Քառակուսային հավասարում մեծ թվերով. Քառակուսային հավասարման գործակիցների հատկությունները. Քառակուսային հավասարումներ. միջին մակարդակ

Շարունակելով «Հավասարումների լուծում» թեման՝ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների։

Եկեք մանրամասն դիտարկենք ամեն ինչ՝ քառակուսի հավասարման էությունն ու գրությունը, կսահմանենք հարակից տերմիններ, կվերլուծենք թերի և ամբողջական հավասարումների լուծման սխեման, կծանոթանանք արմատների և դիսկրիմինանտի բանաձևին, կհաստատենք. արմատների և գործակիցների միջև կապեր, և իհարկե գործնական օրինակների տեսողական լուծում կտանք։

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Սահմանում 1

Քառակուսային հավասարումԱրդյո՞ք հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, որտեղ x- փոփոխական, a, b և գ- որոշ թվեր, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները կոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ ըստ էության քառակուսի հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է։

Տրված սահմանումը լուսաբանելու համար բերենք օրինակ. 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: Քառակուսային հավասարումներ են:

Սահմանում 2

a, b և թվերը գԱրդյոք քառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ավագ գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 իսկ ազատ ժամկետն է − 11 ... Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ գ-ը բացասական են, ապա օգտագործվում է ձևի կարճ նշում 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, բայց չէ 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև / կամ բհավասար են 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտ մասնակցություն չունենալ քառակուսի հավասարման գրանցմանը, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցների գրանցման առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 - y + 7 = 0ամենաբարձր գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ըստ առաջին գործակցի արժեքի՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատված և ոչ կրճատվածների։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումՔառակուսային հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է։ Առաջատար գործակիցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չի կրճատվում:

Բերենք օրինակներ՝ կրճատվում են x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 քառակուսային հավասարումները, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 - x - 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ երկու մասերը բաժանելով առաջին գործակցի վրա (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրված չկրճատված հավասարումը, կամ այն նույնպես ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Կոնկրետ օրինակի դիտարկումը թույլ կտա մեզ հստակ ցույց տալ չկրճատված քառակուսային հավասարումից դեպի կրճատված անցման իրականացումը:

Օրինակ 1

Հավասարումը 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 է . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Լուծում

Համաձայն վերը նշված սխեմայի, սկզբնական հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք առաջատար 6 գործակցով: Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0:Հետևաբար. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով, ստացվում է հավասարում, որը համարժեք է տվյալին։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը։ Դրանում մենք պարզաբանել ենք, որ a ≠ 0... Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ճիշտ քառակուսի էր, քանի որ համար a = 0այն ըստ էության վերածվում է գծային հավասարման b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բև գհավասար է զրոյի (ինչը հնարավոր է և՛ առանձին, և՛ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Թերի քառակուսի հավասարումՆման քառակուսի հավասարում է a x 2 + b x + c = 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բև գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- քառակուսի հավասարում, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այդպիսի անուններ:

b = 0-ի համար քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0... ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0որը համարժեք է a x 2 + b x = 0... ժամը b = 0և c = 0հավասարումը դառնում է a x 2 = 0... Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են ամբողջական քառակուսի հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ փոփոխական x անդամ, ոչ ազատ անդամ, ոչ էլ երկուսն էլ միանգամից: Փաստորեն, այս փաստը տվել է այս տիպի հավասարումների անվանումը՝ թերի։

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումներ:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերոնշյալ սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել թերի քառակուսի հավասարումների հետևյալ տեսակները.

a x 2 = 0, նման հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին b = 0և c = 0;
a x 2 + c = 0 b = 0-ի համար;
a x 2 + b x = 0 c = 0-ում:

Եկեք հաջորդաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 = 0 հավասարման լուծում

Ինչպես արդեն նշվեց վերևում, նման հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բև գհավասար է զրոյի: Հավասարումը a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x 2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ահավասար չէ զրոյի. Ակնհայտ փաստ է, որ հավասարման արմատը x 2 = 0այն զրո է, քանի որ 0 2 = 0 ... Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը կարելի է բացատրել աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p 2> 0, որից բխում է, որ համար p ≠ 0հավասարություն p 2 = 0երբեք չի ստացվի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, x 2 = 0 թերի քառակուսի հավասարման համար կա եզակի արմատ. x = 0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք թերի քառակուսի հավասարումը - 3 x 2 = 0... Հավասարումը դրան համարժեք է x 2 = 0, նրա միակ արմատն է x = 0, ապա սկզբնական հավասարումը նույնպես ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Հակիրճ, լուծումը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0:

a x 2 + c = 0 հավասարման լուծում

Հաջորդ քայլը թերի քառակուսի հավասարումների լուծումն է, որտեղ b = 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ. a x 2 + c = 0... Մենք փոխակերպում ենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը տեղափոխելով, նշանը փոխելով հակառակի վրա և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

տեղափոխել գդեպի աջ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = - c;
մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք ա, արդյունքում ստանում ենք x = - c ա.

Մեր փոխակերպումները համարժեք են, համապատասխանաբար, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են իմաստները աև գ c a արտահայտության արժեքը կախված է. այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1և գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = - 2և գ = 6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); դա զրո չէ, քանի որ գ ≠ 0... Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջ p 2 = - c a հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a> 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ է դառնում, որ x 2 = - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 = - c a: Հեշտ է հասկանալ, որ - - c a թիվը նաև x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a:

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք կարող ենք դա ցույց տալ հակասական մեթոդով։ Սկսենք, եկեք սահմանենք վերը նշված արմատների նշումը որպես x 1և - x 1... Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x 2որը տարբերվում է արմատներից x 1և - x 1... Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, հավասարումը վերածում են արդար թվային հավասարության:

Համար x 1և - x 1մենք գրում ենք՝ x 1 2 = - c a, և համար x 2- x 2 2 = - գ ա. Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ իրական հավասարությունը մյուս անդամից հանում ենք անդամով, ինչը մեզ կտա. x 1 2 - x 2 2 = 0... Մենք օգտագործում ենք թվերի վրա կատարվող գործողությունների հատկությունները՝ վերջին հավասարությունը վերագրելու համար որպես (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թվերից գոնե մեկը զրո է։ Ասվածից հետևում է, որ x 1 - x 2 = 0և / կամ x 1 + x 2 = 0որը նույնն է x 2 = x 1և / կամ x 2 = - x 1... Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x 2տարբերվում է x 1և - x 1... Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, բացառությամբ x = - c a և x = - - c a-ի:

Մենք ամփոփում ենք վերը նշված բոլոր պատճառաբանությունները:

Սահմանում 6

Թերի քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

արմատներ չի ունենա - գ ա< 0 ;
կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a համար - c a> 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրված է քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0:Դրա լուծումը պետք է գտնել։

Լուծում

Մենք ազատ տերմինը փոխանցում ենք հավասարման աջ կողմ, այնուհետև հավասարումը կվերցնի ձևը 9 x 2 = - 7:
Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 9 , մենք հասնում ենք x 2 = - 7 9: Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է՝ տրված հավասարումն արմատներ չունի։ Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը - x 2 + 36 = 0.

Լուծում

Տեղափոխեք 36-ը աջ կողմ. - x 2 = - 36.
Եկեք երկու մասերը բաժանենք − 1 , ստանում ենք x 2 = 36... Աջ կողմում կա դրական թիվ, որից կարելի է եզրակացնել x = 36 կամ x = - 36:
Եկեք հանենք արմատը և գրենք վերջնական արդյունքը՝ թերի քառակուսի հավասարում - x 2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x = 6կամ x = - 6.

