциссу точки касания найдем, решив уравнение f "(х0) = k.
3. Найдем значение функции в точке x0 .
4. Подставив найденные значения в формулу получим уравнение касательной.
Третий тип уравнения касательной. (Слайд - 27)
Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).
Алгоитм решения.
- Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).
У=(х-2) 2 -1 ; А(3;-1) (Слайд - 28-30)
Четвертый тип уравнения касательной. (Слайд - 31)
- Составить уравнение общей касательной к графикам функций y= f(X) и y = g (x).
Алгоритм решения.
- Введем предполагаемые точки касания х1 - для функции y= f(x) и х2 - для функции y= g(x).
- Найдем производные данных функций.
- Найдем значения производных в этих точках f "(х1) и g " (х2).
- Найдем значения функций в этих точках y = f(х1) и y = g(х2).
- Составим уравнения касательных соответственно для каждой функции.
- Выпишем угловые коэффициенты k1, k2 и b1, b2.
Так как касательная общая, то угловые коэффициенты равны и равны значения b. k1 = k2 и b1= b2 - Составим систему уравнений и решив ее, найдем значения х1 и х2
- Найденные значения подставим в общие уравнения касательных.
- Уравнения получились одинаковые. Получили уравнение общей касательной к графикам
- Составить уравнение общей касательной к
графикам функций y=f(x) и y= g(x).
У-(х-+2) 2 - 3 и у=х 2 (Слайд - 32-36)
Решение заданий в формате ЕГЭ (Слайд - 37-40)
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Касательная к графику функции. 10 класс
Касательная к графику функции х y 0 A Касательная Прямая, проходящая через точку (х 0 ; f (х 0)), с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях близких к х 0 , называется касательной к графику функции f в точке (х 0 ; f (х 0)).
Касательная есть предельное положение секущей при ∆х →0 х y 0 k – угловой коэффициент прямой(секущей) Угловой коэффициент касательной равен f ˈ(х 0). В этом состоит геометрический смысл производной. Касательная Секущая Автоматический показ. Щелкните 1 раз. Секущая k → f’(x 0)
Касательная к графику дифференцируемой в точке х о функции f – это прямая, проходящая через точку (х о; f (х о)) и имеющая угловой коэффициент f ˈ (х о). Выведем уравнение касательной к графику функции f в точке А (х о; f (х о)). k = f ˈ (х о) => y = fˈ (х о) х + b Найдем b: f (х о) = f ˈ (х о) х о + b => b = f (х о) - f ˈ (х о) х о y = fˈ (х о) х + f (х о) - f ˈ (х о) х о y = f (х о) – f ˈ (х о)(х - х о)
Формула Лагранжа. Если функция дифференцируема, то на интервале (a ; b) найдется такая точка с Є (a ; b) , что f‘ (с) = f (b) – f (a) b - a х y 0 A B a b c l o α C f‘ (c) = tg α l o ll AB
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Работа с целью повторения навыков извлечения числа из арифметического квадратного корня и нахождения значений выражений, отработки навыков сравнения корней. Отработка навыков построения графиков функц...
Презентация к уроку "Как построить график функции y=f(x+l)+m, если известен график функции y=f(x)".
В данной презентации показаны способы построения графиков функций с использованием алгоритмов параллельного переноса графиков основных функций....
Конспект урока с презентацией «Функции. Графики функции и их свойства» 10 класс
Конспект урока по теме «Функции. Графики функции и их свойства» в 10 классе. Тип урока: Обобщение и систематизация знаний. К учебнику Алимова и др.Основная работа на уроке идет по презентации, т...
Урок изучения нового материала в 10 классе
«Уравнение касательной к графику функции»
УМК: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы
(базовый уровень) 2011 год
Предмет: математика.
Класс: 10
Тип урока: изучение нового материала
Тема: Уравнение касательной к графику функции
Цель: вывести формулу уравнения касательной к графику функции в заданной точке, составить алгоритм нахождения уравнения касательной, научиться составлять уравнение касательной.
Задачи:
Обучающие:
отработать и систематизировать навыки и умения по теме «Касательная, уравнение касательной к графику функции».
