Высота из прямого угла делит гипотенузу. Прямоугольный треугольник. Обратная теорема Пифагора

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Треугольники.

Основные понятия.

Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .

Сумма углов треугольника равна 180 º .

Высота треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства высоты треугольника:

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:

Медиана треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).

Длину медианы можно вычислить по формуле: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 где m a - медиана, проведенная к стороне а . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: c m c = — 2 где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине

Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .

Две другие стороны называются катетами .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.

Рис.14а

Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).

Свойства равностороннего треугольника:

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ).

Признаки равенства треугольников .

Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c 2 = a 2 + b 2 .

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

ah
S = ——
2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

1
S = — AB · AC · sin A
2

Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).

Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin x .

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x .

Тангенс острого угла x - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg x .

Котангенс острого угла x - это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg x .

Правила:

Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :

b = c · sin x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :

a = c · cos x

Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :

b = a · tg x

Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :

a = b · ctg x .

Для любого острого угла x :

sin (90° - x ) = cos x

cos (90° - x ) = sin x

На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:

А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!

А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Видишь, как здорово:

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

И теперь снова углы и совершили обмен:

Резюме

Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.

Теорема Пифагора:

Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания

Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.

Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!

А теперь соединим отмеченные точки

Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.

Чему же равна площадь большего квадрата?

Правильно, .

А площадь меньшего?

Конечно, .

Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.

Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.

Давай теперь соберем всё вместе.

Преобразуем:

Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.

Прямоугольный треугольник и тригонометрия

Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:

Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе

Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.

И ещё раз всё это в виде таблички:

Это очень удобно!

Признаки равенства прямоугольных треугольников

I. По двум катетам

II. По катету и гипотенузе

III. По гипотенузе и острому углу

IV. По катету и острому углу

a)

b)

Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:

То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.

Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .

Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?

Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.

А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?

Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

I. По острому углу

II. По двум катетам

III. По катету и гипотенузе

Медиана в прямоугольном треугольнике

Почему это так?

Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.

Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?

И что из этого следует?

Вот и получилось, что

1. - медиана:

Запомни этот факт! Очень помогает!

А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.

Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку

Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?

Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».

Посмотрим на и.

Но у подобных треугольников все углы равны!

То же самое можно сказать и про и

А теперь нарисуем это вместе:

Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.

Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.

Запишем отношения соответствующих сторон:

Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :

Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!

Итак, применим подобие: .

Что теперь получится?

Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :

Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.

Запишем их ещё раз

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

• по двум катетам:
• по катету и гипотенузе: или
• по катету и прилежащему острому углу: или
• по катету и противолежащему острому углу: или
• по гипотенузе и остром углу: или.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

• одному острому углу: или
• из пропорциональности двух катетов:
• из пропорциональности катета и гипотенузы: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

• Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
• Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
• Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Высота прямоугольного треугольника: или.

В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .

Площадь прямоугольного треугольника:

• через катеты:

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов - прямой, то есть равен 90 градусам.

• Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой (на рисунке обозначена как c или AB)
• Сторона, прилежащая к прямому углу, называется катетом. Каждый прямоугольный треугольник имеет два катета (на рисунке обозначены как a и b или AC и BC)

Формулы и свойства прямоугольного треугольника

Обозначения формул:

(см. рисунок выше)

a, b - катеты прямоугольного треугольника

c - гипотенуза

α, β - острые углы треугольника

S - площадь

h - высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу

m a a из противолежащего угла (α )

m b - медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β )

m c - медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ )

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора .

Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)

Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул , поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком "Медиана прямоугольного треугольника ", в котором более подробно изложены свойства медианы.

Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)

Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.

Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности . Это свойство часто используется при решении задач.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11)
Синус угла отношению противолежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.

Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)