Ուժերի հարթ համակարգ բերելը տվյալ կենտրոն. Ուժերի հարթ համակարգի մինչև տվյալ կետի իջեցման դեպքեր. Զույգ ուժերի հավասարակշռության պայմանները
Թեորեմ . ՈւժՖ , առանց մարմնի վրա իր ազդեցությունը փոխելու, այն կարող է իր A կիրառման կետից տեղափոխվել O իջեցման ցանկացած կենտրոն, իսկ մարմնին միացնելով մի զույգ ուժեր։Մ , երկրաչափորեն հավասար է պահինՄ ՄԱՍԻՆ (Ֆ ) այս ուժի նկատմամբ հղման կենտրոնի նկատմամբ.
Թող ուժը տրվի Ֆ, ընկած հորիզոնական հարթությունում OXY OX առանցքին զուգահեռ (նկ. 1.41):
Ըստ Poinsot մեթոդի ուժի փոխարեն ՖԱ կետում կիրառվող ուժը ստացվում է Ֆ 1, մեծությամբ հավասար է ուժին Ֆ, բայց կիրառվում է O կետում և կցված ուժեր , որի վեկտորային պահը Մ= ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆ).
Համաձայն ուժերի զույգերի համարժեքության թեորեմի՝ կցված ուժերի զույգը կարող է փոխարինվել նույն վեկտորային մոմենտ ունեցող ցանկացած այլ զույգ ուժով։
1.15. Ուժերի կամայական համակարգ բերելը տվյալ կենտրոն
Թեորեմ . Մարմնի վրա ազդող ուժերի ցանկացած կամայական համակարգ, ընդհանուր դեպքում, կարող է կրճատվել ուժի և ուժերի զույգի:
Ուժերի համակարգը մեկ ուժով և զույգ ուժերով փոխարինելու այս գործընթացը կոչվում է ուժերի համակարգը բերելով տվյալ կենտրոն .
Պ
Տրված ուժերի համակարգի յուրաքանչյուրի վրա հաջորդաբար կիրառելով Poinsot մեթոդը, մենք այն բերում ենք կամայական O կենտրոն: Արդյունքում մենք ստանում ենք ուժերի համակարգ ( Ֆ 1 , …, Ֆժդ) կիրառվել է O կենտրոնում, իսկ ուժի կցված զույգը մոմենտի հետ Մ= Σ ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆ i). Ուժերի ավելացում Ֆ 1 , …, Ֆ n զուգահեռագծի կանոնով ստանում ենք դրանց արդյունքը Ռ* , հավասար է տրված ուժերի երկրաչափական գումարին և կիրառվում է կրճատման կենտրոնում։
Համակարգի բոլոր ուժերի երկրաչափական գումարը կոչվում է ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորը և, ի տարբերություն արդյունքի Ռ, նշանակել Ռ * .
Վեկտոր Մ= Σ ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆթ) զանգահարել ուժերի համակարգի հիմնական պահը նվազեցման կենտրոնի նկատմամբ:
Այս արդյունքը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. Տարածության մեջ կամայականորեն տեղակայված ուժերը կարող են կրճատվել մինչև մեկ ուժ, որը հավասար է իրենց հիմնական վեկտորին և կիրառվել կրճատման կենտրոնում և ուժի զույգի վրա, որի մոմենտը հավասար է բոլոր ուժերի հիմնական մոմենտին՝ համեմատած կրճատման կենտրոնի հետ:
Կրճատման կենտրոնի ընտրությունը չի ազդում հիմնական վեկտորի մոդուլի և ուղղության վրա Ռ* , բայց ազդում է հիմնական պահի մոդուլի և ուղղության վրա Մ. Հիմնական վեկտորը Ռ* ազատ վեկտոր է և կարող է կիրառվել մարմնի ցանկացած կետում:
1.16. Անալիտիկ հավասարակշռության պայմաններ ուժերի կամայական հարթ համակարգի համար
Ուժերի հարթ կամայական համակարգ – ուժերի համակարգ, որոնց գործողության գծերը կամայականորեն տեղակայված են նույն հարթության վրա։
Հարթ կամայական ուժերի համակարգի գործողության գծերը հատվում են տարբեր կետերում։
Հ
Ուժերից յուրաքանչյուրի համար հետևողականորեն կիրառելով Poinsot մեթոդը Ֆ i , մենք կիրականացնենք ուժերի զուգահեռ փոխանցում A i կետերից OXYZ հղման շրջանակի սկիզբ O: Այս մեթոդի համաձայն ուժը Ֆես համարժեք կլինեմ ուժին Ֆես կիրառել եմ O կետում, իսկ կցված ուժերի զույգը պահի հետ Մես = ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆես ) . Այս դեպքում M i = ± F i h i, որտեղ h i-ն ուժի թեւն է. ՖԵս՝ կապված կրճատման O կենտրոնի հետ: Այս աշխատանքն ավարտելուց հետո մենք ստանում ենք ուժերի համընկնող համակարգ ( Ֆես,…, Ֆժդ) և վեկտորային մոմենտների կոնվերգենտ համակարգ Մես = ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆթ) կրճատման կենտրոնում կիրառվող ուժերի զուգակցված զույգեր: Ուժերի վեկտորները գումարելով՝ ստանում ենք գլուխները
վեկտոր Ռ* = Σ Ֆես եւ Հիմնական կետնհամարժեք ուժերի զույգ Մ = Σ ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆ i).
