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Trova l'area della parte comune delle forme delimitata da linee. Soluzione di integrali definiti. Rivedere le domande

Calcolo dell'area di una forma- questo è forse uno dei problemi più difficili nella teoria delle aree. Nella geometria scolastica, insegnano a trovare le aree delle forme geometriche di base come, ad esempio, un triangolo, un rombo, un rettangolo, un trapezio, un cerchio, ecc. Tuttavia, spesso si ha a che fare con il calcolo delle aree di forme più complesse. È quando si risolvono tali problemi che è molto conveniente usare il calcolo integrale.

Definizione.

Trapezio curvo si chiama una qualche figura G, delimitata dalle rette y = f (x), y = 0, x = a e x = b, e la funzione f (x) è continua sul segmento [a; b] e non cambia segno su di essa (Fig. 1). L'area di un trapezio curvo può essere designata S (G).

L'integrale definito ʃ а b f (x) dx per la funzione f (x), che è continua e non negativa sull'intervallo [а; b], ed è l'area del corrispondente trapezio curvo.

Cioè, per trovare l'area della figura G, delimitata dalle linee y = f (x), y = 0, x = a e x = b, è necessario calcolare l'integrale definito abf (x) dx.

In questo modo, S (G) = a b f (x) dx.

Se la funzione y = f (x) non è positiva su [a; b], quindi l'area di un trapezio curvo può essere trovata dalla formula S (G) = -ʃ a b f (x) dx.

Esempio 1.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y = x 3; y = 1; x = 2.

Soluzione.

Le linee specificate formano la figura ABC, che viene mostrata dal tratteggio su Riso. 2.

L'area desiderata è uguale alla differenza tra le aree del trapezio curvo DACE e il quadrato DABE.

Usando la formula S = ʃ eb f (x) dx = S (b) - S (a), troviamo i limiti di integrazione. Per fare ciò, risolviamo un sistema di due equazioni:

(y = x 3,
(y = 1.

Quindi, abbiamo x 1 = 1 - il limite inferiore e x = 2 - il limite superiore.

Quindi, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4/4 | 1 2 - 1 = (16 - 1) / 4 - 1 = 11/4 (unità quadrate).

Risposta: 1/4 mq. unità

Esempio 2.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y = √x; y = 2; x = 9.

Soluzione.

Le linee date formano una figura ABC, che è delimitata dall'alto dal grafico della funzione

y \ u003d √x, e sotto il grafico della funzione y \ u003d 2. La figura risultante è mostrata dall'ombreggiatura su Riso. 3.

L'area richiesta è S = ʃ a b (√x - 2). Troviamo i limiti di integrazione: b = 9, per trovare a, risolviamo il sistema di due equazioni:

(y = x,
(y = 2.

Quindi, abbiamo che x = 4 = a - questo è il limite inferiore.

Quindi, S = ∫ 4 9 (√x - 2) dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x | 4 9 - 2x | 4 9 = (18 - 16/3) - (18 - 8) = 2 2/3 (Unità quadrate).

Risposta: S = 2 2/3 mq. unità

Esempio 3.

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee y = x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Soluzione.

Costruiamo un grafico della funzione y = x 3 - 4x per x ≥ 0. Per fare ciò, troviamo la derivata y ':

y '= 3x 2 - 4, y' = 0 a x = ± 2 / √3 ≈ 1.1 sono punti critici.

Se rappresentiamo i punti critici sull'asse numerico e sistemiamo i segni della derivata, otteniamo che la funzione diminuisce da zero a 2 / 3 e aumenta da 2 / 3 a più infinito. Allora x = 2 / √3 è il punto di minimo, il valore minimo della funzione è min = -16 / (3√3) ≈ -3.

Definiamo i punti di intersezione del grafico con gli assi coordinati:

se x = 0, allora y = 0, il che significa che A (0; 0) è il punto di intersezione con l'asse Oy;

se y = 0, allora x 3 - 4x = 0 oppure x (x 2 - 4) = 0, oppure x (x - 2) (x + 2) = 0, da cui x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (non adatto in quanto x ≥ 0).

I punti A (0; 0) e B (2; 0) sono i punti di intersezione del grafico con l'asse Ox.