Развивающие:
способствовать развитию внимания;
способствовать развитию навыков устного счета;
способствовать развитию логического мышления, математической интуиции;
способствовать развитию и пониманию у учащихся меж предметных связей;
Воспитательные:
развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, умение аргументировать свою точку зрения);
создавать условия для осознания необходимости самостоятельных действий при решении проблем;
осознавать большую практическую и историческую значимость производной.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация, учебник, программа «Живая математика», чертежи графиков функций в программе «Живая математика».
Структура и план урока:
1.Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
2.Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
3.Постановка учебной задачи.
4.Открытие нового знания.
Задача 9 слайда презентации: «Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x 2 +3x+1в точке с абсциссой х 0 =1» выводит к следующему этапу урока.
3.Постановка учебной задачи.
Цель: обсуждение затруднений. Почему возникли затруднения? Чего мы еще не знаем? (1-2 мин) Учащиеся формулируют цели и задачи урока.
4.Открытие нового знания.
Цель: построение проекта выхода из затруднения (5-7 мин)
В качестве дополнительного домашнего задания 2 «сильным» ученикам Шеину Ивану и Коневу Виталию было предложено разобраться с помощью учебника с выводом общей формулы уравнения касательной (учебник страница 174) и примером на составление уравнения касательной к графику функции 2 в точке х= 1 (учебник страница 166, пример 2).
Учащиеся записывают свои выводы на доске, остальные записывают в тетрадь. После вывода учащихся учителем демонстрируется чертеж 1, выполненный в программе «Живая математика» (график функции и касательная к нему в точке) и с уравнением касательной.
5.Первичное закрепление во внешней речи.
Цель: проговаривание нового знания, запись в виде опорного сигнала (5 мин).
Класс делится на 4 группы, которым предлагается создать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции. Учащиеся пользуются только общим уравнением касательной. После обсуждения проговаривают алгоритм по пунктам, дополняют, исправляют. В результате демонстрируется .
6.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.
Цель: каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет (5-6 мин).
На этом этапе возвращаемся к задаче слайда 9 о составлении уравнения касательной, учащиеся решают самостоятельно с последующей самопроверкой. , а также чертеж 2 «Живой математики».
7.Включение нового знания в систему знаний и повторение.
Цель: выполняются упражнения, в которых новое знание используется вместе с изученным ранее (10-12 мин).
Работа с задачником: страница 91, самостоятельный выбор номера из №№ 29.12 – 29.16 (ответы есть в учебнике). Ученики имеют возможность выбрать задания по уровню сложности.
ДОМАШНИМ ЗАДАНИЕМ будут эти же номера 29.12 – 29.16, отработать составление уравнения касательной, используя алгоритм. Решить не менее 3 букв, не считая выполненных в классе.
8.Рефлексия деятельности (итог урока).
Цель: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов деятельности своей и всего класса (2-3 мин).
Вопросы:
Какую задачу ставили?
Удалось ли решить поставленную задачу?
Каким способом?
Какие получили результаты?
Где можно применить новые знания?
И, наконец, после «всяких умных вещей» немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения.
Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее вам близок. Имеют ли они отношение к теме нашего урока? По этим графикам можно судить о скорости приращения ваших знаний в ходе урока. График 1 – мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока.
Спасибо за урок!
Литература
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.1,2. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ под ред. А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2011.
Живая математика: сборник методических материалов. – М.: ИНТ. 176 с.
В. М. Чернявский Работа с программой «Живая математика».
Различные Интернет-ресурсы для поиска детьми дополнительной информации по теме «Производная».
Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» демонстрирует учебный материал для освоения темы. В ходе видеоурока представлен теоретический материал, необходимый для формирования понятия об уравнении касательной к графику функции в данной точке, алгоритм нахождения такой касательной, описаны примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.
В видеоуроке используются методы, улучшающие наглядность материала. В представлении вставлены рисунки, схемы, даются важные голосовые комментарии, применяется анимация, выделение цветом и другими инструментами.