Այս կերպ, ուժերի կամայական հարթ համակարգ (F ես ,…, Ֆ n ) համարժեք է մեկ ուժի R* = Σ F ես և M = Σ M մոմենտ ունեցող ուժեր ՄԱՍԻՆ (Ֆ ես ).
Ստատիկ խնդիրներ լուծելիս օգտագործվում են կոորդինատային առանցքների վրա ուժերի կանխատեսումները և միավորի նկատմամբ ուժերի հանրահաշվական մոմենտները:
Նկ. 1.44-ը ցույց է տալիս ուժերի կամայական հարթ համակարգ՝ իջեցված ուժերի հիմնական վեկտորին, որի մոդուլը R * = է։ 
և M = Σ M О հանրահաշվական մոմենտ ունեցող ուժերի համարժեք զույգ Ֆ i).
IN
Երկրաչափական հավասարակշռության պայման Ուժերի ցանկացած համակարգ արտահայտվում է վեկտորային հավասարումներով. Ռ* = Σ Ֆ i = 0; Մ= Σ ՄՄԱՍԻՆ ( Ֆ i) = 0.
Խնդիրները լուծելիս պահանջվում է որոշել ռեակցիաները Ռ i E մեխանիկական համակարգի վրա դրված արտաքին սահմանափակումներ: Միաժամանակ ակտիվ ուժերը Ֆ i E-ն, որը կիրառվում է այս համակարգում, հայտնի են: Քանի որ ակտիվ ուժերը Ֆ i E և կապի ռեակցիաներ Ռ i E-ն պատկանում է արտաքին ուժերի կատեգորիային, ապա նպատակահարմար է արտաքին ուժերի համակարգի երկրաչափական հավասարակշռության պայմանն արտահայտել վեկտորային հավասարումներով.
Σ Ֆ i E + Σ Ռ i E = 0;
Σ ՄԱ( Ֆ i E) + Σ ՄԱ( Ռ i E) = 0:
Արտաքին ուժերի համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ակտիվ ուժերի երկրաչափական գումարը. Ֆ ես Ե և ռեակցիաներ Ռ ես Ե արտաքին կապերը և ակտիվ ուժերի մոմենտների երկրաչափական գումարը Մ Ա ( Ֆ ես Ե ) և արտաքին հարաբերությունների արձագանքները Մ Ա ( Ռ ես Ե ) կամայական A կետի նկատմամբ հավասար էին զրոյի:
Այս վեկտորային հավասարությունները նախագծելով հղման համակարգի կոորդինատային առանցքների վրա՝ մենք ստանում ենք արտաքին ուժերի համակարգի հավասարակշռության վերլուծական պայմաններ . Ուժերի հարթ կամայական համակարգի համար այս հավասարումները ունեն հետևյալ ձևը.
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ M A ( Ֆ i E) + Σ M A ( Ռ i E) = 0,
որտեղ Ս 
,
Σ 
- համապատասխանաբար, OX, OY կոորդինատային առանցքների վրա գործող ուժերի կանխատեսումների գումարը. Ս 
,
Σ 
OX, OY կոորդինատային առանցքների վրա արտաքին կապի ռեակցիաների կանխատեսումների գումարներն են. Σ M A ( Ֆ i E) ակտիվ ուժերի հանրահաշվական մոմենտների գումարն է Ֆ i E հարաբերական A կետին; Σ M A ( Ռ i E) ռեակցիաների հանրահաշվական պահերի գումարն է Ռ i E արտաքին կապեր՝ կապված Ա կետի հետ:
Այս բանաձեւերի համակցությունն է արտաքին ուժերի կամայական հարթ համակարգի հավասարակշռության հավասարումների առաջին (հիմնական) ձևը .
Այս կերպ , մեխանիկական համակարգի նկատմամբ կիրառվող արտաքին ուժերի հարթ կամայական համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ երկու կոորդինատային առանցքների վրա գործող ուժերի և արտաքին կապերի ռեակցիաների կանխատեսումների գումարը և ակտիվ ուժերի հանրահաշվական մոմենտների գումարը. իսկ կամայական A կետի նկատմամբ արտաքին կապերի ռեակցիաները հավասար են զրոյի:
Ուժերի հարթ կամայական համակարգի համար գոյություն ունեն հավասարակշռության հավասարումների այլ ձևեր:
Երկրորդ ձև արտահայտված մի շարք բանաձևերով.