Le linee specificate formano una forma della Rubrica fuori rete, che viene mostrata dal tratteggio su Riso. 4.

Poiché la funzione y = x 3 - 4x assume un valore negativo su (0; 2), allora

S = | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |.

Abbiamo: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx = (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 = -4, da cui S = 4 sq. unità

Risposta: S = 4 mq. unità

Esempio 4.

Trova l'area della figura delimitata dalla parabola y = 2x 2 - 2x + 1, le rette x = 0, y = 0 e la tangente a questa parabola nel punto con l'ascissa x 0 = 2.

Soluzione.

Per prima cosa, componiamo l'equazione della tangente alla parabola y = 2x 2 - 2x + 1 nel punto con l'ascissa x₀ = 2.

Poiché la derivata y '= 4x - 2, allora in x 0 = 2 otteniamo k = y' (2) = 6.

Trova l'ordinata del punto di contatto: y 0 = 2 2 2 - 2 2 + 1 = 5.

Pertanto, l'equazione della tangente ha la forma: y - 5 = 6 (x - 2) oppure y = 6x - 7.

Disegniamo una forma delimitata da linee:

y = 2x 2 - 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x - 7.

G y = 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Punti di intersezione con gli assi coordinati: A (0; 1) - con l'asse Oy; con l'asse del bue - non ci sono punti di intersezione, perché l'equazione 2x 2 - 2x + 1 = 0 non ha soluzioni (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, cioè il vertice del punto della parabola B ha coordinate B (1/2; 1/2).

Quindi, la figura di cui vuoi determinare l'area è mostrata dal tratteggio su Riso. 5.

Abbiamo: S О A В D = S OABC - S ADBC.

Trova le coordinate del punto D dalla condizione:

6x - 7 = 0, cioè x = 7/6, quindi DC = 2 - 7/6 = 5/6.

L'area del triangolo DBC si trova con la formula S ADBC = 1/2 DC BC. In questo modo,

S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 mq. unità

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) dx = (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 = 10/3 (Unità quadrate).

Infine, otteniamo: S О A В D = S OABC - S ADBC = 10/3 - 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (unità quadrate).

Risposta: S = 1 1/4 mq. unità

Abbiamo analizzato esempi trovare le aree delle figure delimitate da linee specificate... Per risolvere con successo tali problemi, è necessario essere in grado di costruire linee e grafici di funzioni sul piano, trovare i punti di intersezione delle linee, applicare una formula per trovare l'area, il che implica la presenza di abilità e abilità per calcolare determinati integrali.

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Iniziamo a considerare l'effettivo processo di calcolo dell'integrale doppio e familiarizziamo con il suo significato geometrico.

L'integrale doppio è numericamente uguale all'area di una figura piana (regione di integrazione). Questa è la forma più semplice di integrale doppio, quando la funzione di due variabili è uguale a uno:.

Consideriamo prima il problema in termini generali. Ora sarai sorpreso di quanto sia semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per certezze, assumiamo che sul segmento. L'area di questa figura è numericamente uguale a:

Disegniamo l'area nel disegno:

Scegliamo il primo modo per attraversare l'area:

In questo modo:

E subito un importante accorgimento tecnico: gli integrali iterati possono essere considerati separatamente... Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Questo metodo è altamente raccomandato per i principianti in materia di teiere.

1) Calcoliamo l'integrale interno, mentre l'integrazione viene effettuata sulla variabile "gioco":

L'integrale indefinito è qui il più semplice, e poi si usa la banale formula di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni... In primo luogo, il limite superiore è stato sostituito nel "gioco" (funzione antiderivata), quindi - il limite inferiore

2) Il risultato ottenuto al primo comma deve essere sostituito nell'integrale esterno:

Un record più compatto dell'intera soluzione è simile al seguente:

La formula risultante è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta usando l'integrale definito "ordinario"! Guarda la lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, lei è ad ogni angolo!

Questo è, problema di calcolo dell'area usando l'integrale doppio non molto diverso dal problema di trovare l'area usando un integrale definito! In effetti sono la stessa cosa!

Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Prenderò in considerazione non molti esempi, dal momento che tu, in effetti, hai ripetutamente incontrato questo compito.

Esempio 9

Soluzione: Disegniamo l'area nel disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

In seguito, non mi soffermerò su come eseguire l'attraversamento dell'area, poiché nel primo paragrafo sono state fornite spiegazioni molto dettagliate.