Видеоурок начинается с представления темы урока и изображения касательной к графику некоторой функции y=f(x) в точке M(a;f(a)). Известно, что угловой коэффициент касательной, построенной к графику в данной точке, равен производной функции f΄(a) в данной точке. Также из курса алгебры известно уравнение прямой y=kx+m. Схематично представлено решение задачи нахождения уравнения касательной в точке, которая сводится к нахождению коэффициентов k, m. Зная координаты точки, принадлежащей графику функции, можем найти m, подставив значение координат в уравнение касательной f(a)=ka+m. Из него находим m=f(a)-ka. Таким образом, зная значение производной в данной точке и координаты точки, можно представить уравнение касательной таким образом y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Далее рассматривается пример составления уравнения касательной, следуя схеме. Дана функция y=x 2 , x=-2. Приняв а=-2, находим значение функции в данной точке f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Определяем производную функции f΄(х)=2х. В данной точке производная равна f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Для составления уравнения найдены все коэффициенты а=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, поэтому уравнение касательной у=4+(-4)(х+2). Упростив уравнение, получаем у=-4-4х.
В следующем примере предлагается составить уравнение касательной в начале координат к графику функции y=tgx. В данной точке а=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Таким образом, уравнение касательной выглядит у=х.
В качестве обобщения процесс составления уравнения касательной к графику функции в некоторой точке оформляется в виде алгоритма, состоящего из 4 шагов:
- Вводится обозначение а абсциссы точки касания;
- Вычисляется f(a);
- Определяется f΄(х) и вычисляется f΄(a). В формулу уравнения касательной y=f(a)+f΄(a)(x-a) подставляются найденные значения а, f(a), f΄(a).
В примере 1 рассматривается составление уравнения касательной к графику функции у=1/х в точке х=1. Для решения задачи пользуемся алгоритмом. Для данной функции в точке а=1 значение функции f(a)=-1. Производная функции f΄(х)=1/х 2 . В точке а=1 производная f΄(a)= f΄(1)=1. Используя полученные данные, составляется уравнение касательной у=-1+(х-1), или у=х-2.
В примере 2 необходимо найти уравнение касательной к графику функции у=х 3 +3х 2 -2х-2. Основное условие - параллельность касательной и прямой у=-2х+1. Сначала находим угловой коэффициент касательной, равный угловому коэффициенту прямой у=-2х+1. Так как f΄(a)=-2 для данной прямой, то k=-2 и для искомой касательной. Находим производную функции (х 3 +3х 2 -2х-2)΄=3х 2 +6х-2. Зная, что f΄(a)=-2, находим координаты точки 3а 2 +6а-2=-2. Решив уравнение, получаем а 1 =0, а 2 =-2. Используя найденные координаты, можно найти уравнение касательной с помощью известного алгоритма. Находим значение функции в точках f(а 1)=-2, f(а 2)=-18. Значение производной в точке f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Подставив найденные значения в уравнение касательной, получим для первой точки а 1 =0 у=-2х-2, а для второй точки а 2 =-2 уравнение касательной у=-2х-22.
В примере 3 описывается составление уравнения касательной для ее проведения в точке (0;3) к графику функции y=√x. Решение производится по известному алгоритму. Точка касания имеет координаты х=а, где а>0. Значение функции в точке f(a)=√x. Производная функции f΄(х)=1/2√х, поэтому в данной точке f΄(а)=1/2√а. Подставив все полученные значения в уравнение касательной, получаем у=√а+(х-а)/2√а. Преобразовав уравнение, получаем у=х/2√а+√а/2. Зная, что касательная проходит через точку (0;3), находим значение а. Находим а из 3=√а/2. Отсюда √а=6, а=36. Находим уравнение касательной у=х/12+3. На рисунке изображается график рассматриваемой функции и построенная искомая касательная.
Ученикам напоминаются приближенные равенства Δy=≈f΄(x)Δxи f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Принимая х=а, x+Δx=х, Δx=х-а, получаем f(х)- f(а)≈f΄(а)(х-а), отсюда f(х)≈f(а)+f΄(а)(х-а).