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ M A ( Ֆ i E) + Σ M A ( Ռ i E) = 0;
Σ M B ( Ֆ i E) + Σ M В ( Ռ i E) = 0:
Մարմնի վրա կիրառվող արտաքին ուժերի հարթ կամայական համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ կոորդինատային առանցքի վրա ուժերի կանխատեսումների գումարը և կամայական A և B կետերի նկատմամբ ուժերի հանրահաշվական մոմենտների գումարը հավասար լինեն. զրո.
Երրորդ ձև Հավասարակշռության հավասարումները արտահայտվում են մի շարք բանաձևերով.
Σ M A ( Ֆ i E) + Σ M A ( Ռ i E) = 0;
Σ M B ( Ֆ i E) + Σ M В ( Ռ i E) = 0;
Σ M C ( Ֆ i E) + Σ M С ( Ռ i E) = 0:
Մարմնի վրա կիրառվող արտաքին ուժերի հարթ կամայական համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ այդ ուժերի հանրահաշվական մոմենտների գումարները A, B և C կամայական կետերի նկատմամբ հավասար լինեն զրոյի:
Հավասարակշռության հավասարումների երրորդ ձևն օգտագործելիս A, B և C կետերը չպետք է ընկնեն նույն գծի վրա:
Մեկ ուժը տվյալ կետին հասցնելու նկարագրված մեթոդը կարող է կիրառվել ցանկացած թվով ուժերի նկատմամբ։ Ենթադրենք, որ մարմնի կետերում A, B, CԵվ Դ(նկ. 19) կիրառական ուժեր 1 , 2 , 3 Եվ 4 . Պահանջվում է այդ ուժերը հասցնել կետին ՄԱՍԻՆինքնաթիռներ. Եկեք նախ բերենք ուժը 1 , կիրառվել է կետում ԲԱՅՑ.Եկեք դիմենք մի կետում ՄԱՍԻՆերկու ուժ ’ 1 Եվ ’’ 1 , առանձին մոդուլով հավասար է տրված ուժին 1 դրան զուգահեռ և ուղղված հակառակ ուղղություններով: Ուժը բերելու արդյունքում 1 իշխանություն ստանալ ’ 1 , կիրառվում է կետում ՄԱՍԻՆ, և մի երկու ուժ 1 ’’ 1 (զույգ կազմող ուժերը նշվում են գծիկներով) ուսով ա 1. Նույնն անել ուժով 2 , կիրառվում է կետում IN, մենք ուժ ենք ստանում 2 , կիրառվում է կետում ՄԱՍԻՆ, և մի երկու ուժ 2 ’’ 2 ուս ա 2և այլն:
Կետերում կիրառվող ուժերի հարթ համակարգ ԲԱՅՑ, IN, ԻՑԵվ Դ, փոխարինվել ենք համախմբված ուժերով ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 Եվ ’ 4 , կիրառվում է կետում ՄԱՍԻՆ, և ուժերի զույգեր, որոնց մոմենտը հավասար է տվյալ ուժերի պահերին կետի նկատմամբ ՄԱՍԻՆ:
M 1 = P 1 a 1 = M o ( 1); M 2 = P 2 a 2 = M o (2);
M 3 \u003d - P 3 a 3 \u003d M o (3); M 4 \u003d - P 4 a 4 \u003d M o (4):
Մի կետում համընկնող ուժերը կարող են փոխարինվել մեկ ուժով " հավասար է բաղադրիչների երկրաչափական գումարին,
" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i .(16)
Այս ուժը, որը հավասար է տրված ուժերի երկրաչափական գումարին, կոչվում է ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորը։
Ուժերի զույգ գումարման կանոնի հիման վրա ից-ը կարող է փոխարինվել ստացված զույգով, որի մոմենտը հավասար է կետի վերաբերյալ տրված ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին։ ՄԱՍԻՆ:
M o \u003d M 1 + M 2 + M 3 + M 4 \u003d i \u003d o (i):(17)
Հիմնական վեկտորի պահի անալոգիայով Մ 0զույգեր, որոնք հավասար են կրճատման կենտրոնի վերաբերյալ բոլոր ուժերի պահերի հանրահաշվական գումարին ՄԱՍԻՆ, կանչեց համակարգի հիմնական մոմենտը տվյալ նվազեցման կենտրոնի նկատմամբ Օ.հետևաբար, ընդհանուր դեպքում, ուժերի հարթ համակարգը, տրված O կետի կրճատման արդյունքում, փոխարինվում է համարժեք համակարգով, որը բաղկացած է մեկ ուժից՝ հիմնական վեկտորից և մեկ զույգից, որի մոմենտը կոչվում է հիմնական մոմենտը։ ուժերի տվյալ համակարգի՝ նվազեցման կենտրոնի նկատմամբ։
Դա պետք է հասկանալ հիմնական վեկտորը ’ ուժերի այս համակարգի արդյունքը չէ, քանի որ այս համակարգը համարժեք չէ մեկ ուժի ’. Միայն կոնկրետ դեպքում, երբ հիմնական պահը վերանա, հիմնական վեկտորը կլինի ուժերի այս համակարգի արդյունքը: Քանի որ հիմնական վեկտորը հավասար է տվյալ համակարգի ուժերի երկրաչափական գումարին, ոչ մոդուլը, ոչ նրա ուղղությունը կախված չեն կրճատման կենտրոնի ընտրությունից։ Հիմնական պահի մեծությունը և նշանը Մ 0կախված է կրճատման կենտրոնի դիրքից, քանի որ բաղկացուցիչ զույգերի ուսերը կախված են ուժերի փոխադարձ դիրքից և այն կետից (կենտրոնից), որի նկատմամբ վերցված են պահերը։
Կարող են առաջանալ ուժերի համակարգի կրճատման հետևյալ դեպքերը.