In questo modo:

Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare separatamente gli integrali iterati e io seguirò lo stesso metodo:

1) Per prima cosa, usando la formula di Newton-Leibniz, ci occupiamo dell'integrale interno:

2) Il risultato ottenuto al primo passaggio è sostituito nell'integrale esterno:

Il punto 2 è in realtà trovare l'area di una figura piatta usando un integrale definito.

Risposta:

Ecco un compito così stupido e ingenuo.

Un esempio interessante per una soluzione indipendente:

Esempio 10

Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piatta delimitata da linee,

Un esempio approssimativo del progetto finale della soluzione alla fine della lezione.

Negli Esempi 9-10, è molto più vantaggioso usare il primo modo per attraversare l'area; i lettori curiosi, tra l'altro, possono cambiare l'ordine dell'attraversamento e calcolare le aree nel secondo modo. Se non commetti un errore, allora, naturalmente, risulteranno gli stessi valori delle aree.

Ma in un certo numero di casi, il secondo metodo per aggirare l'area è più efficace e, in conclusione del corso di un giovane nerd, prendi in considerazione un altro paio di esempi su questo argomento:

Esempio 11

Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piatta delimitata da linee,

Soluzione: stiamo aspettando con impazienza due parabole con un capriccio, che giacciono da un lato. Non c'è bisogno di sorridere, cose simili in più integrali sono comuni.

Qual è il modo più semplice per fare un disegno?

Rappresentiamo la parabola sotto forma di due funzioni:
- ramo superiore e - ramo inferiore.

Allo stesso modo, immagina la parabola come rami superiori e inferiori.

Calcoliamo l'area della figura usando un doppio integrale con la formula:

Cosa succede se scegliamo la prima via per attraversare l'area? Innanzitutto, quest'area dovrà essere divisa in due parti. E in secondo luogo, osserveremo questa immagine molto triste:. Gli integrali, ovviamente, non sono di un livello super complicato, ma... c'è un vecchio adagio matematico: chi è amico delle radici non ha bisogno di un test.

Pertanto, da un equivoco dato nella condizione, esprimiamo le funzioni inverse:

Le funzioni inverse in questo esempio hanno il vantaggio di impostare l'intera parabola in una volta senza foglie, ghiande, rami e radici.

Secondo il secondo metodo, l'attraversamento dell'area sarà il seguente:

In questo modo:

Senti la differenza, come si dice.

1) Trattare con l'integrale interno:

Sostituisci il risultato nell'integrale esterno:

L'integrazione rispetto alla variabile "igrek" non dovrebbe essere imbarazzante, se ci fosse una lettera "siu", sarebbe fantastico integrarla sopra. Sebbene chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, non prova più il minimo imbarazzo con l'integrazione secondo il "gioco".

Prestare attenzione anche al primo passaggio: l'integrando è pari e il segmento di integrazione è simmetrico rispetto a zero. Pertanto, il segmento può essere dimezzato e il risultato può essere raddoppiato. Questa tecnica è commentata in dettaglio nella lezione. Metodi efficienti per il calcolo di un integrale definito.

Cosa aggiungere.... Qualunque cosa!

Risposta:

Per testare la tua tecnica di integrazione, puoi provare a calcolare. La risposta dovrebbe essere esattamente la stessa.

Esempio 12

Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piatta delimitata da linee

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. È interessante notare che se provi a utilizzare il primo metodo per attraversare l'area, la figura dovrà essere divisa non in due, ma in tre parti! E, di conseguenza, ottieni tre coppie di integrali iterati. Qualche volta succede.

La master class è giunta al termine ed è ora di passare al livello di gran maestro - Come si calcola l'integrale doppio? Esempi di soluzioni... Cercherò di non essere così maniaco nel secondo articolo =)

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:Soluzione: Disegniamo l'area nel disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

In questo modo:
Passiamo alle funzioni inverse:

In questo modo:
Risposta:

Esempio 4:Soluzione: Passiamo alle funzioni dirette:

Eseguiamo il disegno:

Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:

Risposta:

Ordine di attraversamento dell'area:

In questo modo:

1)
2)

Risposta:

Abbiamo capito come trovare l'area del trapezio curvilineo G. Ecco le formule risultanti:
per una funzione continua e non negativa y = f (x) su un intervallo,
per una funzione continua e non positiva y = f (x) su un intervallo.