В примере 4 необходимо найти приближенное значение выражение 2,003 6 . Так как необходимо отыскать значение функции f(х)=х 6 в точке х=2,003, можем воспользоваться известной формулой, приняв f(х)=х 6 , а=2, f(а)= f(2)=64, f΄(x)=6х 5 . Производная в точке f΄(2)=192. Поэтому 2,003 6 ≈65-192·0,003. Вычислив выражение, получаем 2,003 6 ≈64,576.
Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» рекомендуется использовать на традиционном уроке математики в школе. Учителю, осуществляющему обучению дистанционно, видеоматериал поможет более понятно объяснить тему. Видео может быть рекомендовано для самостоятельного рассмотрения учениками при необходимости углубить их понимание предмета.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Нам известно, что если точка М (а; f(а)) (эм с координатами а и эф от а) принадлежит графику функции у =f (x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f"(a) (эф штрих от а).
Пусть даны функция у = f(x) и точка М (a; f(a)), a также известно, что существует f´(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx+m (игрек равный ка икс плюс эм), поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов k и m.(ка и эм)
Угловой коэффициент k= f"(a). Для вычисления значения m воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(a) = ka+m, откуда находим, что m = f(a) - ka.
Осталось подставить найденные значения коэффициентов kи mв уравнение прямой:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
y = f (a )+ f "(a ) (x - a ). (игрек равен эф от а плюс эф штрих от а, умноженный на икс минус а).
Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х=а.
Если, скажем, у = х 2 и х= -2 (т.е. а = -2), то f(а) = f(-2) = (-2) 2 =4; f´(x) = 2х, значит, f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (то эф от а равно четыре, эф штрих от икс равно два икс, значит эф штрих от а равно минус четыре)
Подставив в уравнение найденные значения a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, получим: у = 4+(-4)(х+2), т.е. у = -4х-4.
(игрек равен минус четыре икс минус четыре)
Составим уравнение касательной к графику функции у = tgx(игрек равен тангенс икс) в начале координат. Имеем: а = 0, f(0) = tg0=0;
f"(x)= , значит, f"(0) = l. Подставив в уравнение найденные значения а=0, f(a)=0, f´(a) = 1, получим: у=х.
Обобщим наши шаги нахождения уравнения касательной к графику функции в точке х с помощью алгоритма.
АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x):
1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.
2) Вычислить f (а).
3) Найти f´(x) и вычислить f´(a).
4) Подставить найденные числа a, f(a), f´(а) в формулуy = f (a )+ f "(a ) (x - a ).
Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции у = - в
точке х = 1.
Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Подставим найденные три числа: а = 1, f(а) = -1, f"(а) = 1 в формулу. Получим: у = -1+(х-1), у = х-2.
Ответ: у = х-2.
Пример 2. Дана функция у = х 3 +3х 2 -2х-2 . Записать уравнение касательной к графику функции у= f(х), параллельной прямой у = -2х +1.
Используя алгоритм составления уравнения касательной, учтем, что в данном примере f(x) = х 3 +3х 2 -2х-2 , но здесь не указана абсцисса точки касания.
Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = -2х+1. А параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой: k кас. = -2. Hok кас. = f"(a). Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f ´(а) = -2.
Найдем производную функции у= f (x ):
f "(x )= (х 3 +3х 2 -2х-2)´ =3х 2 +6х-2; f "(а)= 3а 2 +6а-2.
Из уравнения f"(а) = -2, т.е. 3а 2 +6а-2 =-2 находим а 1 =0, a 2 =-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 0, другая в точке с абсциссой -2.
Теперь можно действовать по алгоритму.
1) а 1 =0, а 2 =-2.
2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2 ; f(a 2)=(-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6 ;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Подставив значения a 1 = 0, f(a 1) =-2, f"(a 1) = -2 в формулу, получим:
у=-2-2(х-0), у=-2х-2.
Подставив значения а 2 =-2, f(a 2) =6, f"(a 2)= -2 в формулу, получим:
у=6-2(х+2), у=-2х+2.
Ответ: у=-2х-2, у=-2х+2.
Пример 3. Из точки (0; 3) провести касательную к графику функции у = . Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере f(x) = . Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее, действуем по алгоритму.