1. «≠ 0; M o ≠ 0 -ընդհանուր դեպք; համակարգը կրճատվում է մինչև հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը:
2. «≠ 0; M o \u003d 0;համակարգը կրճատվում է մինչև մեկ արդյունք, որը հավասար է համակարգի հիմնական վեկտորին:
3. "= 0; M o ≠ 0;համակարգը կրճատվում է մի զույգ ուժերի, որոնց մոմենտը հավասար է հիմնական պահի։
4. " = 0; M o = 0;համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ.
Կարելի է ցույց տալ, որ ընդհանուր առմամբ երբ «≠ 0 և M o ≠ 0,միշտ կա մի կետ, որին հարաբերական է ուժերի համակարգի հիմնական պահը զրո.
Դիտարկենք մի կետի իջեցված ուժերի հարթ համակարգ ՄԱՍԻՆ, այսինքն. փոխարինվել է հիմնական վեկտորով " ≠ 0 , կիրառվում է կետում ՄԱՍԻՆ, և հիմնական կետը M o ≠ 0(նկ. 20):
Հստակության համար մենք ենթադրում ենք, որ հիմնական պահն ուղղված է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, այսինքն. Մ ո< 0. Այս հիմնական պահը մենք ներկայացնում ենք մի զույգ ուժերով "" , որի մոդուլն ընտրում ենք հիմնական վեկտորի մոդուլին հավասար " , այսինքն. Ռ =R'' = R'. Զույգ կազմող ուժերից մեկը ուժն է "" – եկեք կիրառենք կրճատման կենտրոնում ՄԱՍԻՆ, մեկ այլ ուժ՝ ինչ-որ պահի ԻՑ, որի դիրքը որոշվում է պայմանից. M o \u003d OS * R.հետևաբար,
ՕՀ =. (18)
Մի երկու ուժ դնենք "" այնպես որ ուժը "" ուղղված էր հիմնական վեկտորին հակառակ ուղղությամբ " . Կետում ՄԱՍԻՆ(նկ. 20) մենք ունենք երկու հավասար հակադիր ուժեր " Եվ "" , ուղղված մեկ ուղիղ գծով; դրանք կարելի է դեն նետել (ըստ երրորդ աքսիոմի)։ Հետևաբար, կետի առնչությամբ ԻՑՈւժերի դիտարկված համակարգի հիմնական մոմենտը հավասար է զրոյի, իսկ համակարգը իջեցվում է արդյունքի .
§ 18. Թեորեմ արդյունքի պահի մասին (Վարիյոնի թեորեմ)
Ընդհանուր դեպքում (տես § 17), ուժերի կամայական հարթության համակարգը կրճատվում է մինչև հիմնական վեկտորը. " և հիմնական կետը Մ 0համեմատ ընտրված կրճատման կենտրոնի հետ, իսկ հիմնական մոմենտը հավասար է կետի վերաբերյալ տրված ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին. ՄԱՍԻՆ
M o = o (i):(բայց)
Ցույց է տրվել, որ հնարավոր է ընտրել կրճատման կենտրոնը (նկ. 20, կետ ԻՑ), որի համեմատ համակարգի հիմնական մոմենտը հավասար կլինի զրոյի, իսկ ուժերի համակարգը կնվազի մինչև մեկ արդյունք, որը հավասար է հիմնական վեկտորին բացարձակ արժեքով ( R = R'): Եկեք որոշենք արդյունքի պահը կետի նկատմամբ ՄԱՍԻՆ. Հաշվի առնելով, որ ուսի ՕՀուժն է , ստանում ենք
M o () = R*OC = R = M o:(բ)
Երկու մեծություններ, որոնք առանձին հավասար են երրորդին, հավասար են միմյանց, հետևաբար, (ա) և (բ) հավասարումներից մենք գտնում ենք.