Tuttavia, quando si risolvono problemi di ricerca dell'area, molto spesso si ha a che fare con forme più complesse.

In questo articolo parleremo del calcolo dell'area delle figure i cui confini sono fissati dalle funzioni in una forma esplicita, cioè come y = f (x) o x = g (y), e analizzeremo in dettaglio la soluzione di esempi tipici.

Navigazione della pagina.

Formula per calcolare l'area di una forma delimitata dalle linee y = f (x) o x = g (y).

Teorema.

Sia le funzioni e definite e continue su un intervallo, e per qualsiasi valore x da. Poi area della figura G, delimitata da linee x = a, x = b, ed è calcolato dalla formula .

Una formula simile è valida per l'area della figura delimitata dalle linee y = c, y = d e: .

Prova.

Mostriamo la validità della formula per tre casi:

Nel primo caso, quando entrambe le funzioni sono non negative, a causa della proprietà dell'additività dell'area, la somma dell'area della figura originale G e del trapezio curvilineo è uguale all'area della figura. Quindi,

Così, . L'ultima transizione è possibile grazie alla terza proprietà dell'integrale definito.

Allo stesso modo, nel secondo caso, l'uguaglianza è vera. Ecco un'illustrazione grafica:

Nel terzo caso, quando entrambe le funzioni sono non positive, si ha. Illustriamo questo:

Ora possiamo passare al caso generale in cui le funzioni e intersecano l'asse del bue.

Designiamo i punti di intersezione. Questi punti dividono il segmento in n parti, dove. La figura G può essere rappresentata combinando le forme ... Ovviamente nel suo intervallo rientra in uno dei tre casi precedentemente considerati, quindi le loro aree si trovano come

Quindi,

L'ultima transizione è valida per la quinta proprietà dell'integrale definito.

Un'illustrazione grafica di un caso generale.

Quindi, la formula dimostrato.

È tempo di passare alla risoluzione di esempi di ricerca dell'area delle figure delimitata dalle linee y = f (x) e x = g (y).

Esempi di calcolo dell'area di una figura delimitata dalle linee y = f (x) o x = g (y).

Inizieremo la soluzione di ogni problema costruendo una figura su un piano. Questo ci permetterà di rappresentare una forma complessa come unione di forme più semplici. In caso di difficoltà con la costruzione, fare riferimento agli articoli:; e .

Esempio.

Calcola l'area di una forma delimitata da una parabola e linee rette, x = 1, x = 4.

Soluzione.

Costruiamo queste linee su un aereo.

Ovunque sul segmento il grafico della parabola sopra la retta. Pertanto, applichiamo la formula precedentemente ottenuta per l'area e calcoliamo un integrale definito utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

Complichiamo un po' l'esempio.

Esempio.

Calcola l'area della forma delimitata dalle linee.

Soluzione.

In che modo è diverso dagli esempi precedenti? Prima avevamo sempre due rette parallele all'asse delle ascisse, ora solo una x = 7. La domanda sorge subito spontanea: dove trovare il secondo limite di integrazione? Diamo un'occhiata al disegno per questo.

È diventato chiaro che il limite inferiore di integrazione quando si trova l'area della figura è l'ascissa del punto di intersezione del grafico della retta y = x e la semiparabola. Troviamo questa ascissa dall'uguaglianza:

Pertanto, l'ascissa del punto di intersezione è x = 2.

Nota.

Nel nostro esempio e nel disegno si vede che le rette e y = x si intersecano nel punto (2; 2) e i calcoli precedenti sembrano superflui. Ma in altri casi, le cose potrebbero non essere così ovvie. Si consiglia pertanto di calcolare sempre analiticamente le ascisse e le ordinate dei punti di intersezione delle rette.

Ovviamente, il grafico della funzione y = x si trova sopra il grafico della funzione sull'intervallo. Applichiamo la formula per calcolare l'area:

Complichiamo ancora di più il compito.

Esempio.

Calcola l'area della figura delimitata dai grafici delle funzioni e .

Soluzione.