1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Подставив значения a, f(a) = , f"(a) = в формулу
y=f (a) +f "(a) (x-a) , получим:
По условию касательная проходит через точку (0; 3). Подставив в уравнение значения х = 0, у = 3, получим: 3 = , и далее =6, a =36.
Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение a =36 в уравнение, получим: y=+3
На рис. 1 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции у =, проведена прямая у = +3.
Ответ: у = +3.
Нам известно, что для функции y = f(x), имеющей производную в точке х, справедливо приближенное равенство: Δyf´(x)Δx (дельта игрек приближенно равно эф штрих от икс, умноженное на дельта икс)
или, подробнее, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (эф от икс плюс дельта икс минус эф от икс приближенно равно эф штрих от икс на дельта икс).
Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:
вместо х будем писать а ,
вместо х+Δxбудем писать х
вместо Δх будем писать х-а.
Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (эф от икс приближенно равно эф от а плюс эф штрих от а, умноженное на разность икса и а).
Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 2,003 6 .
Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х 6 в точке х = 2,003. Воспользуемся формулой f(x)f(a)+f´(a)(x-a), учтя, что в данном примере f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 и, следовательно, f"(а) = f"(2) = 6·2 5 =192.
В итоге получаем:
2,003 6 64+192· 0,003, т.е. 2,003 6 =64,576.
Если мы воспользуемся калькулятором, то получим:
2,003 6 = 64,5781643...
Как видите, точность приближения вполне приемлема.
План-конспект урока в 10 классе
«Уравнение касательной к графику функции»
Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний и формирования первоначальных предметных навыков, овладения предметными умениями.
Дидактическая задача урока: Обеспечение осознания и усвоения понятий, правил, алгоритмов; формирование умений применения теоретических положений в условиях решения учебных задач.
Цели урока: вывести уравнение касательной к графику функции, научить составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке.
Планируемые результаты:
ЗУНы. Учащиеся должны
знать: уравнение касательной к графику функции в точке х 0 ;
уметь: составлять уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке.
формирование навыка составления уравнения касательной к графику заданной функции в заданной точке.
Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебники, тетради учащихся, письменные принадлежности.
Учитель: Нестерова Светлана Юрьевна
Здравствуйте, ребята! Все готовы к уроку? Можете садиться.1 слайд. «Касательная к графику функции»
Устная работа, направленная на подготовку учащихся к восприятию новой темы (повторение ранее изученного материала)
10.01 – 10.03
Фронтальная
Устная работа
Для того чтобы качественно разобраться с темой сегодняшнего урока, нам необходимо вспомнить то, что мы с вами ранее изучали.
Ответьте на следующие вопросы.
2 слайд.
Графиком какой функции является прямая? (линейной)
Каким уравнением задается линейная функция? (у = k х + b )
Как называется число, стоящее перед « х »? (угловой коэффициент прямой)
По-другому уравнение у = k х + b называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.
3 слайд.
Чему равен угловой коэффициент прямой? (тангенсу угла наклона прямой, который эта прямая образует с положительным направлением оси Ох).
Сформулируйте определение касательной: (прямая, проходящая через точку (х о ; f (х о )), с отрезком которой практически сливается график дифференцируемой в точке х о функции f при значениях х близких к х о ).
4 слайд.
Если в точке x o существует производная , то существует касательная (невертикальная) к графику функции в точке x o .
5 слайд.
Если же f ’ ( x 0 ) не существует, то касательная либо
не существует (как у функции у = |х|),
либо вертикальная (как у графика у = 3 √х).
6 слайд.
Вспоминаем, каким может быть взаимное расположение касательной с осью абсцисс?
Прямая возрастающая => угловой коэффициент k >0, tg > 0 => угол острый.
Прямая // оси ОХ => угловой коэффициент k =0, tg = 0 => угол = 0 0
Прямая убывающая => угловой коэффициент k <0, tg < 0 => угол тупой.
7 слайд.
Геометрический смысл производной:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке проведения касательной k = f `( x o ).
Хорошо, молодцы, повторение окончено.