M o () = o (i):(19)
Ստացված հավասարումն արտահայտում է Վարինյոնի թեորեմը. կամայական կետի նկատմամբ ստացվող հարթության ուժերի մոմենտը հավասար է նույն կետի նկատմամբ բաղկացուցիչ ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին։
Վարինյոնի թեորեմից հետևում է, որ ուժերի հարթ համակարգի հիմնական մոմենտը դրա արդյունքի գործողության գծի վրա գտնվող ցանկացած կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի։
կամայականորեն տեղակայված ուժերի հարթ համակարգ.
Զույգ ուժերի հավասարակշռության պայմանները.
Եթե մի քանի զույգ ուժեր գործում են տարածության մեջ կամայականորեն տեղակայված կոշտ մարմնի վրա, ապա հաջորդաբար կիրառելով զուգահեռագծի կանոնը ուժերի երկու զույգ մոմենտների նկատմամբ, ցանկացած թվով ուժեր կարող են փոխարինվել մեկ համարժեք զույգ ուժերով. որոնցից հավասար է տրված ուժերի զույգերի մոմենտների գումարին։
Թեորեմ.Հավասարակշռելու համար կիրառվող ուժերի զույգերը ամուր մարմին, անհրաժեշտ է և բավարար, որ երեք կոորդինատային առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա ուժերի զույգերի մոմենտների կանխատեսումների հանրահաշվական գումարը հավասար լինի զրոյի։
Դիտարկենք ուժի փոխանցման դեպքը կամայական կետ, որը չի գտնվում ուժի գործողության գծի վրա:
Վերցրեք F ուժը, որը կիրառվում է C կետում: Պահանջվում է այս ուժը փոխանցել իրեն զուգահեռ ինչ-որ O կետի: Մենք կիրառում ենք երկու ուժ F «և F» O կետում, հակառակ ուղղված, արժեքով հավասար և տվյալ ուժին զուգահեռ: F, այսինքն F " \u003d F "\u003d F. Այս ուժերի O կետում կիրառելուց մարմնի վիճակը չի փոխվում, քանի որ դրանք փոխադարձ հավասարակշռված են: Ստացված երեք ուժերի համակարգը կարելի է համարել, որ բաղկացած է F ուժից, որը կիրառվում է O կետում, և FF ուժերի զույգից՝ M = Fa մոմենտով: Ուժերի այս զույգը կոչվում է կից, իսկ նրա a ուսը հավասար է F ուժի ուսին O կետի նկատմամբ։
Այսպիսով, երբ F ուժը կրճատվում է մի կետի, որը չի գտնվում ուժի գործողության գծի վրա, ստացվում է համարժեք համակարգ, որը բաղկացած է ուժից, որը մեծությամբ և ուղղությամբ նույնն է, ինչ F ուժը, և կցված է. Զույգ ուժեր, որոնց մոմենտը հավասար է այս ուժի մոմենտին, որը կապված է արձակվող կետի հետ.
Որպես ուժի նվազեցման օրինակ դիտարկենք F ուժի ազդեցությունը սեղմված ձողի C ծայրի վրա (նկ. 28, բ): F ուժը մատնված հատվածի O կետին բերելուց հետո մենք գտնում ենք նրանում տրվածին հավասար և զուգահեռ F1 ուժը, իսկ կցված մոմենտը M, որը հավասար է տրված F ուժի մոմենտին O հղման կետի նկատմամբ։ ,
1.4.2 Ուժերի հարթ համակարգը տվյալ կետին հասցնելը
Մեկ ուժը տվյալ կետին հասցնելու նկարագրված մեթոդը կարող է կիրառվել ցանկացած թվով ուժերի նկատմամբ։ Ենթադրենք մարմնի A, B, C և D կետերում (նկ. 30) կիրառվում են F1, F2, F3, F4 ուժերը։
Պահանջվում է այդ ուժերը հասցնել հարթության O կետին: Սկզբում տանք A կետում կիրառված F1 ուժը: O կետում կիրառում ենք երկու ուժ F1 «և F1»՝ դրան զուգահեռ և ուղղված հակառակ ուղղություններով: F1 ուժը բերելու արդյունքում ստանում ենք F1 ուժը»: կիրառվել է O կետում, և F1 «F1» զույգ ուժեր «a1 ուսով: Նույնը անելով B կետում կիրառված F2 ուժի հետ, մենք ստանում ենք F2 ուժը, որը կիրառվում է O կետում, և մի զույգ ուժեր՝ a. ուս a2 և այլն:
Մենք A, B, C և D կետերում կիրառվող ուժերի հարթ համակարգը փոխարինեցինք O կետում կիրառվող F1, F2, F3, F4 կոնվերգացիոն ուժերով, իսկ ուժերի զույգերը՝ O կետի նկատմամբ տրված ուժերի մոմենտներին հավասար մոմենտներով.