Costruiamo un grafico di proporzionalità inversa e parabola .

Prima di applicare la formula per trovare l'area di una figura, dobbiamo determinare i limiti dell'integrazione. Per fare ciò, troviamo le ascisse dei punti di intersezione delle linee eguagliando le espressioni e.

Per valori diversi da zero di x, l'uguaglianza equivalente all'equazione di terzo grado con coefficienti interi. Puoi fare riferimento alla sezione per ricordare l'algoritmo per risolverlo.

È facile verificare che x = 1 è la radice di questa equazione:.

Dividendo l'espressione al binomio x-1 si ha:

Quindi, le radici rimanenti si trovano dall'equazione :

Ora dal disegno è apparso chiaro che la figura G è racchiusa sopra la linea blu e sotto la linea rossa nell'intervallo ... Quindi, l'area richiesta sarà uguale a

Consideriamo un altro esempio tipico.

Esempio.

Calcola l'area di una forma delimitata da curve e l'ascissa.

Soluzione.

Facciamo un disegno.

Questa è una normale funzione esponenziale con esponente un terzo, il grafico della funzione si ricava dal grafico visualizzandolo simmetricamente rispetto all'asse delle ascisse e sollevandolo di una unità.

Trova i punti di intersezione di tutte le linee.

L'ascissa ha l'equazione y = 0.

I grafici delle funzioni e y = 0 si intersecano nel punto (0; 0) poiché x = 0 è l'unica radice reale dell'equazione.

Grafici delle funzioni e y = 0 si intersecano nel punto (2; 0), poiché x = 2 è l'unica radice dell'equazione .

Grafici di funzioni e si intersecano nel punto (1; 1), poiché x = 1 è l'unica radice dell'equazione ... Questa affermazione non è del tutto ovvia, ma la funzione è strettamente crescente, e - diminuendo strettamente, quindi, l'equazione ha al massimo una radice.

Unica osservazione: in questo caso, per trovare l'area, dovrai usare una formula del modulo ... Cioè, le linee di delimitazione devono essere rappresentate come funzioni dell'argomento y e una linea nera.

Definiamo i punti di intersezione delle linee.

Iniziamo con i grafici delle funzioni e:

Troviamo il punto di intersezione dei grafici di funzioni e:

Resta da trovare il punto di intersezione delle linee e:

Come puoi vedere, i valori sono gli stessi.

Ricapitolare.

Abbiamo analizzato tutti i casi più comuni di trovare l'area di una figura delimitata da linee esplicitamente date. Per fare ciò, devi essere in grado di disegnare linee su un piano, trovare i punti di intersezione delle linee e applicare una formula per trovare l'area, il che implica la capacità di calcolare integrali definiti.

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area utilizzando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi, le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più urgente. A questo proposito è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle funzioni elementari di base, e, almeno, saper costruire una retta e un'iperbole.

Un trapezio curvilineo è una figura piatta delimitata da un asse, linee rette e un grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno su questo intervallo. Sia localizzata questa figura non meno asse delle ascisse:

Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale all'integrale definito... Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico.

Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, un integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Consideriamo ad esempio un integrale definito. L'integrando imposta una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può fare un disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica formulazione del compito. Il primo e più importante punto della soluzione è la costruzione del disegno... Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando si costruisce un disegno, consiglio il seguente ordine: primoè meglio costruire tutte le linee rette (se ce ne sono) e solo Poi- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. È più redditizio costruire grafici di funzioni punto per punto.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Disegniamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il progetto e stimare se la risposta è reale. In questo caso, "ad occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitati circa 9, sembra la verità. È abbastanza chiaro che se otteniamo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: la cifra in esame chiaramente non si adatta a 20 celle, al massimo dieci. Se la risposta è negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 3

Calcola l'area di una forma delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Eseguiamo il disegno:

Se trapezio curvo situato sotto l'asse(o quantomeno non superiore dato asse), allora la sua area può essere trovata dalla formula:

In questo caso:

Attenzione! I due tipi di compiti non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora potrebbe essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena considerata compare un meno.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa ad esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee.

Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi su un'area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.

È meglio non usare questo metodo, se possibile..