Тема урока. Постановка цели урока
10.03-10.05
Обсуждение, беседа
Выполните следующее задание:
Дана функция у = х 3 . Напишите уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.
ПРОБЛЕМА ? Да. Каким образом её решать? Ваши варианты? Где вы сможете найти помощь в решении этой проблемы? В каких источниках? Но проблема решаема? Так как вы думаете, какова будет тема нашего урока?
Тема сегодняшнего урока «Уравнение касательной» .
Ну а теперь сформулируйте цели нашего урока (ДЕТИ ):
1. Вывести уравнения касательной к графику функции в точке х о .
2. Научиться составлять уравнение касательной для заданной функции.
Открываем тетради, записываем на полях число, «классная работа», тема урока.
Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала
10.06- 10.12
Фронтальная
Поисково - исследовательская
8 слайд.
Решим эту практическую задачу. Я пишу на доске – вы смотрите, рассуждаете вместе со мной.
Дана функция у = х 3 . Необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 = 1.
Рассуждаем: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .
Для того чтобы его написать, нам необходимо знать значение k и b .
Найдем k (из геометрического смысла производной):
k = f `( x o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, т.е. k = 3 .
Наше уравнение приобретает вид: у = 3х + b .
Вспомните: если прямая проходит через заданную точку, то при подстановке координат этой точки в уравнение прямой должно получиться верное равенство. Значит, нам необходимо найти ординату точки – значение функции в точке х 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Точка касания имеет координаты (1; 1).
Подставляем найденные значения в уравнение прямой, получаем:
1 = 3 . 1+ b ; значит b = - 2 .
Подставим найденные значения k = 3 и b = - 2 в уравнение прямой: у = 3х - 2.
Задача решена.
9 слайд.
А теперь решим эту же задачу в общем виде.
Дана функция у = f ( x ), необходимо написать уравнение касательной к графику этой функции в точке х 0 .
Рассуждаем по той же схеме: уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: у = k х + b .
Из геометрического смысла производной: k = f `( x o )=> у = f `( x o ) * х + b .
Значение функции в точке х 0 есть f ( x o ), значит касательная проходит через точку с координатами ( х 0 ; f ( x o ))=> f ( x o )= f `( x o ) * x o + b .
Выразим из данной записи b : b = f ( x o ) - f `( x o ) * x o .
Подставим все выражения в уравнение прямой:
у = f `( x o ) * х + b = f `( x o ) * х + f ( x o ) - f `( x o ) * x o = f `( x o ) * ( х - x o )+ f ( x o ).
СРАВНИТЬ С УЧЕБНИКОМ (стр. 131)
Найдите, пожалуйста, в тексте учебника запись уравнения касательной и сравните с тем, что у нас получилось.
Запись немного отличается (чем?), но она верна.
Принято записывать уравнение касательной в следующем виде:
у = f ( x o ) + f `( x o )( х - x o )
Запишите эту формулу себе в тетрадь и выделите – вы должны её знать!
9 слайд.
А теперь давайте составим алгоритм нахождения уравнения касательной. Все «подсказки» у нас в формуле.
Найти значение функции в точке х о
Вычислить производную функции
Найти значение производной функции в точке х о
Подставить полученные числа в формулу
y = f ( x o ) + f `( x o )( x – x o )
Привести уравнение к стандартному виду
Отработка первичных навыков
10.12-10.14
Фронтальная
Письменная + совместное обсуждение
Каким образом эта формула работает? Рассмотрим на примере. Записываем пример в тетрадь.
Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = х 3 – 2х 2 + 1 в точке с абсциссой 2.
Выполняем вывод уравнения с записью на доске и в тетрадях.
Ответ: у = 4х – 7.
Работа с источником информации
10.14-10.15
Индивидуальная
Чтение текста, обсуждение
Посмотрите в учебник на с. 131, пример 2. Прочитайте до п.3. О чем идет речь в данном примере? (можно составить уравнение для заданной функции в общем виде и потом найти уравнение касательной при любом значении х 0 , а ещё можно найти точку пересечения касательной к стандартной параболе с осью Ох
Динамическая пауза
10.15-10.16
Отдых
Минутка отдыха.
Слайд – зарядка для тела, зарядка для глаз.
Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач
10.16- 10.30
Фронтальная, индивидуальная
Письменная (доска + тетрадь)
Ну а теперь приступим к практической работе, цель которой – сформировать навык составления уравнения касательной.
На доске записать №№ 255(а, б), 256(а, б), резерв 257 (а, б), * .
* – задание следующего уровня сложности для наиболее подготовленных учеников: На параболе у = 3х 2 - 4х + 6 найти точку, в которой касательная к ней // прямой у =2х+4 и написать уравнение касательной к параболе в этой точке.
Для работы к доске приглашаются учащиеся (поочерёдно).
Ответы:
№255
а) у = - 3х – 6, у = - 3х + 6 б) у = 2х, у = - 2х +4
№256
а) у = 3, у = - 3х + 3π б) у = 2х + 1 – π/ 2 , у = 4х + √3 - 4 π/ 3
№257 (резерв)
а) х = 1, у = 1, в т. (1; 1) касательная // Ох
б) х = - 2, у = - 24, в т. (-2; -24) касательная // Ох
Задание *ответы:
А (1; 5), уравнение касательной у = 2х + 3.
Самостоятельное использование навыков
10.30-10.35
Групповая, индивидуальная, самостоятельная
Письменная (тетрадь), обсуждение работы в парах
Итак, чем мы занимались? Кому был понятен материал? У кого остались вопросы? Проведем самоконтроль понимания темы урока.
Работать вы будете в парах - на столах у вас лежат карточки с заданиями. Внимательно прочитайте задание, на выполнение работы даётся 4-5 минут.
Задание: Написать уравнение касательной к заданной функции f (x ) в точке с заданной абсциссой.
I : f ( x ) = х 2 – 2х – 8, в точке с абсциссой -1 . Ответ: у = -4х – 9.
II : f ( x ) = 2х 2 – 4х + 12, в точке с абсциссой 2 . Ответ: у = 4х + 4.
III : f ( x ) = 3х 2 – х – 9, в точке с абсциссой 1 . Ответ: у = 5х –12.
IV : f ( x ) = 4х 2 + 2х + 3, в точке с абсциссой -0,5 . Ответ: у = -2х + 2.
Проверка выполнения самостоятельной работы
10.35-10.37
Фронтальная, групповая
Осуществление самоконтроля по образцу, обсуждение
На доске (поворотной) ответы. Учащиеся проводят самоконтроль.
У кого получились такие же ответы?
У кого ответы не сошлись?
Где вы допустили ошибку?
Вопросы учащимся на закрепление геометрического смысла производной:
Назовите прямые, которые пересекают ось Ох под острым углом.
Назовите прямые, которые // оси Ох.
Назовите прямые, которые образуют с осью Ох угол, тангенс которого является отрицательным числом.
Рефлексия деятельности
10.37-10.39
Фронтальная
Беседа
Подведение итогов урока.
Какая ПРОБЛЕМА возникла перед нами в ходе урока? (нужно было написать уравнение касательной, а мы не знали, как это сделать)
Какие цели мы с вами ставили на этот урок? (вывести уравнение касательной, научиться составлять уравнение касательной для заданной функции в заданной точке)
Достигли ли вы цели урока?
Кто из вас может сказать с уверенностью, что научился составлять уравнение касательной?
У кого ещё остались вопросы? Мы обязательно ещё будем работать над этой темой и, я надеюсь, проблемы Ваши будут решены на 100%!
Домашнее задание
10.39-10.40
Запишите домашнее задание - №№ 255(вг), 256(вг), 257(вг), * , формула!!!
Посмотрите в учебник на задания вашей домашней работы.
№№ 255(вг), 256(вг) – продолжение классной работы по отработке навыка написания уравнения касательной.
* – задание следующего уровня сложности для тех, кто хочет себя проверить:
На параболе у = х 2 + 5х – 16 найти точку, в которой касательная к ней // прямой 5х+у+4 =0.
Спасибо за работу. Урок окончен.