Մի կետում համընկնող ուժերը կարող են փոխարինվել մեկ ուժով F «ch, որը հավասար է բաղադրիչների երկրաչափական գումարին,
Այս ուժը, որը հավասար է տրված ուժերի երկրաչափական գումարին, կոչվում է ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորըև նշանակել F «ch.
Ուժերի զույգ գումարման կանոնի հիման վրա դրանք կարող են փոխարինվել ստացված զույգով, որի մոմենտը հավասար է O կետի վերաբերյալ տրված ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին և կոչվում է. ընդգծելհղման կետի համեմատ
Հետևաբար, ընդհանուր դեպքում ուժերի հարթ համակարգը, մինչև տրված O կետի իջեցման արդյունքում, փոխարինվում է մեկ ուժից (հիմնական վեկտոր) և մեկ զույգից (հիմնական պահից) բաղկացած համարժեք համակարգով։
Պետք է սովորել, որ հիմնական վեկտորը F "ch-ը ուժերի այս համակարգի արդյունքն է, քանի որ այս համակարգը համարժեք չէ մեկ ուժի F "ch: Միայն կոնկրետ դեպքում, երբ հիմնական պահը վերանա, հիմնական վեկտորը կլինի ուժերի այս համակարգի արդյունքը: Քանի որ հիմնական վեկտորը հավասար է տվյալ համակարգի ուժերի երկրաչափական գումարին, ոչ մոդուլը, ոչ նրա ուղղությունը կախված չեն կրճատման կենտրոնի ընտրությունից: Հիմնական պահի Mg արժեքն ու նշանը կախված են կրճատման կենտրոնի դիրքից, քանի որ բաղկացուցիչ զույգերի ուսերը կախված են ուժերի փոխադարձ դիրքից և այն կետից (կենտրոնից), որի նկատմամբ վերցված են պահերը։
Կարող են առաջանալ ուժերի համակարգի կրճատման հետևյալ դեպքերը.
1. - ընդհանուր գործ; համակարգը կրճատվում է մինչև հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը:
2.; համակարգը կրճատվում է մինչև մեկ արդյունք, որը հավասար է համակարգի հիմնական վեկտորին:
3.; համակարգը կրճատվում է մի զույգ ուժերի, որոնց մոմենտը հավասար է հիմնական պահի։
4. ; Համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, այսինքն՝ ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ նրա հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը միաժամանակ հավասար լինեն զրոյի։
Կարելի է ապացուցել, որ ընդհանուր դեպքում, երբ միշտ կա մի կետ, որի նկատմամբ ուժերի հիմնական մոմենտը հավասար է զրոյի։
Դիտարկենք ուժերի հարթ համակարգ, որը կրճատվում է մինչև O կետը, այսինքն՝ փոխարինվում է O կետում կիրառվող հիմնական վեկտորով և հիմնական պահով: Հստակության համար մենք ենթադրում ենք, որ հիմնական պահն ուղղված է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, այսինքն. Եկեք այս հիմնական պահը ներկայացնենք FF ուժերի զույգով», որի մոդուլը մենք կընտրենք հավասար հիմնական վեկտորի մոդուլին, այսինքն. Մենք կկիրառենք այն ուժերից մեկը, որը կազմում է զույգը O նվազեցման կենտրոնում, C կետի մյուս ուժը, որի դիրքը կորոշվի հետևյալ պայմանով.