È molto più vantaggioso e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione diventano chiari, per così dire, "da soli". Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti deve ancora essere applicato a volte se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande, o la costruzione precisa non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Tornando al nostro problema: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Eseguiamo il disegno:

E ora la formula di lavoro: Se su un segmento qualche funzione continua Maggiore o uguale alcuni funzione continua, quindi l'area della figura, limitata dai grafici di queste funzioni e linee, può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra o sotto l'asse e, grosso modo, è importante quale programma è SOPRA(relativo ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi è necessario sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura richiesta è delimitata da una parabola in alto e una retta in basso.
Sul segmento, secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Esempio 4

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee,,,.

Soluzione: Per prima cosa eseguiamo il disegno:

La figura di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu(guarda attentamente la condizione - a cosa è limitata la cifra!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "glitch", che è necessario trovare l'area della figura, che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto calcola l'area di una figura utilizzando due integrali definiti.

Veramente:

1) Un grafico a linee si trova sul segmento sopra l'asse;

2) Il grafico dell'iperbole si trova sul segmento sopra l'asse.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e dovrebbero) essere aggiunte, quindi:

Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzioneusando un integrale definito?

Immagina una figura piatta sul piano delle coordinate. Abbiamo già trovato la sua area. Ma, inoltre, questa figura può anche essere ruotata e ruotata in due modi:

Intorno all'asse delle ascisse;

Intorno all'asse y .

Questo articolo coprirà entrambi i casi. Il secondo metodo di rotazione è particolarmente interessante, causa le maggiori difficoltà, ma in effetti la soluzione è praticamente la stessa della più comune rotazione attorno all'asse delle ascisse.

Cominciamo con il tipo di spin più popolare.

un)

Soluzione.

Il primo e più importante punto della soluzione è la costruzione del disegno.

Eseguiamo il disegno:

L'equazione y = 0 imposta l'asse x;

- x = -2 e x = 1 - rette parallele agli assi UO;

- y = x 2 +2 - una parabola, i cui rami sono diretti verso l'alto, con apice nel punto (0; 2).

Commento. Per costruire una parabola è sufficiente trovare i punti della sua intersezione con gli assi coordinati, ad es. mettendo x = 0 trova intersezione assi OU e decidendo l'appropriato equazione quadrata, trova l'intersezione con l'asse Oh .

Il vertice della parabola si trova con le formule:

Puoi disegnare linee e punto per punto.

Sul segmento [-2; 1] il grafico della funzione y = x 2 +2 situato sopra l'asse Bue , Ecco perché:

Risposta: S = 9 unità quadrate

Cosa fare se si trova il trapezio curvo sotto l'asse Oh?

B) Calcola l'area di una forma delimitata da linee y = -e x , x = 1 e assi coordinati.

Soluzione.

Completiamo il disegno.

Se il trapezio curvo completamente posizionato sotto l'asse Oh , allora la sua area può essere trovata dalla formula:

Risposta: S = (e-1) unità quadrati "1,72 unità quadrati.

Attenzione! I due tipi di compiti non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora potrebbe essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, l'area è sempre positiva! Ecco perché nella formula appena considerata compare un meno.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore.

Con) Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee y = 2x-x 2, y = -x.

Soluzione.

Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi su un'area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta, questo si può fare in due modi. Il primo modo è analitico.

Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore di integrazione a = 0 , il limite superiore di integrazione b = 3 .

Costruiamo le linee date: 1. Parabola - il vertice nel punto (1; 1); intersezione degli assi Oh - punti (0; 0) e (0; 2). 2. Retta - bisettrice degli angoli della 2a e 4a coordinata. Ora Attenzione! Se sul segmento [ a; b] qualche funzione continua f (x)è maggiore o uguale a qualche funzione continua g (x), quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata dalla formula:.

E non importa dove si trova la figura, sopra o sotto l'asse, ma è importante quale grafico è SUPERIORE (rispetto a un altro grafico) e quale SOTTO. Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi è necessario sottrarre da

Puoi tracciare le linee punto per punto, mentre i limiti di integrazione vengono chiariti come se "da soli". Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti deve ancora essere applicato a volte se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande, o la costruzione precisa non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali).

La figura richiesta è delimitata da una parabola in alto e una retta in basso.

Sul segmento, secondo la formula corrispondente:

Risposta: S = 4,5 unità quadrati