Պատասխան. x = 6կամ x = - 6.

a x 2 + b x = 0 հավասարման լուծում

Եկեք վերլուծենք երրորդ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումները, երբ c = 0... Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, օգտագործել ֆակտորացման մեթոդը։ Հավասարման ձախ կողմի բազմանդամը գործոնավորում ենք՝ փակագծերից դուրս հանելով ընդհանուր գործակիցը x... Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքին x (a x + b) = 0... Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է մի շարք հավասարումների x = 0և a x + b = 0... Հավասարումը a x + b = 0գծային, և դրա արմատը հետևյալն է. x = - բ ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x = 0և x = - բ ա.

Օրինակով ամրագրենք նյութը.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 հավասարման լուծումը:

Լուծում

Հանել xփակագծերում և ստացիր x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x = 0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հավասարման լուծումը հակիրճ գրում ենք հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7.

Տարբերակիչ, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւը

Քառակուսային հավասարումների լուծում գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 a, որտեղ D = b 2 - 4 a c- քառակուսի հավասարման այսպես կոչված դիսկրիմինանտը:

x = - b ± D 2 · a նշումը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a:

Ավելորդ չի լինի հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել նշված բանաձևը և ինչպես կիրառել այն։

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարման խնդիրը a x 2 + b x + c = 0... Կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանիր թվի աոչ զրոյական, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a · x + c a = 0;
ստացված հավասարման ձախ կողմում ընտրեք լրիվ քառակուսին.
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Դրանից հետո հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝ x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
վերջապես փոխակերպում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

Այսպիսով, մենք եկել ենք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը վերլուծել ենք նախորդ պարբերություններում (թերի քառակուսի հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

ժամը b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0-ի համար հավասարումը ունի x + b 2 a 2 = 0 ձև, ապա x + b 2 a = 0:

Այսպիսով, միակ արմատը x = - b 2 · a ակնհայտ է.

b 2 - 4 a c 4 a 2> 0-ի համար դա ճիշտ կլինի՝ x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 կամ x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, որը նույնն է. ինչպես x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 կամ x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը (և, հետևաբար, սկզբնական հավասարումը) կախված է b 2 - 4 a c 4 արտահայտության նշանից. · Աջ կողմում գրված է 2: Եվ այս արտահայտության նշանը դրվում է համարիչի նշանով, (հայտ 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանով բ 2 - 4 ա գ... Այս արտահայտությունը բ 2 - 4 ա գանունը տրված է - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը և D տառը սահմանվում է որպես դրա նշանակում: Այստեղ կարող եք գրել դիսկրիմինանտի էությունը՝ ըստ արժեքի և նշանի, եզրակացվում է, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա որքան է արմատների թիվը՝ մեկ կամ երկու։

Վերադառնանք x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 հավասարմանը: Մենք այն վերագրում ենք՝ օգտագործելով տարբերակիչի նշումը՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2:

Եկեք նորից ձևակերպենք եզրակացությունները.

Սահմանում 9

ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
ժամը D = 0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a;
ժամը D> 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x = - b 2 a + D 4 a 2 կամ x = - b 2 a - D 4 a 2: Հիմնվելով ռադիկալների հատկությունների վրա՝ այս արմատները կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝ x = - b 2 a + D 2 a կամ - b 2 a - D 2 a: Եվ, երբ բացում ենք մոդուլները և կոտորակները բերում ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք՝ x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a:

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը եղավ քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումը.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, դիսկրիմինատորը Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 - 4 a c.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս զրոյից մեծ դիսկրիմինանտով որոշել երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառումը կտա նույն արմատը, որպես քառակուսի հավասարման միակ լուծումը: Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է՝ փորձելով օգտագործել քառակուսի արմատի բանաձևը, մենք կկանգնենք բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելու անհրաժեշտության առաջ, որը մեզ կտանի իրական թվերից դուրս։ Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են մեր ստացած նույն արմատային բանաձևերով:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց հիմնականում դա արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Դեպքերի մեծ մասում սովորաբար նախատեսված է քառակուսի հավասարման ոչ թե բարդ, այլ իրական արմատների որոնումը: Այնուհետև օպտիմալ է, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում, մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքները.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

ըստ բանաձևի D = b 2 - 4 a cգտնել տարբերակիչի արժեքը.
ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը x = - b 2 · a բանաձեւով;
D> 0-ի համար որոշեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատներ x = - b ± D 2 · a բանաձևով:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձեւը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձեւը:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Եկեք օրինակների լուծում տանք տարբերակիչի տարբեր արժեքների համար:

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է գտնել հավասարման արմատները x 2 + 2 x - 6 = 0.

Լուծում

Գրում ենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a = 1, b = 2 և. գ = - 6... Հաջորդը, մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար փոխարինում ենք a, b գործակիցները և գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստացանք D> 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար օգտագործում ենք x = - b ± D 2 · a արմատային բանաձևը և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք x = - 2 ± 28 2 · 1: Եկեք պարզեցնենք ստացված արտահայտությունը՝ գործակիցը հանելով արմատային նշանից դուրս և այնուհետև կրճատելով կոտորակը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարումը - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Լուծում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Խտրականի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Պատասխան. x = 3, 5.

Օրինակ 8

Անհրաժեշտ է լուծել հավասարումը 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Լուծում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5, b = 6 և c = 2: Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատների բանաձևը՝ կատարելով բարդ թվերով գործողություններ.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 կամ x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i կամ x = - 3 5 - 1 5 · i.

Պատասխան.վավեր արմատներ չկան; բարդ արմատները հետևյալն են՝ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Դպրոցական ծրագրում բարդ արմատներ փնտրելու ստանդարտ պահանջ չկա, հետևաբար, եթե լուծման ժամանակ տարբերակիչը որոշվում է որպես բացասական, անմիջապես արձանագրվում է պատասխան, որ իրական արմատներ չկան։

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Արմատների բանաձեւը x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, օրինակ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Ենթադրենք, մեր առջեւ խնդիր է դրված գտնել a x 2 + 2 n x + c = 0 քառակուսի հավասարման լուծումը: Մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), այնուհետև օգտագործում ենք արմատների բանաձևը.

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Թող n 2 - a · c արտահայտությունը նշանակվի D 1 (երբեմն այն նշվում է D "-ով):Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով կստանա հետևյալ ձևը.

x = - n ± D 1 a, որտեղ D 1 = n 2 - a · c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտորեն, D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ:

Սահմանում 11

Այսպիսով, երկրորդ 2 n գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

գտնել D 1 = n 2 - a · c;
Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
երբ D 1 = 0, որոշեք հավասարման միակ արմատը x = - n a բանաձեւով;
D 1> 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատ x = - n ± D 1 a բանաձեւով:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարումը 5 x 2 - 6 x - 32 = 0:

Լուծում

Տրված հավասարման երկրորդ գործակիցը կարելի է ներկայացնել որպես 2 · (- 3): Այնուհետև մենք վերագրում ենք տրված քառակուսային հավասարումը որպես 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, որտեղ a = 5, n = - 3 և c = - 32:

Մենք հաշվարկում ենք տարբերակիչի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169: Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Սահմանենք դրանք ըստ արմատային համապատասխան բանաձևի.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, բայց այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների տեսակետի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու համար, քան 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու մասերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 հավասարման պարզեցված պատկերը, որը ստացվել է դրա երկու մասերը 100-ի բաժանելով:

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները համապարփակ թվեր չեն։ Այնուհետև, սովորաբար, հավասարման երկու կողմերը բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով:

Որպես օրինակ օգտագործեք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 - 42 x + 48 = 0: Որոշեք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների gcd-ն՝ gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6: Բնօրինակ քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք 6-ի և ստանում համարժեք քառակուսային հավասարում 2 x 2 - 7 x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ սովորաբար ձերբազատվում եք կոտորակային գործակիցներից։ Այս դեպքում բազմապատկեք նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով: Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) = 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի պարզ ձևով x 2 + 4: x - 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ նրանք գրեթե միշտ ազատվում են քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու մասերը բազմապատկելով (կամ բաժանելով) - 1-ով: Օրինակ, քառակուսի հավասարումից - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, կարող եք գնալ դրա պարզեցված տարբերակին 2 x 2 + 3 x - 7 = 0:

Արմատների և գործակիցների հարաբերությունները

Քառակուսային հավասարումների արմատների արդեն հայտնի բանաձեւը x = - b ± D 2 · a արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցներով: Այս բանաձևի հիման վրա մենք կարող ենք նշել այլ կախվածություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Առավել հայտնի և կիրառելի են Վիետայի թեորեմի բանաձևերը.

x 1 + x 2 = - b a և x 2 = c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հակառակ նշանով երկրորդ գործակիցն է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 քառակուսային հավասարման ձևով կարելի է անմիջապես որոշել, որ դրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22 3։

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ հարաբերություններ արմատների և քառակուսի հավասարման գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատում, խնդրում ենք ընտրել այն և սեղմել Ctrl + Enter

Քառակուսային հավասարումներ. Ընդհանուր տեղեկություն.

Վ քառակուսիպետք է լինի x քառակուսու մեջ (այդ պատճառով էլ կոչվում է

«Քառակուսի»): Նրանից բացի, հավասարումը կարող է լինել կամ չլինել միայն x (առաջին աստիճանում) և

ընդամենը մի թիվ (ազատ անդամ). Եվ երկուսից բարձր աստիճանի x-եր չպետք է լինեն:

Ընդհանուր հանրահաշվական հավասարում.

որտեղ x- անվճար փոփոխական, ա, բ, գ- գործակիցներ, և ա≠0 .

Օրինակ:

Արտահայտություն կոչվում են քառակուսի եռանկյուն.

Քառակուսային հավասարման տարրերն ունեն իրենց անունները.

Կոչվում է առաջին կամ ամենաբարձր գործակիցը,

Կոչվում է երկրորդը կամ գործակիցը,

· Զանգել է անվճար անդամ:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում.

Այս քառակուսային հավասարումները ձախ կողմում ունեն տերմինների ամբողջական փաթեթ: X քառակուսի հետ

գործակիցը ա, x գործակցով առաջին հզորությանը բև անվճար անդամհետ։ Վբոլոր հավանականությունները

պետք է լինի ոչ զրոյական:

Անավարտկոչվում է քառակուսի հավասարում, որի գործակիցներից առնվազն մեկը, բացառությամբ

ամենաբարձրը (կամ երկրորդ գործակիցը կամ ազատ անդամը) հավասար է զրոյի։

Եկեք այդպես ձևացնենք բ= 0, - x-ն անհետանում է առաջին աստիճանում: Պարզվում է, օրինակ.

2x 2 -6x = 0,

և այլն: Եվ եթե երկու գործակիցն էլ, բև գհավասար են զրոյի, ապա ամեն ինչ ավելի պարզ է, օրինակ:

2x2 = 0,

Նկատի ունեցեք, որ x քառակուսին առկա է բոլոր հավասարումների մեջ:

Ինչո՞ւ աչի կարող լինել զրո? Այնուհետև x քառակուսին անհետանում է, և հավասարումը դառնում է գծային .

Եվ դա որոշվում է բոլորովին այլ կերպ ...

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է: Քառակուսային հավասարման լուծումները (արմատները) պարաբոլայի հատման կետերն են աբսցիսայի առանցքի հետ։ Եթե քառակուսային ֆունկցիայով նկարագրված պարաբոլան չի հատում աբսցիսան, ապա հավասարումը իրական արմատներ չունի: Եթե պարաբոլան հատում է աբսցիսան մի կետում (պարաբոլայի գագաթը), ապա հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (ասում են նաև, որ հավասարումն ունի երկու համընկնող արմատ): Եթե պարաբոլան հատում է աբսցիսայի առանցքը երկու կետով, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ:

Եթե գործակիցը ադրական, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե բացասական են, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև: Եթե b գործակիցը դրական է, ապա պարաբոլայի գագաթը գտնվում է ձախ կես հարթության մեջ, եթե բացասական է, ապա աջ կիսահարթության մեջ։

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ

ա x 2 + բ x + գ = 0
ա x 2 + բ x = - գ

Բազմապատկեք հավասարումը 4-ով ա

4ա 2 x 2 + 4 աբ x = -4 ակ
4ա 2 x 2 + 4 աբ x + բ 2 = -4ակ + բ 2
(2ա x + բ) 2 = բ 2 -4ակ
2ա x + բ= ± $ \ sqrt (b ^ 2-4 a c) $

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները

Իրական գործակիցներով քառակուսի հավասարումը կարող է ունենալ 0-ից 2 իրական արմատ՝ կախված D = դիսկրիմինանտի արժեքից։ բ 2 − 4ակ:

D> 0-ի համար կա երկու արմատ, և դրանք հաշվարկվում են բանաձևով
D = 0-ի համար կա մեկ արմատ (երկու հավասար կամ համընկնող արմատ), 2 բազմապատկությամբ.

Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել թեման» հավասարումների լուծում«. Մենք արդեն հանդիպել ենք գծային հավասարումների և անցնում ենք ծանոթությանը քառակուսի հավասարումներ.

Նախ, մենք կվերլուծենք, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը, ինչպես է այն գրվում ընդհանուր ձևով և կտանք համապատասխան սահմանումներ: Դրանից հետո, օրինակներով, մանրամասն կվերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները։ Այնուհետև անցնում ենք ամբողջական հավասարումների լուծմանը, ստանում ենք արմատների բանաձևը, ծանոթանում քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտին և դիտարկում բնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, եկեք հետևենք արմատների և գործակիցների հարաբերություններին:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը: Նրանց տեսակները

Նախ պետք է հստակ հասկանալ, թե ինչ է քառակուսի հավասարումը: Ուստի տրամաբանական է քառակուսի հավասարումների մասին խոսել քառակուսի հավասարման, ինչպես նաև հարակից սահմանումներով։ Դրանից հետո կարող եք դիտարկել քառակուսի հավասարումների հիմնական տեսակները՝ կրճատված և չկրճատված, ինչպես նաև ամբողջական և թերի հավասարումներ։

Քառակուսային հավասարումների սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Քառակուսային հավասարումՁևի հավասարում է a x 2 + b x + c = 0, որտեղ x-ը փոփոխական է, a, b և c-ն որոշ թվեր են, իսկ a-ն զրոյական չէ:

Անմիջապես ասենք, որ քառակուսի հավասարումները հաճախ կոչվում են երկրորդ աստիճանի հավասարումներ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը հանրահաշվական հավասարումերկրորդ աստիճան.

Հնչած սահմանումը թույլ է տալիս բերել քառակուսի հավասարումների օրինակներ: Այսպիսով, 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0 և այլն: Քառակուսային հավասարումներ են:

Սահմանում.

Թվերը a, b և c կոչվում են քառակուսի հավասարման գործակիցները a x 2 + b x + c = 0, իսկ a գործակիցը կոչվում է առաջին, կամ ամենաբարձրը, կամ գործակիցը x 2-ում, b-ն երկրորդ գործակիցն է, կամ գործակիցը x-ում, իսկ c-ն ազատ անդամն է:

Օրինակ՝ վերցնենք 5x2 −2x3 = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը, այստեղ առաջատար գործակիցը 5 է, երկրորդը՝ −2, իսկ կտրվածքը՝ −3։ Նկատի ունեցեք, որ երբ b և / կամ c գործակիցները բացասական են, ինչպես հենց բերված օրինակում, ապա քառակուսի հավասարման կարճ ձևը 5 x 2 −2 x − 3 = 0 է, այլ ոչ թե 5 x 2 + (- 2 ) X: + (- 3) = 0:

Հարկ է նշել, որ երբ a և/կամ b գործակիցները հավասար են 1-ի կամ −1-ի, ապա դրանք սովորաբար հստակորեն առկա չեն քառակուսի հավասարման մեջ, ինչը պայմանավորված է այդպիսի գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ՝ y 2 −y + 3 = 0 քառակուսի հավասարման դեպքում առաջատար գործակիցը մեկն է, իսկ y-ի գործակիցը −1 է։

Կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ

Նվազեցված և չկրճատված քառակուսի հավասարումները տարբերվում են՝ կախված առաջատար գործակցի արժեքից։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Կոչվում է քառակուսի հավասարումը, որի առաջատար գործակիցը 1 է կրճատված քառակուսի հավասարում... Հակառակ դեպքում քառակուսի հավասարումը կլինի չկրճատված.

Ըստ այս սահմանման՝ քառակուսի հավասարումներ x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0 և այլն։ - տրված, նրանցից յուրաքանչյուրում առաջին գործակիցը հավասար է մեկի: A 5 x 2 −x − 1 = 0 և այլն: - չկրճատված քառակուսի հավասարումներ, դրանց առաջատար գործակիցները տարբերվում են 1-ից:

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարումից, նրա երկու մասերը բաժանելով առաջատար գործակցի վրա, կարող եք անցնել կրճատվածին։ Այս գործողությունը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ այս կերպ ստացված կրճատված քառակուսային հավասարումն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական չկրճատված քառակուսի հավասարումը, կամ, ինչպես դա, չունի արմատներ։

Օրինակով վերլուծենք, թե ինչպես է կատարվում անցումը չկրճատված քառակուսային հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ.

3 x 2 + 12 x − 7 = 0 հավասարումից անցեք համապատասխան կրճատված քառակուսային հավասարմանը:

Լուծում.

Բավական է, որ սկզբնական հավասարման երկու կողմերը բաժանենք առաջատար 3 գործակցի վրա, այն զրոյական չէ, ուստի կարող ենք կատարել այս գործողությունը։ Մենք ունենք (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, որը նույնն է, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, և ավելին (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, որտեղից. Այսպիսով, մենք ստացանք կրճատված քառակուսի հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին:

Պատասխան.

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Քառակուսային հավասարման սահմանումը պարունակում է a ≠ 0 պայման։ Այս պայմանը անհրաժեշտ է, որպեսզի a x 2 + b x + c = 0 հավասարումը լինի ճիշտ քառակուսի, քանի որ a = 0-ում այն իրականում դառնում է b x + c = 0 ձևի գծային հավասարում:

Ինչ վերաբերում է b և c գործակիցներին, ապա դրանք կարող են զրո լինել և՛ առանձին, և՛ միասին։ Այս դեպքերում քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի:

Սահմանում.

Կոչվում է a x 2 + b x + c = 0 քառակուսի հավասարումը թերիեթե b, c գործակիցներից գոնե մեկը հավասար է զրոյի.

Իր հերթին

Սահմանում.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումՀավասարում է, որտեղ բոլոր գործակիցները զրոյական չեն:

Նման անուններ պատահական չեն տրվում։ Սա պարզ կդառնա հետևյալ նկատառումներից.

Եթե b գործակիցը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը ստանում է a x 2 + 0 x + c = 0 ձևը, և այն համարժեք է a x 2 + c = 0 հավասարմանը: Եթե c = 0, այսինքն, քառակուսի հավասարումը ունի a x 2 + b x + 0 = 0 ձև, ապա այն կարելի է վերագրել որպես x 2 + b x = 0: Իսկ b = 0 և c = 0 դեպքում ստանում ենք a x 2 = 0 քառակուսի հավասարումը: Ստացված հավասարումները տարբերվում են լրիվ քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ո՛չ x փոփոխականով անդամ, ո՛չ ազատ անդամ կամ երկուսն էլ։ Այստեղից էլ նրանց անվանումը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումներ։

Այսպիսով, x 2 + x + 1 = 0 և −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 հավասարումները ամբողջական քառակուսի հավասարումների օրինակներ են, և x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 թերի քառակուսի հավասարումներ են:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունից հետևում է, որ կա երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

a · x 2 = 0, այն համապատասխանում է b = 0 և c = 0 գործակիցներին;
a x 2 + c = 0, երբ b = 0;
և a x 2 + b x = 0, երբ c = 0:

Եկեք հերթականությամբ վերլուծենք, թե ինչպես են լուծվում այս տեսակներից յուրաքանչյուրի ոչ ամբողջական քառակուսային հավասարումները:

a x 2 = 0

Սկսենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծումից, որոնցում b և c գործակիցները հավասար են զրոյի, այսինքն՝ a · x 2 = 0 ձևի հավասարումներով։ a · x 2 = 0 հավասարումը համարժեք է x 2 = 0 հավասարմանը, որը ստացվում է բնագրից՝ բաժանելով դրա երկու մասերը ոչ զրոյական a թվի վրա։ Ակնհայտ է, որ x 2 = 0 հավասարման արմատը զրո է, քանի որ 0 2 = 0: Այս հավասարումն այլ արմատներ չունի, ինչը բացատրվում է, որ, իրոք, ցանկացած ոչ զրոյական p թվի համար գործում է p 2> 0 անհավասարությունը, որտեղից հետևում է, որ p ≠ 0-ի համար p 2 = 0 հավասարությունը երբեք չի ստացվում:

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a · x 2 = 0 ունի մեկ արմատ x = 0:

Որպես օրինակ՝ տանք −4 · x 2 = 0 թերի քառակուսային հավասարման լուծումը։ Այն համարժեք է x 2 = 0 հավասարմանը, նրա միակ արմատը x = 0 է, հետևաբար, սկզբնական հավասարումն ունի եզակի արմատ զրո:

Կարճ լուծում այս դեպքում կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները, որոնցում b գործակիցը հավասար է զրոյի, իսկ c ≠ 0, այսինքն՝ a · x 2 + c = 0 ձևի հավասարումներ։ Մենք գիտենք, որ տերմինը հավասարման մի կողմից հակառակ նշանով մյուսը փոխանցելը, ինչպես նաև հավասարման երկու կողմերը ոչ զրոյական թվի վրա բաժանելը տալիս է համարժեք հավասարում։ Հետևաբար, հնարավոր է իրականացնել թերի քառակուսի հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները a x 2 + c = 0.

տեղափոխեք c-ը դեպի աջ, որը տալիս է 2 = −c հավասարումը,
և նրա երկու մասերը բաժանում ենք a-ի, ստանում ենք.

Ստացված հավասարումը թույլ է տալիս եզրակացություններ անել դրա արմատների մասին: Կախված a-ի և c-ի արժեքներից, արտահայտության արժեքը կարող է լինել բացասական (օրինակ, եթե a = 1 և c = 2, ապա) կամ դրական, (օրինակ, եթե a = -2 և c = 6): , ուրեմն), այն հավասար չէ զրոյի, քանի որ c ≠ 0 վարկածով։ Առանձին քննենք գործերը և.

Եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի: Այս պնդումը բխում է նրանից, որ ցանկացած թվի քառակուսին ոչ բացասական թիվ է։ Այստեղից հետևում է, որ երբ, ապա ցանկացած p թվի համար հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել։

Եթե, ապա հավասարման արմատների հետ կապված իրավիճակը տարբեր է. Այս դեպքում, եթե հիշում եք, ապա հավասարման արմատը անմիջապես ակնհայտ է դառնում, դա թիվ է, քանի որ. Հեշտ է կռահել, որ թիվը նույնպես հավասարման արմատն է, իսկապես,: Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, որոնք կարելի է ցույց տալ, օրինակ, հակասությամբ։ Եկեք անենք դա.

Նշենք հենց նոր հնչած հավասարման արմատները x 1 և −x 1: Ենթադրենք, որ հավասարումն ունի ևս մեկ արմատ x 2, որը տարբերվում է նշված x 1 և −x 1 արմատներից։ Հայտնի է, որ x-ի փոխարեն դրա արմատների փոխարինումը հավասարման մեջ հավասարումը վերածում է իրական թվային հավասարության։ x 1-ի և −x 1-ի համար մենք ունենք, իսկ x 2-ի համար՝ ունենք: Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս կատարել իրական թվային հավասարումների տերմին առ անդամ հանում, ուստի հավասարումների համապատասխան մասերը հանելուց ստացվում է x 1 2 −x 2 2 = 0: Թվերով գործողությունների հատկությունները թույլ են տալիս վերաշարադրել ստացված հավասարությունը որպես (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0: Մենք գիտենք, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն եթե դրանցից գոնե մեկը զրո է։ Ուստի ստացված հավասարությունից բխում է, որ x 1 - x 2 = 0 և / կամ x 1 + x 2 = 0, որը նույնն է, x 2 = x 1 և / կամ x 2 = −x 1: Ահա թե ինչպես եկանք հակասության, քանի որ սկզբում ասում էինք, որ x 2 հավասարման արմատը տարբերվում է x 1-ից և −x 1-ից։ Սա ապացուցում է, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան և.

Եկեք ամփոփենք այս կետի տեղեկատվությունը. Թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + c = 0 համարժեք է այն հավասարմանը, որը

արմատներ չունի, եթե,
ունի երկու արմատ և եթե.

Դիտարկենք a · x 2 + c = 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ:

Սկսենք 9 x 2 + 7 = 0 քառակուսային հավասարումից: Ազատ անդամը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո այն կստանա 9 · x 2 = −7 ձև: Ստացված հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 9-ի` հասնում ենք. Քանի որ աջ կողմում բացասական թիվ կա, այս հավասարումը արմատներ չունի, հետևաբար, սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը 9 · x 2 + 7 = 0 արմատներ չունի:

Լուծեք ևս մեկ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում −x 2 + 9 = 0: Տեղափոխեք ինը դեպի աջ՝ −x 2 = −9: Այժմ երկու կողմերը բաժանում ենք −1-ի, ստանում ենք x 2 = 9։ Աջ կողմում կա դրական թիվ, որից եզրակացնում ենք, որ կամ. Այնուհետև գրում ենք վերջնական պատասխանը՝ −x 2 + 9 = 0 թերի քառակուսի հավասարումը ունի երկու արմատ x = 3 կամ x = −3:

a x 2 + b x = 0

Մնում է զբաղվել վերջին տեսակի թերի քառակուսի հավասարումների լուծումով c = 0-ի համար։ a x 2 + b x = 0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումները թույլ են տալիս լուծել ֆակտորացման մեթոդ... Ակնհայտ է, որ մենք կարող ենք, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում, որի համար բավական է գործակից հանել ընդհանուր x գործակիցը: Սա մեզ թույլ է տալիս սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումից անցնել x · (a · x + b) = 0 ձևի համարժեք հավասարման: Եվ այս հավասարումը համարժեք է x = 0 և a x + b = 0 երկու հավասարումների բազմությանը, որոնցից վերջինը գծային է և ունի x = −b / a արմատ:

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0 ունի երկու արմատ x = 0 և x = −b / a:

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք կոնկրետ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

x-ը փակագծերից դուրս հանելով՝ ստացվում է հավասարում. Այն համարժեք է երկու հավասարումների x = 0 և. Լուծում ենք ստացված գծային հավասարումը. և խառը թիվը սովորական կոտորակի վրա բաժանելուց հետո գտնում ենք. Հետևաբար, սկզբնական հավասարման արմատներն են x = 0 և.

Անհրաժեշտ պրակտիկա ձեռք բերելուց հետո նման հավասարումների լուծումները կարելի է հակիրճ գրել.

Պատասխան.

x = 0,.

Տարբերակիչ, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձեւը

Գոյություն ունի քառակուսի հավասարումների լուծման արմատային բանաձև. Եկեք գրենք քառակուսի բանաձեւ, որտեղ D = b 2 −4 a c- այսպես կոչված քառակուսային տարբերակիչ... Նշումն ըստ էության դա նշանակում է.

Օգտակար է իմանալ, թե ինչպես է ստացվել արմատային բանաձևը և ինչպես է այն կիրառվում քառակուսի հավասարումների արմատները գտնելիս: Եկեք պարզենք այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x + c = 0: Եկեք կատարենք մի քանի համարժեք փոխակերպումներ.

Այս հավասարման երկու կողմերը կարող ենք բաժանել ոչ զրոյական a թվի, արդյունքում ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարումը։
Հիմա ընտրեք ամբողջական քառակուսիիր ձախ կողմում. Դրանից հետո հավասարումը կվերցնի ձևը.
Այս փուլում հնարավոր է վերջին երկու տերմինների փոխանցումը դեպի աջ կողմ հակառակ նշանով, ունենք։
Եվ մենք նաև փոխակերպում ենք աջ կողմի արտահայտությունը.

Արդյունքում մենք գալիս ենք մի հավասարման, որը համարժեք է սկզբնական քառակուսային հավասարմանը a x 2 + b x + c = 0:

Նախորդ պարբերություններում մենք արդեն լուծել ենք ձևով նման հավասարումներ, երբ դրանք վերլուծեցինք: Սա թույլ է տալիս մեզ անել հետևյալ եզրակացությունները հավասարման արմատների վերաբերյալ.

եթե, ապա հավասարումը չունի իրական լուծումներ.
եթե, ապա հավասարումը ունի ձև, հետևաբար, որտեղից նրա միակ արմատը տեսանելի է.
եթե, ապա կամ, որը նույնն է կամ, այսինքն, հավասարումն ունի երկու արմատ.

Այսպիսով, հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը, հետևաբար՝ սկզբնական քառակուսային հավասարումը, կախված է աջ կողմի արտահայտության նշանից։ Իր հերթին այս արտահայտության նշանը որոշվում է համարիչի նշանով, քանի որ 4 · a 2 հայտարարը միշտ դրական է, այսինքն՝ b 2 −4 · a · c արտահայտության նշանը։ Այս b 2 −4 a c արտահայտությունը կոչվում էր քառակուսի հավասարման տարբերակիչև նշվում է տառով Դ... Այսպիսով, դիսկրիմինանտի էությունը պարզ է՝ իր նշանակությամբ և նշանով եզրակացվում է, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, և եթե այո, ապա ո՞րն է դրանց թիվը՝ մեկ կամ երկու։

Վերադառնալով հավասարմանը, այն վերաշարադրեք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշումը. Եվ մենք հետևություններ ենք անում.

եթե Դ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
եթե D = 0, ապա այս հավասարումն ունի մեկ արմատ.
վերջապես, եթե D> 0, ապա հավասարումը ունի երկու արմատ կամ, որոնք, ըստ էության, կարող են վերաշարադրվել կամ ձևով և կոտորակները ընդլայնելուց և ընդհանուր հայտարարի հասցնելուց հետո ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք դուրս բերեցինք քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը, դրանք ունեն այն ձևը, որտեղ դիսկրիմինանտ D-ը հաշվարկվում է D = b 2 −4 · a · c բանաձևով:

Նրանց օգնությամբ, դրական դիսկրիմինանտով, կարող եք հաշվարկել քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները: Երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, երկու բանաձևերն էլ տալիս են նույն արմատային արժեքը, որը համապատասխանում է քառակուսի հավասարման եզակի լուծմանը: Իսկ բացասական տարբերակիչով, երբ փորձում ենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք բախվում ենք բացասական թվի քառակուսի արմատը հանելուն, ինչը մեզ դուրս է բերում դպրոցական ուսումնական ծրագրի շրջանակներից: Բացասական տարբերակիչով քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, բայց ունի զույգ բարդ կոնյուգատարմատներ, որոնք կարելի է գտնել մեր կողմից ստացված նույն արմատային բանաձևերով։

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Գործնականում քառակուսի հավասարումներ լուծելիս կարող եք անմիջապես օգտագործել արմատային բանաձևը, որով կարող եք հաշվարկել դրանց արժեքները։ Բայց սա ավելի շատ բարդ արմատներ գտնելու մասին է:

Այնուամենայնիվ, դպրոցական հանրահաշվի դասընթացում խոսքը սովորաբար ոչ թե բարդ, այլ քառակուսի հավասարման իրական արմատների մասին է: Այս դեպքում խորհուրդ է տրվում նախ գտնել դիսկրիմինատորը, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, համոզվեք, որ այն ոչ բացասական է (հակառակ դեպքում կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), և միայն դրանից հետո. որոնք հաշվարկում են արմատների արժեքները:

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը մեզ թույլ է տալիս գրել քառակուսի հավասարումների լուծիչ... a x 2 + b x + c = 0 քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

տարբերակիչ բանաձեւով D = b 2 −4 · a · c հաշվարկել դրա արժեքը;
եզրակացնել, որ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, եթե դիսկրիմինանտը բացասական է.
հաշվարկել հավասարման միակ արմատը բանաձևով, եթե D = 0;
Գտեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով արմատային բանաձևը, եթե դիսկրիմինանտը դրական է:

Այստեղ մենք պարզապես նշում ենք, որ երբ դիսկրիմինատորը հավասար է զրոյի, բանաձևը նույնպես կարող է օգտագործվել, այն կտա նույն արժեքը, ինչ:

Դուք կարող եք անցնել քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմի օգտագործման օրինակներին:

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Դիտարկենք երեք քառակուսի հավասարումների լուծումներ՝ դրական, բացասական և զրո դիսկրիմինանտներով: Անդրադառնալով դրանց լուծմանը՝ անալոգիայի միջոցով հնարավոր կլինի լուծել ցանկացած այլ քառակուսի հավասարում: Եկ սկսենք.

Օրինակ.

Գտե՛ք x 2 + 2 x − 6 = 0 հավասարման արմատները։

Լուծում.

Այս դեպքում ունենք քառակուսային հավասարման հետևյալ գործակիցները՝ a = 1, b = 2 և c = −6: Ըստ ալգորիթմի, նախ պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը, դրա համար մենք նշված a, b և c-ն փոխարինում ենք տարբերակիչ բանաձևի մեջ, ունենք. D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Քանի որ 28> 0, այսինքն՝ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է, քառակուսի հավասարումն ունի երկու իրական արմատ։ Մենք դրանք գտնում ենք արմատային բանաձևի միջոցով, ստանում ենք, այստեղ կարող եք պարզեցնել անելով ստացված արտահայտությունները հաշվի առնելով արմատի նշանըկոտորակի հետագա կրճատմամբ.

Պատասխան.

Անցնենք հաջորդ բնորոշ օրինակին.

Օրինակ.

Լուծե՛ք −4x2 + 28x − 49 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում.

Մենք սկսում ենք տարբերակիչ գտնելով. D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ, որը մենք գտնում ենք որպես, այսինքն.

Պատասխան.

x = 3,5.

Մնում է դիտարկել քառակուսի հավասարումների լուծումը բացասական դիսկրիմինանտով։

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 հավասարումը։

Լուծում.

Ահա քառակուսի հավասարման գործակիցները՝ a = 5, b = 6 և c = 2: Փոխարինելով այս արժեքները տարբերակիչ բանաձևի մեջ՝ մենք ունենք D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Տարբերիչը բացասական է, հետևաբար, այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է նշել բարդ արմատներ, ապա մենք կիրառում ենք քառակուսի հավասարման արմատների հայտնի բանաձևը և կատարում ենք. բարդ թվերի գործողություններ:

Պատասխան.

իրական արմատներ չկան, բարդ արմատները հետևյալն են.

Կրկին նշեք, որ եթե քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա դպրոցում սովորաբար անմիջապես գրում են պատասխան, որում նշում են, որ իրական արմատներ չկան, և բարդ արմատներ չեն գտնվել:

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևը, որտեղ D = b 2 −4 a ln5 = 2 7 ln5): Եկեք հանենք այն:

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք a x 2 + 2 n x + c = 0 ձևի քառակուսային հավասարումը: Եկեք գտնենք դրա արմատները՝ օգտագործելով մեզ հայտնի բանաձևը։ Դա անելու համար հաշվարկեք դիսկրիմինատորը D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), և այնուհետև մենք օգտագործում ենք արմատների բանաձևը.

n 2 - a · c արտահայտությունը նշանակենք որպես D 1 (երբեմն այն նշվում է D "-ով):Այնուհետև դիտարկված քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 n գործակցով ստանում է ձև. , որտեղ D 1 = n 2 - a · c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D / 4: Այսինքն Դ 1-ը խտրականի չորրորդ մասն է։ Հասկանալի է, որ Դ 1-ի նշանը նույնն է, ինչ Դ-ի նշանը։ Այսինքն՝ D 1 նշանը նաև քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ է։

Այսպիսով, երկրորդ 2 n գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

Հաշվել D 1 = n 2 −a · c;
Եթե D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Եթե D 1 = 0, ապա հաշվարկեք հավասարման միակ արմատը բանաձևով.
Եթե D 1> 0, ապա բանաձևով գտե՛ք երկու իրական արմատ.

Մտածեք այս պարբերությունում ստացված արմատային բանաձևի միջոցով օրինակ լուծել:

Օրինակ.

Լուծե՛ք 5x2 −6x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում.

Այս հավասարման երկրորդ գործակիցը կարող է ներկայացվել որպես 2 · (−3): Այսինքն, դուք կարող եք վերաշարադրել բնօրինակ քառակուսի հավասարումը 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0 ձևով, այստեղ a = 5, n = −3 և c = −32, և հաշվարկել չորրորդ մասը։ տարբերակիչ: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Քանի որ դրա արժեքը դրական է, հավասարումը ունի երկու իրական արմատ: Եկեք գտնենք դրանք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

Նկատի ունեցեք, որ հնարավոր էր օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում ավելի շատ հաշվողական աշխատանք պետք է կատարվեր:

Պատասխան.

Քառակուսային հավասարումների տեսակետի պարզեցում

Երբեմն, բանաձևերով քառակուսի հավասարման արմատների հաշվարկը սկսելուց առաջ, չի խանգարում տալ այն հարցը. «Հնարավո՞ր է պարզեցնել այս հավասարման ձևը»: Համաձայնեք, որ հաշվարկների առումով ավելի հեշտ կլինի լուծել 11 x 2 −4 x − 6 = 0 քառակուսի հավասարումը, քան 1100 x 2 −400 x − 600 = 0։

Սովորաբար, քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումը կատարվում է դրա երկու մասերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով: Օրինակ՝ նախորդ պարբերությունում մեզ հաջողվեց պարզեցնել 1100x2 −400x − 600 = 0 հավասարումը երկու կողմերը 100-ի բաժանելով։

Նմանատիպ փոխակերպումն իրականացվում է քառակուսի հավասարումներով, որոնց գործակիցները չեն։ Այս դեպքում հավասարման երկու կողմերը սովորաբար բաժանվում են նրա գործակիցների բացարձակ արժեքներով: Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 −42 x + 48 = 0։ նրա գործակիցների բացարձակ արժեքները՝ GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6: Նախնական քառակուսի հավասարման երկու կողմերը բաժանելով 6-ի, մենք հասնում ենք 2 x 2 −7 x + 8 = 0 քառակուսային հավասարման։

Իսկ քառակուսի հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը սովորաբար կատարվում է կոտորակային գործակիցներից ազատվելու համար։ Այս դեպքում բազմապատկումն իրականացվում է նրա գործակիցների հայտարարներով։ Օրինակ, եթե քառակուսի հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն LCM (6, 3, 1) = 6-ով, ապա այն ավելի պարզ ձև կստանա x 2 + 4 x − 18 = 0:

Եզրափակելով այս պարբերությունը՝ մենք նշում ենք, որ մենք գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջատար գործակցի մինուսից՝ փոխելով բոլոր անդամների նշանները, ինչը համապատասխանում է երկու մասերը −1-ով բազմապատկելու (կամ բաժանելուն): Օրինակ, սովորաբար −2x2 −3x + 7 = 0 քառակուսի հավասարումից անցնում ենք 2x2 + 3x − 7 = 0 լուծումը։

Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների կապը

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևն արտահայտում է հավասարման արմատները նրա գործակիցներով: Արմատների բանաձևի հիման վրա դուք կարող եք ստանալ այլ կախվածություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը Վիետայի ձևի թեորեմից են և. Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ 3 x 2 −7 x + 22 = 0 քառակուսային հավասարման տեսքով կարող ենք անմիջապես ասել, որ նրա արմատների գումարը 7/3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22/3։

Օգտագործելով արդեն գրված բանաձեւերը՝ կարող եք ստանալ մի շարք այլ հարաբերություններ արմատների և քառակուսի հավասարման գործակիցների միջև։ Օրինակ՝ քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող եք արտահայտել նրա գործակիցների միջոցով.

Մատենագիտություն.

Հանրահաշիվ:ուսումնասիրություն. համար 8 cl. հանրակրթական. հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008 .-- 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
Ա.Գ.ՄորդկովիչՀանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա.Գ. Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., Ջնջված: - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։

Մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներ պահանջում են քառակուսի արմատի արժեքը հաշվարկելու ունակություն: Նման խնդիրները ներառում են երկրորդ կարգի հավասարումների լուծումը: Այս հոդվածում մենք կներկայացնենք քառակուսի արմատները հաշվարկելու արդյունավետ մեթոդ և այն օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերի հետ աշխատելիս:

Ի՞նչ է քառակուսի արմատը:

Մաթեմատիկայի մեջ այս հասկացությունը համապատասխանում է √ նշանին: Պատմական ապացույցները ցույց են տալիս, որ այն առաջին անգամ օգտագործվել է մոտ 16-րդ դարի առաջին կեսին Գերմանիայում (հանրահաշվի մասին առաջին գերմանական աշխատանքը Քրիստոֆ Ռուդոլֆի կողմից): Գիտնականները կարծում են, որ նշված խորհրդանիշը փոխակերպված լատիներեն r տառ է (ռադիքս լատիներեն նշանակում է «արմատ»):

Ցանկացած թվի արմատը հավասար է այն արժեքին, որի քառակուսին համապատասխանում է արմատական արտահայտությանը։ Մաթեմատիկայի լեզվով այս սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ √x = y, եթե y 2 = x:

Դրական թվի արմատը (x> 0) նույնպես դրական թիվ է (y> 0), բայց եթե վերցնենք բացասական թվի արմատը (x.< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Ահա երկու պարզ օրինակ.

√9 = 3, քանի որ 3 2 = 9; √ (-9) = 3i, քանի որ i 2 = -1:

Հերոնի կրկնվող բանաձևը քառակուսի արմատների արժեքները գտնելու համար

Վերոնշյալ օրինակները շատ պարզ են, և դրանցում արմատները հաշվարկելը դժվար չէ։ Դժվարությունները սկսում են ի հայտ գալ արդեն արմատի արժեքները գտնելիս ցանկացած արժեքի համար, որը չի կարող ներկայացվել որպես բնական թվի քառակուսի, օրինակ՝ √10, √11, √12, √13, էլ չասած այն փաստի մասին, որ Գործնականում անհրաժեշտ է գտնել ոչ ամբողջ թվերի արմատները՝ օրինակ √ (12,15), √ (8,5) և այլն։

Վերոնշյալ բոլոր դեպքերում պետք է օգտագործել քառակուսի արմատը հաշվարկելու հատուկ մեթոդ: Ներկայումս հայտնի են մի քանի նման մեթոդներ՝ օրինակ՝ Թեյլորի շարքի ընդլայնում, երկար բաժանում և մի քանի այլ մեթոդներ։ Բոլոր հայտնի մեթոդներից, թերևս, ամենապարզն ու ամենաարդյունավետը Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործումն է, որը նաև հայտնի է որպես քառակուսի արմատները որոշելու բաբելոնյան եղանակ (կա ապացույց, որ հին բաբելոնացիներն այն օգտագործել են իրենց գործնական հաշվարկներում):

Թող անհրաժեշտ լինի որոշել √x-ի արժեքը: Քառակուսի արմատը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

a n + 1 = 1/2 (a n + x / a n), որտեղ lim n-> ∞ (a n) => x.

Եկեք վերծանենք այս մաթեմատիկական նշումը: √x-ը հաշվարկելու համար պետք է վերցնել մի քանի a 0 թիվ (դա կարող է կամայական լինել, սակայն արագ արդյունք ստանալու համար պետք է ընտրել այնպես, որ (a 0) 2-ը հնարավորինս մոտ լինի x-ին: Այնուհետև այն փոխարինել թվով: նշված է քառակուսի արմատը հաշվարկելու բանաձևը և ստանալ նոր a 1 թիվը, որն արդեն մոտ կլինի ցանկալի արժեքին, որից հետո անհրաժեշտ է արտահայտության մեջ փոխարինել 1-ով և ստանալ 2: Այս գործընթացը պետք է կրկնել մինչև ստացվում է պահանջվող ճշգրտությունը.

Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործման օրինակ

Տվյալ թվի քառակուսի արմատ ստանալու համար վերը նկարագրված ալգորիթմը կարող է շատերի համար բավականին բարդ և շփոթեցնող թվալ, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է դառնում, քանի որ այս բանաձևը շատ արագ զուգակցվում է (հատկապես, եթե ընտրված է լավ թիվ a 0): .

Բերենք մի պարզ օրինակ՝ պետք է հաշվարկել √11։ Եկեք ընտրենք 0 = 3, քանի որ 3 2 = 9, որն ավելի մոտ է 11-ին, քան 4 2 = 16-ին: Փոխարինելով բանաձևին, մենք ստանում ենք.

ա 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

ա 2 = 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) = 3,316668;

ա 3 = 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) = 3,31662:

Այնուհետև հաշվարկները շարունակելն իմաստ չունի, քանի որ մենք ստացանք, որ 2-ը և 3-ը սկսում են տարբերվել միայն 5-րդ տասնորդական տեղում: Այսպիսով, 0,0001 ճշտությամբ √11-ը հաշվարկելու համար բավական էր կիրառել բանաձեւը ընդամենը 2 անգամ։

Ներկայումս հաշվիչներն ու համակարգիչները լայնորեն օգտագործվում են արմատները հաշվարկելու համար, այնուամենայնիվ, օգտակար է հիշել նշված բանաձևը, որպեսզի կարողանանք ձեռքով հաշվարկել դրանց ճշգրիտ արժեքը:

Երկրորդ կարգի հավասարումներ

Հասկանալով, թե ինչ է քառակուսի արմատը, և այն հաշվարկելու ունակությունը օգտագործվում է քառակուսի հավասարումներ լուծելիս: Այս հավասարումները կոչվում են մեկ անհայտով հավասարություններ, որոնց ընդհանուր ձևը ներկայացված է ստորև նկարում։

Այստեղ c, b և a-ն ներկայացնում են որոշ թվեր, և a-ն չպետք է լինի զրո, իսկ c և b արժեքները կարող են լինել ամբողջովին կամայական, ներառյալ զրո:

Ցանկացած x արժեք, որը բավարարում է նկարում ներկայացված հավասարությունը, կոչվում է դրա արմատներ (այս հայեցակարգը չպետք է շփոթել √ քառակուսի արմատի հետ): Քանի որ դիտարկվող հավասարումն ունի 2-րդ կարգ (x 2), ապա դրա համար երկու արմատից ավելի չի կարող լինել։ Ինչպես գտնել այս արմատները, մենք կքննարկենք ավելի ուշ հոդվածում:

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները (բանաձև)

Դիտարկվող հավասարումների տիպի լուծման այս մեթոդը կոչվում է նաև ունիվերսալ կամ տարբերակիչի միջոցով մեթոդ։ Այն կարող է կիրառվել ցանկացած քառակուսի հավասարումների վրա: Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը հետևյալն է.

Այն ցույց է տալիս, որ արմատները կախված են հավասարման երեք գործակիցներից յուրաքանչյուրի արժեքից։ Ընդ որում, x 1 հաշվելը տարբերվում է x 2 հաշվարկից միայն քառակուսի արմատից առաջ նշանով։ Արմատական արտահայտությունը, որը հավասար է b 2 - 4ac-ի, ոչ այլ ինչ է, քան դիտարկված հավասարության տարբերակիչ։ Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի տարբերակիչը կարևոր դեր է խաղում, քանի որ այն որոշում է լուծումների քանակը և տեսակը: Այսպիսով, եթե այն զրոյական է, ապա կլինի միայն մեկ լուծում, եթե այն դրական է, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատ, և վերջապես, բացասական դիսկրիմինանտը հանգեցնում է երկու բարդ արմատների x 1 և x 2:

Վիետայի թեորեմը կամ երկրորդ կարգի հավասարումների արմատների որոշ հատկություններ

16-րդ դարի վերջին ժամանակակից հանրահաշվի հիմնադիրներից մեկը՝ ֆրանսիացին, ուսումնասիրելով երկրորդ կարգի հավասարումները, կարողացավ ստանալ դրա արմատների հատկությունները։ Մաթեմատիկորեն դրանք կարելի է գրել այսպես.

x 1 + x 2 = -b / a և x 1 * x 2 = c / a:

Երկու հավասարություններն էլ հեշտությամբ կարելի է ստանալ բոլորի կողմից, դրա համար միայն անհրաժեշտ է կատարել համապատասխան մաթեմատիկական գործողություններ՝ դիսկրիմինանտով բանաձևով ստացված արմատներով։

Այս երկու արտահայտությունների համադրությունը իրավամբ կարելի է անվանել քառակուսի հավասարման արմատների երկրորդ բանաձեւը, որը հնարավորություն է տալիս կռահել դրա լուծումները՝ առանց դիսկրիմինանտ օգտագործելու: Այստեղ պետք է նշել, որ թեև երկու արտահայտություններն էլ միշտ վավեր են, բայց հարմար է դրանք օգտագործել հավասարումը լուծելու համար միայն այն դեպքում, եթե այն կարելի է ֆակտորիզացնել։

Ստացված գիտելիքների համախմբման խնդիր

Եկեք լուծենք մաթեմատիկական խնդիր, որում մենք կցուցադրենք հոդվածում քննարկված բոլոր տեխնիկաները: Խնդրի պայմանները հետևյալն են՝ պետք է գտնել երկու թիվ, որոնց արտադրյալը -13 է, իսկ գումարը՝ 4։

Այս պայմանը անմիջապես հիշեցնում է Վիետայի թեորեմը, կիրառելով քառակուսի արմատների և դրանց արտադրյալների գումարի բանաձևերը, գրում ենք.

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13:

Ենթադրելով a = 1, ապա b = -4 և c = -13: Այս գործակիցները թույլ են տալիս կազմել երկրորդ կարգի հավասարում.

x 2 - 4x - 13 = 0:

Մենք օգտագործում ենք բանաձևը տարբերակիչով, ստանում ենք հետևյալ արմատները.

x 1,2 = (4 ± √D) / 2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68:

Այսինքն՝ առաջադրանքը կրճատվել է մինչև √68 թիվը։ Նշենք, որ 68 = 4 * 17, ապա, օգտագործելով քառակուսի արմատի հատկությունը, ստանում ենք՝ √68 = 2√17:

Այժմ մենք օգտագործում ենք դիտարկվող քառակուսի արմատի բանաձևը՝ a 0 = 4, ապա.

ա 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

ա 2 = 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) = 4,1231:

3-ը հաշվարկելու կարիք չկա, քանի որ հայտնաբերված արժեքները տարբերվում են ընդամենը 0,02-ով: Այսպիսով, √68 = 8.246: Փոխարինելով այն x 1,2 բանաձևով, մենք ստանում ենք.

x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 և x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123:

Ինչպես տեսնում եք, գտնված թվերի գումարն իսկապես հավասար է 4-ի, բայց եթե գտնեք դրանց արտադրյալը, ապա այն հավասար կլինի -12,999-ի, որը բավարարում է խնդրի պայմանը 0,001 ճշտությամբ։