Եկեք դասավորենք մի զույգ ուժեր այնպես, որ F "" ուժը ուղղված լինի F "ch" հիմնական վեկտորին հակառակ ուղղությամբ: O կետում մենք ունենք երկու հավասար հակադիր ուժեր F "ch և F" "ուղղված մեկ ուղիղ գծով: ; դրանք կարելի է դեն նետել (ըստ երրորդ աքսիոմի)։ Հետևաբար, C կետի նկատմամբ դիտարկվող ուժերի համակարգի հիմնական մոմենտը հավասար է զրոյի, իսկ համակարգը կրճատվում է մինչև արդյունքը։
Մեկ ուժը տվյալ կետին հասցնելու մեթոդը կարող է կիրառվել ցանկացած թվով ուժերի նկատմամբ։ Ենթադրենք, որ մարմնի որոշ կետերում (նկ. 1.24) ուժեր են գործադրվում F 1 F 2 , F 3Եվ F4.Պահանջվում է այդ ուժերը հասցնել կետին ՄԱՍԻՆինքնաթիռներ. Եկեք նախ տանք կետում կիրառվող ուժը ԲԱՅՑ.Եկեք կիրառենք (տես § 16) կետում ՄԱՍԻՆերկու ուժեր, որոնք առանձին արժեքով հավասար են իրեն զուգահեռ և հակառակ ուղղություններով ուղղված տվյալ ուժին: Ուժը բերելու արդյունքում ստանում ենք ուժ , կիրառվում է O կետում, և մի զույգ ուժեր ուսի հետ . Նույնն անել ուժով , կիրառվել է կետում IN,իշխանություն ստանալ , կիրառվել է կետում ՄԱՍԻՆ,և մի զույգ ուժեր ուսի հետ և այլն։ Կետերում կիրառվող ուժերի հարթ համակարգ A, B, CԵվ Դ,մենք փոխարինվել ենք համախմբված ուժերով , կցված է մի կետում ՄԱՍԻՆ,և ուժերի զույգեր, որոնց մոմենտները հավասար են կետի վերաբերյալ տրված ուժերի պահերին ՄԱՍԻՆ:
նկ.1.24
Մի կետում համընկնող ուժերը կարող են փոխարինվել մեկ ուժով, որը հավասար է բաղադրիչների երկրաչափական գումարին.
Այս ուժը, որը հավասար է տրված ուժերի երկրաչափական գումարին, կոչվում է ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորըև նշել.
Կոորդինատային առանցքների վրա հիմնական վեկտորի կանխատեսումների մեծությամբ մենք գտնում ենք հիմնական վեկտորի մոդուլը.
Ուժերի զույգ գումարման կանոնի հիման վրա դրանք կարող են փոխարինվել ստացված զույգով, որի մոմենտը հավասար է կետի վերաբերյալ տրված ուժերի մոմենտի հանրահաշվական գումարին։ ՄԱՍԻՆև կանչեց ընդգծելհղման կետի համեմատ
Այսպիսով, ուժերի կամայական հարթ համակարգը կարող է կրճատվել մեկ ուժի(ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորը) և մեկ րոպե(ուժերի համակարգի հիմնական պահը):
Պետք է սովորել, որ հարյուր հիմնական վեկտորը ուժերի այս համակարգի արդյունքը չէ, քանի որ այս համակարգը համարժեք չէ մեկ ուժի: Քանի որ հիմնական վեկտորը հավասար է տվյալ համակարգի ուժերի երկրաչափական գումարին, ոչ մոդուլը, ոչ նրա ուղղությունը կախված չեն կրճատման կենտրոնի ընտրությունից: Հիմնական պահի արժեքը և նշանը կախված է կրճատման կենտրոնի դիրքից, քանի որ բաղկացուցիչ զույգերի ուսերը կախված են ուժերի փոխադարձ դիրքից և այն կետից (կենտրոնից), որի նկատմամբ վերցված են պահերը:
Ուժերի համակարգը բերելու հատուկ դեպքեր.
մեկ); համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, այսինքն. Ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ դրա հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը միաժամանակ հավասար լինեն զրոյի:
Տրված O կետի նկատմամբ F ուժի պահը նրա ուսի վրա ուժի մեծության արտադրյալն է, այսինքն՝ O կետից դեպի այս ուժի գործողության գիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունը։
Եթե F ուժը հակված է պտտել մարմինը O կետի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ ուղղությամբ, ապա մենք համաձայն ենք, որ F ուժի մոմենտը O կետի նկատմամբ համարվում է դրական; եթե ուժը հակված է պտտել մարմինը O կետի շուրջ այն ուղղությամբ, որը համընկնում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժման ուղղության հետ, ապա այս կետի նկատմամբ ուժի պահը համարվում է բացասական: հետևաբար,
Եթե F ուժի գիծն անցնում է տրված O կետով, ապա F ուժի մոմենտն այս կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի։
Ինքնաթիռի վրա կամայականորեն տեղակայված ուժերի ավելացումը կարող է իրականացվել երկու եղանակով.
1) հաջորդական ավելացում.
2) ուժերի տվյալ համակարգը կամայականորեն ընտրված կենտրոն բերելը.
Առաջին մեթոդը դառնում է ծանր, երբ մեծ թվերուժերի պայմաններով և կիրառելի չէ ուժերի տարածական համակարգի համար, մինչդեռ երկրորդ մեթոդը ընդհանուր է, ավելի պարզ և հարմար:
Եթե տրված է ուժերի համակարգ, որը կամայականորեն տեղակայված է մեկ հարթությունում, ապա այս բոլոր ուժերը փոխանցելով այս հարթության կամայականորեն ընտրված O կետին, որը կոչվում է կրճատման կենտրոն, մենք ստանում ենք այս կենտրոնում կիրառվող ուժը:
և մի քանի րոպե
Տվյալ համակարգի ուժերի երկրաչափական գումարը կոչվում է ուժերի այս համակարգի հավասար վեկտոր։
Հարթ համակարգի ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարը դրանց գործողության հարթության O կետի նկատմամբ կոչվում է ուժերի այս համակարգի հիմնական մոմենտը այս O կետի նկատմամբ։
Հիմնական պահը փոխվում է կրճատման կենտրոնի փոփոխությամբ. Հիմնական պահի կախվածությունը հղման կենտրոնի ընտրությունից արտահայտվում է հետևյալ բանաձևով.
որտեղ և կան երկու տարբեր տեղեկատու կենտրոններ:
Քանի որ R ուժը և մոմենտի հետ զույգը, որն առաջանում է ուժերի այս հարթության համակարգի կրճատումից մինչև O կենտրոն, գտնվում են նույն հարթության մեջ, դրանք կարող են կրճատվել մինչև ինչ-որ պահի կիրառվող մեկ ուժ: Այս ուժը տվյալ հարթության ուժերի համակարգի արդյունքն է:
Այսպիսով, եթե , ապա ուժերի համակարգը կրճատվում է մինչև մեկ արդյունք, որը չի անցնում O նվազեցման կենտրոնով: Այս դեպքում արդյունքի պահը ցանկացած կետի նկատմամբ հավասար կլինի բոլորի մոմենտների հանրահաշվական գումարին: այս ուժերը նույն կետի նկատմամբ (Վարիյոնի թեորեմ):
Եթե կոորդինատների սկզբնաղբյուրն ընտրված է կրճատման կենտրոնում և հայտնի են բոլոր ուժերի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա և այդ ուժերի կիրառման կետերի կոորդինատները, ապա արդյունքի պահը գտնում ենք բանաձևով.
Եթե ուժերի համակարգը տվյալ կենտրոն բերելու արդյունքում պարզվում է, որ այս համակարգի հիմնական վեկտորը հավասար է զրոյի, և նրա հիմնական մոմենտը տարբերվում է զրոյից, ապա այս համակարգը համարժեք է մի զույգ ուժերի. , իսկ համակարգի հիմնական պահը հավասար է այս զույգի պահին և այս դեպքում կախված չէ ընտրության ուղղորդման կենտրոնից։ Եթե այդ դեպքում համակարգը վերածվում է արդյունքի, որը կիրառվում է նվազեցման կենտրոնում O:
Եթե և , ապա ուժերի համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ: Հարթ համակարգի ուժերի ավելացման ժամանակ հանդիպող բոլոր դեպքերը կարող են ներկայացվել աղյուսակի տեսքով: 3.
Աղյուսակ 3
Ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռությունը կքննարկենք հաջորդ պարբերությունում, իսկ այժմ անցնենք հարթ համակարգի ուժերի գումարման խնդիրների լուծմանը։
Օրինակ 13. Հաշվի առնելով չորս ուժերի հարթ համակարգը, այս ուժերի X և Y ելքերը կոորդինատային առանցքների վրա, դրանց կիրառման կետերի x, y կոորդինատները տրված են Աղյուսակում: 4.
Աղյուսակ 4
Այս համակարգը բերեք սկզբնաղբյուրին և այնուհետև գտեք արդյունքի գործողության գիծը:
Լուծում. Գտնենք ուժերի տվյալ համակարգի հիմնական վեկտորի կանխատեսումները կոորդինատային առանցքների վրա՝ համաձայն (14) բանաձևի.
Հիմնական պահը գտնում ենք բանաձևով (15)
Թող լինի ցանկալի արդյունքի գործողության գծի կետ: Հետո
Մյուս կողմից, Վարինյոնի թեորեմով մենք ունենք.
հետևաբար,
Սա արդյունքի գործողության գծի հավասարումն է։
Օրինակ 14. Գտե՛ք կանոնավոր վեցանկյան կողմերի վրա գործող չորս ուժերի արդյունքը, որոնց ուղղությունը նշված է նկ. 30 եթե.
Լուծում. Որպես կրճատման կենտրոն ընտրենք վեցանկյան О կենտրոնը և գտնենք R-ի հիմնական վեկտորը և ուժերի այս համակարգի հիմնական մոմենտը Օ կենտրոնի նկատմամբ։
Ուժի մոմենտը O կետի նկատմամբ գտնելու համար ուղղահայաց SM-ն իջեցնում ենք O կետից մինչև այս ուժի գործողության գիծը։ Քանի որ ուժը ձգտում է վեցանկյունը պտտել O կետի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա