Presentazione sul tema "equazione di una tangente al grafico di una funzione". Riassunto della lezione "Significato fisico e geometrico della derivata. Tangente al grafico di una funzione" IV Studio di nuovo materiale
Sezioni: Matematica
Classe: 10
Lo scopo della lezione. Generalizzazione, sistematizzazione e approfondimento della conoscenza sul tema “Significato geometrico dei derivati”.
Obiettivi della lezione.
- Sviluppare la capacità di applicare le conoscenze teoriche nella risoluzione di compiti di varia complessità.
- Preparazione all'Esame di Stato Unificato
- Sviluppare la capacità di gestire il tempo delle lezioni e valutare le attività di apprendimento.
Attrezzatura: Lavagna interattiva, presentazione, strumenti di disegno, gesso, libri di testo, quaderni. Tutti hanno un cruciverba sulla scrivania.
Tipo di lezione. Una lezione di sistematizzazione e approfondimento della conoscenza sull'argomento (preparazione all'Esame di Stato Unificato).
Durante le lezioni
1. Ripetizione del materiale teorico. Soluzione del cruciverba (Diapositiva - 3)
2. Ripeti l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente. (Diapositiva - 6.7)
Per creare un'equazione per la tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto x 0, devi trovare
2) y"(x0) =f"(x 0)
3) y(x0) =f(x 0)
4) Sostituisci i numeri trovati nella formula
3. Esempi di risoluzione. Revisione tra pari. Test di autoverifica. Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto x 0.
a) , x 0 =1 (Diapositiva - 7.8)
b) y=-x 2 +4, x 0 =-1 (Diapositiva - 9.10)
c)y = x 3, x 0 = 1 (Diapositiva - 12-15)
d) x 0 =4 (Diapositiva - 16.17)
e) y = tgx nel punto x 0 =0 (Slide - 20-22)
4. Risoluzione di problemi complessi.
Il secondo tipo di equazione tangente. (Diapositiva - 23)
- Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y=f(x0), se la tangente è parallela alla retta y= kx+b.
Trovare l'algoritmo.
1. Troviamo la derivata della funzione.
2. Poiché il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione y= f(x0) è uguale al valore della derivata della funzione, cioè k=f "(x0), quindi troviamo l'ascissa del punto di tangenza risolvendo l'equazione f "(x0) = k.
3. Trova il valore della funzione nel punto x0.
4. Sostituendo i valori trovati nella formula, otteniamo l'equazione tangente.
Il terzo tipo di equazione tangente. (Diapositiva - 27)
Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y=f(x), se è noto che questa tangente passa per il punto A(x 0 ,y 0).
Algoritmo risolutivo.
- Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y=f(x), se è noto che questa tangente passa per il punto A(x 0 ,y 0).
Y=(x-2) 2 -1 ; A(3;-1) (Diapositiva - 28-30)
Il quarto tipo di equazione tangente. (Diapositiva - 31)
- Scrivi un'equazione per la tangente comune ai grafici delle funzioni y= f(X) e y = g (x).
Algoritmo risolutivo.
- Introduciamo i punti di tangenza presunti x1 - per la funzione y= f(x) e x2 - per la funzione y= g(x).
- Troviamo le derivate di queste funzioni.
- Troviamo i valori delle derivate in questi punti f "(x1) e g" (x2).
- Troviamo i valori delle funzioni in questi punti y = f(x1) e y = g(x2).
- Componiamo rispettivamente le equazioni tangenti per ciascuna funzione.
- Scriviamo i coefficienti angolari k1, k2 e b1, b2.
Poiché la tangente è comune, i coefficienti angolari sono uguali e i valori di b sono uguali. k1 = k2 e b1= b2 - Creiamo un sistema di equazioni e risolviamolo, troviamo i valori di x1 e x2
- Sostituiamo i valori trovati nelle equazioni generali della tangente.
- Le equazioni si sono rivelate le stesse. Abbiamo ottenuto l'equazione della tangente comune ai grafici
- Scrivi un'equazione per la tangente comune ai grafici delle funzioni y=f(x) e y= g(x).
Y-(x-+2) 2 - 3 e y=x 2 (Diapositiva - 32-36)
Risoluzione delle attività nel formato dell'esame di stato unificato (diapositiva - 37-40)
Per utilizzare le anteprime delle presentazioni, crea un account Google e accedi ad esso: https://accounts.google.com
Didascalie delle diapositive:
Tangente al grafico di una funzione. Grado 10
Tangente al grafico della funzione x y 0 A Tangente Una retta passante per il punto (x 0 ; f (x 0)), con il cui segmento si congiunge praticamente il grafico della funzione f per valori prossimi a x 0 , è detta tangente al grafico della funzione f nel punto (x 0 ; f (x 0)).
La tangente è la posizione limite della secante a ∆х →0 x y 0 k – il coefficiente angolare della linea (secante) Il coefficiente angolare della tangente è uguale a f ˈ(x 0). Questo è il significato geometrico della derivata. Tangente Secante Visualizzazione automatica. Fare clic 1 volta. Secante k → f’(x 0)
La tangente al grafico di una funzione f differenziabile in un punto x o è una retta passante per il punto (x o; f (x o)) e avente coefficiente angolare f ˈ (x o). Deriviamo l'equazione della tangente al grafico della funzione f nel punto A (x o; f (x o)). k = f ˈ (x o) => y = fˈ (x o) x + b Trova b: f (x o) = f ˈ (x o) x o + b => b = f (x o) - f ˈ (x o) x o y = fˈ (x o) x + f (x o) - f ˈ (x o) x o y = f (x o) – f ˈ (x o)(x - x o)
La formula di Lagrange. Se la funzione è differenziabile, allora sull'intervallo (a; b) c'è un punto con Є (a; b) tale che f' (c) = f (b) – f (a) b - a x y 0 A B a b c l o α C f '(c) = tg α l o ll AB
Sul tema: sviluppi metodologici, presentazioni e appunti
Lavora con l'obiettivo di ripetere le abilità di estrarre un numero da una radice quadrata aritmetica e trovare il significato delle espressioni, esercitando le abilità di confrontare le radici. Abilità pratiche nella costruzione di grafici di funzioni...
Presentazione della lezione "Come costruire un grafico della funzione y=f(x+l)+m, se si conosce il grafico della funzione y=f(x)."
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Riepilogo della lezione con presentazione “Funzioni. Grafici di funzioni e loro proprietà" 10a elementare
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Lezione sull'apprendimento di nuovo materiale in 10a elementare
"Equazione di una tangente al grafico di una funzione"
UMK: Algebra e inizio dell'analisi matematica. 10-11 gradi
(riferimento) 2011
Articolo: matematica.
Classe: 10
Tipo di lezione: imparare nuovo materiale
Soggetto: Equazione della tangente al grafico di una funzione
Bersaglio: ricavare la formula per l'equazione della tangente al grafico di una funzione in un dato punto, creare un algoritmo per trovare l'equazione della tangente, imparare a scrivere un'equazione per la tangente.
Compiti:
Educativo:
esercitarsi e sistematizzare competenze e abilità sull'argomento "Tangente, equazione di una tangente al grafico di una funzione".
Educativo:
promuovere lo sviluppo dell'attenzione;
promuovere lo sviluppo delle capacità di calcolo mentale;
promuovere lo sviluppo del pensiero logico e dell'intuizione matematica;
promuovere lo sviluppo e la comprensione delle connessioni interdisciplinari tra gli studenti;
Educativo:
sviluppare le competenze comunicative degli studenti (cultura della comunicazione, capacità di lavorare in gruppo, capacità di argomentare il proprio punto di vista);
creare le condizioni per comprendere la necessità di un'azione indipendente nella risoluzione dei problemi;
comprendere il grande significato pratico e storico del derivato.
Attrezzatura: computer, proiettore, presentazione, libro di testo, programma “Living Mathematics”, disegni di grafici di funzioni nel programma “Living Mathematics”.
Struttura e programma della lezione:
1.Motivazione (autodeterminazione) per le attività educative.
2. Aggiornare le conoscenze e risolvere le difficoltà nell'attività.
3. Enunciazione del compito educativo.
4.Scoperta di nuove conoscenze.
Compito 9 della diapositiva della presentazione: “Crea un'equazione per la tangente al grafico della funzione f(x) = x 2 +3x+1all'ascissa x 0 =1" ti porta alla fase successiva della lezione.
3. Enunciazione del compito educativo.
Scopo: discussione delle difficoltà. Perché ci sono state difficoltà? Cosa non sappiamo ancora? (1-2 min) Gli studenti formulano gli scopi e gli obiettivi della lezione.
4.Scoperta di nuove conoscenze.
Obiettivo: costruire un progetto per uscire da una difficoltà (5-7 min)
Come compito aggiuntivo, a 2 studenti “forti” Ivan Shein e Vitaly Konev è stato chiesto di utilizzare un libro di testo per comprendere la derivazione della formula generale per l'equazione di una tangente (libro di testo pagina 174) e un esempio di composizione dell'equazione di una tangente al grafico di una funzione 2 nel punto x = 1 (pagina 166 del libro di testo, esempio 2).
Gli studenti scrivono le loro conclusioni alla lavagna e scrivono il resto sui loro quaderni. Dopo che gli studenti se ne sono andati, l'insegnante mostra il disegno 1, realizzato nel programma “Live Mathematics” (grafico di una funzione e una tangente ad essa in un punto) e con un'equazione per la tangente.
5. Consolidamento primario nel discorso esterno.
Obiettivo: pronunciare nuove conoscenze, registrare sotto forma di segnale di riferimento (5 min).
La classe è divisa in 4 gruppi, ai quali viene chiesto di creare un algoritmo per comporre un'equazione per la tangente al grafico di una funzione. Gli studenti utilizzano solo l'equazione generale della tangente. Dopo la discussione, l'algoritmo viene discusso punto per punto, integrato e corretto. Di conseguenza, è dimostrato.
6. Lavoro indipendente con autotest secondo lo standard.
Obiettivo: ognuno deve giungere ad una conclusione autonoma su ciò che già sa fare (5-6 minuti).
A questo punto, torniamo al problema della diapositiva 9 relativo alla composizione dell'equazione della tangente; gli studenti lo risolvono in modo indipendente, seguito da un autotest. , nonché il disegno 2 “Matematica Vivente”.
7. Inclusione di nuova conoscenza nel sistema di conoscenza e ripetizione.
Scopo: vengono eseguiti esercizi in cui le nuove conoscenze vengono utilizzate insieme a quelle apprese in precedenza (10-12 minuti).
Lavorare con il libro dei problemi: pagina 91, scelta indipendente del numero dai nn. 29.12 - 29.16 (le risposte sono nel libro di testo). Gli studenti hanno la possibilità di scegliere i compiti in base al livello di difficoltà.
I COMPITI A CASA saranno gli stessi numeri 29.12 – 29.16, lavoreranno sulla composizione dell'equazione della tangente utilizzando l'algoritmo. Risolvi almeno 3 lettere, senza contare quelle completate in classe.
8.Riflessione sull'attività (riepilogo della lezione).
Obiettivo: consapevolezza degli studenti delle proprie attività didattiche, autovalutazione dei risultati delle attività proprie e dell’intera classe (2-3 min).
Domande:
Qual era il compito?
Sei riuscito a risolvere il problema?
Come?
Che risultati hai ottenuto?
Dove puoi applicare le nuove conoscenze?
E infine, dopo “ogni sorta di cose intelligenti”, un po’ di umorismo. Lo schermo mostra grafici del livello delle tue conoscenze in base al tempo, nell'intervallo dall'inizio della lezione al suo completamento.
Scegli l'orario che ritieni più vicino a te. Sono rilevanti per l’argomento della nostra lezione? Da questi grafici si può giudicareriguardo al tasso di aumento le tue conoscenze durante la lezione. Grafico 1 – abbiamo raggiunto l’obiettivo e risolto i compiti fissati all’inizio della lezione.
Grazie per la lezione!
Letteratura
Algebra e inizio dell'analisi matematica. 10-11 gradi. Alle 2. Parti 1,2. Libro di testo e libro dei problemi per studenti di istituti di istruzione generale (livello base) / ed. A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosine, 2011.
Matematica vivente: una raccolta di materiali didattici. - MENTA. 176 pag.
V. M. Chernyavsky Lavora con il programma "Living Mathematics".
Varie risorse Internet destinate ai bambini per trovare ulteriori informazioni sull'argomento "Derivati".
La lezione video "Equazione di una tangente al grafico di una funzione" mostra materiale didattico per padroneggiare l'argomento. Durante la videolezione viene descritto il materiale teorico necessario per formulare il concetto dell'equazione di una tangente al grafico di una funzione in un dato punto, un algoritmo per trovare tale tangente ed esempi di risoluzione di problemi utilizzando il materiale teorico studiato .
Il video tutorial utilizza metodi che migliorano la chiarezza del materiale. La presentazione contiene disegni, diagrammi, importanti commenti vocali, animazioni, evidenziazioni e altri strumenti.
La video lezione inizia con una presentazione dell'argomento della lezione e un'immagine di una tangente al grafico di una funzione y=f(x) nel punto M(a;f(a)). È noto che il coefficiente angolare della tangente tracciata al grafico in un dato punto è uguale alla derivata della funzione f΄(a) in quel punto. Anche dal corso di algebra conosciamo l'equazione della retta y=kx+m. Viene presentata schematicamente la soluzione al problema di trovare l'equazione tangente in un punto, che si riduce alla ricerca dei coefficienti k, m. Conoscendo le coordinate di un punto appartenente al grafico della funzione, possiamo trovare m sostituendo il valore della coordinata nell'equazione tangente f(a)=ka+m. Da esso troviamo m=f(a)-ka. Quindi, conoscendo il valore della derivata in un dato punto e le coordinate del punto, possiamo rappresentare l'equazione tangente in questo modo y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Quello che segue è un esempio di composizione di un'equazione tangente seguendo il diagramma. Data la funzione y=x 2 , x=-2. Prendendo a=-2, troviamo il valore della funzione in un dato punto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determiniamo la derivata della funzione f΄(x)=2x. A questo punto la derivata è pari a f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Per comporre l'equazione sono stati trovati tutti i coefficienti a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, quindi l'equazione tangente è y=4+(-4)(x+2). Semplificando l'equazione, otteniamo y = -4-4x.
L'esempio seguente suggerisce di costruire un'equazione per la tangente all'origine del grafico della funzione y=tgx. In un dato punto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Quindi l'equazione della tangente assomiglia a y=x.
In via generale, il processo di composizione di un'equazione tangente al grafico di una funzione in un certo punto è formalizzato sotto forma di un algoritmo composto da 4 passaggi:
- Immettere la designazione a per l'ascissa del punto tangente;
- si calcola f(a);
- Viene determinato f΄(x) e viene calcolato f΄(a). I valori trovati di a, f(a), f΄(a) vengono sostituiti nella formula dell'equazione tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).
L'esempio 1 considera la composizione dell'equazione tangente al grafico della funzione y=1/x nel punto x=1. Per risolvere il problema utilizziamo un algoritmo. Per una data funzione nel punto a=1, il valore della funzione f(a)=-1. Derivato della funzione f΄(x)=1/x 2. Nel punto a=1 la derivata f΄(a)= f΄(1)=1. Utilizzando i dati ottenuti, viene elaborata l'equazione della tangente y=-1+(x-1), o y=x-2.
Nell'esempio 2 è necessario trovare l'equazione della tangente al grafico della funzione y=x 3 +3x 2 -2x-2. La condizione principale è il parallelismo della tangente e della retta y=-2x+1. Innanzitutto troviamo il coefficiente angolare della tangente, pari al coefficiente angolare della retta y=-2x+1. Poiché f΄(a)=-2 per una data retta, allora k=-2 per la tangente desiderata. Troviamo la derivata della funzione (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Sapendo che f΄(a)=-2, troviamo le coordinate del punto 3a 2 +6a-2=-2. Dopo aver risolto l'equazione, otteniamo 1 = 0 e 2 = -2. Utilizzando le coordinate trovate, puoi trovare l'equazione della tangente utilizzando un algoritmo noto. Troviamo il valore della funzione nei punti f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Il valore della derivata nel punto f΄(à 1)= f΄(à 2)=-2. Sostituendo i valori trovati nell'equazione della tangente, otteniamo per il primo punto a 1 =0 y=-2x-2, e per il secondo punto a 2 =-2 l'equazione della tangente y=-2x-22.
L'esempio 3 descrive la composizione dell'equazione tangente per disegnarla nel punto (0;3) al grafico della funzione y=√x. La soluzione viene realizzata utilizzando un algoritmo ben noto. Il punto tangente ha coordinate x=a, dove a>0. Il valore della funzione nel punto f(a)=√x. La derivata della funzione f΄(х)=1/2√х, quindi in un dato punto f΄(а)=1/2√а. Sostituendo tutti i valori ottenuti nell'equazione della tangente, otteniamo y = √a + (x-a)/2√a. Trasformando l'equazione, otteniamo y=x/2√а+√а/2. Sapendo che la tangente passa per il punto (0;3), troviamo il valore di a. Troviamo a da 3=√a/2. Quindi √a=6, a=36. Troviamo l'equazione tangente y=x/12+3. La figura mostra il grafico della funzione in esame e la tangente desiderata costruita.
Si ricordano agli studenti le uguaglianze approssimative Δy=≈f΄(x)Δxe f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Prendendo x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, otteniamo f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), quindi f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Nell'esempio 4 è necessario trovare il valore approssimativo dell'espressione 2.003 6. Poiché è necessario trovare il valore della funzione f(x)=x 6 nel punto x=2.003, possiamo utilizzare la nota formula, assumendo f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivata nel punto f΄(2)=192. Pertanto, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Calcolata l'espressione, otteniamo 2.003 6 ≈64.576.
La videolezione “Equazione della tangente al grafico di una funzione” è consigliata per l'uso in una lezione di matematica tradizionale a scuola. Per un insegnante che insegna a distanza, il materiale video aiuterà a spiegare l'argomento in modo più chiaro. Il video può essere consigliato agli studenti per rivederlo in modo indipendente, se necessario, per approfondire la comprensione dell'argomento.
DECODIFICA DEL TESTO:
Sappiamo che se un punto M (a; f(a)) (em con coordinate a ed ef da a) appartiene al grafico della funzione y = f (x) e se in questo punto è possibile tracciare una tangente al grafico della funzione che non è perpendicolare all'asse delle ascisse, allora il coefficiente angolare della tangente è pari a f"(a) (eff primo da a).
Sia data una funzione y = f(x) e un punto M (a; f(a)), e si sa anche che esiste f´(a). Creiamo un'equazione per la tangente al grafico di una data funzione in un dato punto. Questa equazione, come l'equazione di qualsiasi linea retta che non sia parallela all'asse delle ordinate, ha la forma y = kx+m (la y è uguale a ka x più em), quindi il compito è trovare i valori di i coefficienti k e m. (ka ed em)
Coefficiente angolare k= f"(a). Per calcolare il valore di m utilizziamo il fatto che la retta desiderata passa per il punto M(a; f (a)). Ciò significa che se sostituiamo le coordinate del punto M nell'equazione della retta, otteniamo l'uguaglianza corretta: f(a) = ka+m, da dove troviamo che m = f(a) - ka.
Resta da sostituire i valori trovati dei coefficienti ki e m nell'equazione della retta:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN). ( y è uguale a ef da a più ef primo da a, moltiplicato per x meno a).
Abbiamo ottenuto l'equazione per la tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto x=a.
Se, diciamo, y = x 2 e x = -2 (cioè a = -2), allora f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, che significa f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (allora ef di a è uguale a quattro, ef del primo di x è uguale a due x, che significa ef primo da a è uguale a meno quattro)
Sostituendo nell'equazione i valori trovati a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, otteniamo: y = 4+(-4)(x+2), cioè y = -4x-4.
(E è uguale a meno quattro x meno quattro)
Creiamo un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = tanx (la y è uguale alla tangente x) all'origine. Abbiamo: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , che significa f"(0) = l. Sostituendo nell'equazione i valori trovati a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, otteniamo: y=x.
Riassumiamo i nostri passaggi per trovare l'equazione della tangente al grafico di una funzione nel punto x utilizzando un algoritmo.
ALGORITMO PER LO SVILUPPO DI UN'EQUAZIONE TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE y = f(x):
1) Designare l'ascissa del punto tangente con la lettera a.
2) Calcolare f(a).
3) Trova f´(x) e calcola f´(a).
4) Sostituisci i numeri trovati a, f(a), f´(a) nella formula sì= F(UN)+ F"(UN) (X- UN).
Esempio 1. Crea un'equazione per la tangente al grafico della funzione y = - in
punto x = 1.
Soluzione. Usiamo l'algoritmo, tenendo conto di quello in questo esempio
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Sostituiamo i tre numeri trovati: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 nella formula. Otteniamo: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Risposta: y = x-2.
Esempio 2. Data la funzione y = x3+3x2 -2x-2. Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione y = f(x), parallela alla retta y = -2x +1.
Utilizzando l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, teniamo conto che in questo esempio f(x) = x3+3x2 -2x-2, ma qui non è indicata l'ascissa del punto tangente.
Cominciamo a pensare in questo modo. La tangente desiderata deve essere parallela alla retta y = -2x+1. E le rette parallele hanno coefficienti angolari uguali. Ciò significa che il coefficiente angolare della tangente è uguale al coefficiente angolare della retta data: k tangente. = -2. Ok, caso. = f"(a). Pertanto, possiamo trovare il valore di a dall'equazione f ´(a) = -2.
Troviamo la derivata della funzione y=F(X):
F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(a)= 3a2+6a-2.
Dall'equazione f"(a) = -2, cioè 3a2+6a-2=-2 troviamo a 1 =0, a 2 =-2. Ciò significa che ci sono due tangenti che soddisfano le condizioni del problema: una nel punto con ascissa 0, l'altra nel punto con ascissa -2.
Ora puoi seguire l'algoritmo.
1) a 1 =0 e 2 =-2.
2) f(a1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Sostituendo i valori a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 nella formula, otteniamo:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Sostituendo nella formula i valori a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2, otteniamo:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Risposta: y=-2x-2, y=-2x+2.
Esempio 3. Dal punto (0; 3) traccia una tangente al grafico della funzione y = . Soluzione. Usiamo l'algoritmo per comporre l'equazione della tangente, tenendo conto che in questo esempio f(x) = . Si noti che qui, come nell'esempio 2, l'ascissa del punto tangente non è esplicitamente indicata. Tuttavia, seguiamo l'algoritmo.
1) Sia x = a l'ascissa del punto di tangenza; è chiaro che >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Sostituendo i valori di a, f(a) = , f"(a) = nella formula
y=f (a) +f "(a) (x-a), noi abbiamo:
Per condizione, la tangente passa per il punto (0; 3). Sostituendo nell'equazione i valori x = 0, y = 3, otteniamo: 3 = , e quindi =6, a =36.
Come puoi vedere, in questo esempio, solo al quarto passo dell'algoritmo siamo riusciti a trovare l'ascissa del punto tangente. Sostituendo nell'equazione il valore a=36 otteniamo: y=+3
Nella fig. La Figura 1 mostra un'illustrazione geometrica dell'esempio considerato: viene costruito un grafico della funzione y =, viene disegnata una linea retta y = +3.
Risposta: y = +3.
Sappiamo che per una funzione y = f(x), che ha una derivata nel punto x, vale l'uguaglianza approssimata: Δyf´(x)Δx (delta y è approssimativamente uguale all'eff primo di x moltiplicato per delta x)
o, più in dettaglio, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff da x più delta x meno ef da x è approssimativamente uguale a ef primo da x per delta x).
Per comodità di ulteriore discussione, cambiamo la notazione:
invece di x scriveremo UN,
invece di x+Δx scriveremo x
Invece di Δx scriveremo x-a.
Allora l’uguaglianza approssimativa scritta sopra assumerà la forma:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff da x è approssimativamente uguale a ef da a più ef primo da a, moltiplicato per la differenza tra x e a).
Esempio 4. Trova il valore approssimativo dell'espressione numerica 2.003 6.
Soluzione. Si tratta di trovare il valore della funzione y = x 6 nel punto x = 2.003. Usiamo la formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), tenendo conto che in questo esempio f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) =26=64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 e, quindi, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Di conseguenza otteniamo:
2.003 6 64+192· 0.003, cioè 2.003 6 =64.576.
Se usiamo una calcolatrice otteniamo:
2,003 6 = 64,5781643...
Come puoi vedere, la precisione di approssimazione è abbastanza accettabile.
Piano di lezione per la 10a elementare
"Equazione di una tangente al grafico di una funzione"
Tipo di lezione: Una lezione sulla presentazione iniziale di nuove conoscenze e sulla formazione delle abilità tematiche iniziali, padronanza delle abilità tematiche.
Compito didattico della lezione: Garantire la consapevolezza e l'assimilazione di concetti, regole, algoritmi; formazione di competenze nell'applicazione dei principi teorici nel contesto della risoluzione di problemi educativi.
Obiettivi della lezione: ritirare equazione di una tangente al grafico di una funzione, insegna come costruire un'equazione di una tangente per una data funzione in un dato punto.
Risultati pianificati:
ZUN. Gli studenti devono
sapere: equazione della tangente al grafico di una funzione nel punto x 0 ;
essere in grado di: comporre un'equazione per una tangente al grafico di una data funzione in un dato punto.
sviluppare l'abilità di elaborare un'equazione per una tangente al grafico di una data funzione in un dato punto.
Attrezzatura: lavagna, computer, proiettore, schermo, libri di testo, quaderni degli studenti, materiale per scrivere.
Insegnante: Nesterova Svetlana Yurievna
Ciao ragazzi! Sono tutti pronti per la lezione? Puoi sederti.1 diapositiva. "Tangente al grafico di una funzione"
Lavoro orale volto a preparare gli studenti a percepire un nuovo argomento (ripetizione di materiale precedentemente studiato)
10.01 – 10.03
Frontale
Lavoro orale
Per comprendere a fondo l’argomento della lezione di oggi, dobbiamo ricordare ciò che abbiamo studiato in precedenza.
Rispondi alle seguenti domande.
2 diapositive.
Il grafico di quale funzione è una retta?(lineare)
Quale equazione definisce una funzione lineare?(y = K x+ B )
Qual è il nome del numero prima di "X »? ( pendenza diretta)
In un modo diverso, l'equazioney = K x+ B chiamata equazione di una retta con coefficiente angolare.
3 diapositive.
Qual è la pendenza della retta?(la tangente dell'angolo di inclinazione della retta che questa forma con la direzione positiva dell'asse del Bue).
Formulare la definizione di tangente:(retta passante per il punto (x O ; F (X O )), con il segmento di cui il grafico praticamente si fonde differenziabile nel punto x O funzioni F per valori di x prossimi a x O ).
4 diapositive.
Se al punto x o esiste derivato , Quello esiste tangente (non verticale) al grafico della funzione in punto X o .
5 diapositive.
Se F ’ ( X 0 ) non esiste, allora lo è neanche la tangente
non esiste (come la funzione y = |x|),
o verticale (come il grafico y= 3√x).
6 diapositive.
Ricordiamo quale può essere la posizione relativa della tangente con l'asse delle ascisse?
Crescita diretta => pendenzaK >0, tg> 0 => angolo acuto.
Retta // Asse OX => pendenzaK=0, tg= 0 => angolo = 0 0
Linea discendente => pendenzaK <0, tg < 0 =>angolo ottuso.
Diapositiva 7
Significato geometrico della derivata:
La pendenza della tangente è uguale al valore della derivata della funzione nel punto in cui viene disegnata la tangente K = F `( X o ).
Ok, ben fatto, la ripetizione è finita.
Argomento della lezione. Stabilire un obiettivo della lezione
10.03-10.05
Discussione, conversazione
Completa la seguente attività:
Data una funzione y = x 3 . Scrivere equazione tangente al grafico di questa funzione nel punto x 0 = 1.
PROBLEMA? SÌ. Come risolverlo? Quali sono le tue opzioni? Dove puoi trovare aiuto con questo problema? In quali fonti? Ma il problema è risolvibile? Allora quale pensi che sarà l'argomento della nostra lezione?
Argomento della lezione di oggi"Equazione tangente" .
Bene, ora formula gli obiettivi della nostra lezione (BAMBINI):
1. Derivare le equazioni per la tangente al grafico della funzione nel puntoX O .
2. Impara a scrivere un'equazione tangente per una determinata funzione.
Apriamo i quaderni, scriviamo a margine il numero, il “lavoro in classe” e l'argomento della lezione.
Percezione primaria e assimilazione del nuovo materiale didattico teorico
10.06- 10.12
Frontale
Cerca e ricerca
8 diapositive.
Risolviamo questo problema pratico. Io scrivo alla lavagna: tu guardi e ragioni con me.
Data una funzione y = x 3 . È necessario scrivere l'equazione della tangente al grafico di questa funzione nel punto x 0 = 1.
Ragioniamo: l'equazione di una retta con coefficiente angolare ha la forma:y = K x+ B .
Per scriverlo dobbiamo conoscerne il significatoK E B .
Lo troveremo K (dal significato geometrico della derivata):
K = F `( X o ) = F `(1) = 3 * 1 2 = 3, cioè K = 3 .
La nostra equazione assume la forma: y= 3x+ B .
Ricorda: se una linea passa attraverso un dato punto, sostituendo le coordinate di questo punto nell'equazione della linea, si dovrebbe ottenere l'uguaglianza corretta. Ciò significa che dobbiamo trovare l'ordinata del punto, il valore della funzione nel punto x 0 = 1: F (1) =1 3 =1. Il punto tangente ha coordinate (1; 1).
Sostituiamo i valori trovati nell'equazione della retta, otteniamo:
1 = 3 . 1+ B ; Significa b = -2 .
Sostituiamo i valori trovatiK = 3 E b = -2 nell'equazione di una retta:y = 3x - 2.
Il problema è risolto.
Diapositiva 9
Ora risolviamo lo stesso problema in forma generale.
Data una funzione y = F ( X ), è necessario scrivere l'equazione della tangente al grafico di questa funzione nel punto x 0 .
Ragioniamo secondo lo stesso schema: l'equazione di una retta con coefficiente angolare ha la forma:y = K x+ B .
Dal significato geometrico della derivata: K = F `( X o )=> y = F `( X o ) * x+ B .
Valore della funzione nel punto x 0 sì F ( X o ), ciò significa che la tangente passa per il punto con coordinate( X 0 ; F ( X o ))=> F ( X o )= F `( X o ) * X o + B .
Esprimiamo da questo record B : B = F ( X o ) - F `( X o ) * X o .
Sostituiamo tutte le espressioni nell'equazione della retta:
y = F `( X o ) * x+ B = F `( X o ) * x+ F ( X o ) - F `( X o ) * X o = F `( X o ) * ( X - X o )+ F ( X o ).
CONFRONTA CON IL LIBRO DI TESTO (p. 131)
Trova la voce per l'equazione della tangente nel testo del libro di testo e confrontala con ciò che abbiamo ottenuto.
La registrazione è leggermente diversa (per cosa?), ma è corretta.
È consuetudine scrivere l'equazione della tangente nella seguente forma:
y = F ( X o ) + F `( X o )( X - X o )
Scrivi questa formula sul tuo quaderno ed evidenziala: devi conoscerla!
Diapositiva 9
Ora creiamo un algoritmo per trovare l'equazione della tangente. Tutti i “suggerimenti” sono nella nostra formula.
Trovare il valore di una funzione in un puntoX O
Calcolare la derivata di una funzione
Trovare il valore della derivata di una funzione in un puntoX O
Sostituisci i numeri risultanti nella formula
sì = F ( X o ) + F `( X o )( X – X o )
Riduci l'equazione alla forma standard
Praticare le abilità primarie
10.12-10.14
Frontale
Scritto + discussione congiunta
Come funziona questa formula? Diamo un'occhiata a un esempio. Scrivi l'esempio sul tuo quaderno.
Scrivi l'equazione della tangente al grafico della funzione f (X) = x3 – 2x2 + 1 nel punto con ascissa 2.
Eseguiamo la derivazione dell'equazione scrivendo sulla lavagna e sui quaderni.
Risposta: y = 4x – 7.
Lavorare con una fonte di informazione
10.14-10.15
Individuale
Lettura del testo, discussione
Guarda il libro di testo a pag. 131, esempio 2. Leggi fino al paragrafo 3. Di cosa parla questo esempio? (puoi creare un'equazione per una determinata funzione in forma generale e quindi trovare l'equazione tangente per qualsiasi valore di x 0 , e puoi anche trovare il punto di intersezione della tangente alla parabola standard con l'asse del Bue
Pausa dinamica
10.15-10.16
Riposo
Un momento di riposo.
Slide – esercizio per il corpo, esercizio per gli occhi.
Applicazione dei principi teorici nelle condizioni di esecuzione di esercizi e risoluzione di problemi
10.16- 10.30
Frontale, individuale
Scritto (lavagna + quaderno)
Bene, ora passiamo al lavoro pratico, il cui scopo è sviluppare l'abilità di comporre un'equazione tangente.
Annota i numeri 255(a, b), 256(a, b) alla lavagna.riserva 257 (a, b),* .
* – un compito di livello di difficoltà successivo per gli studenti più preparati: Su una parabola y = 3x 2 - 4x + 6 trova il punto in cui la tangente alla parabola // retta y = 2x + 4 e scrivi l'equazione della tangente alla parabola in questo punto.
Gli studenti sono invitati a lavorare alla lavagna (uno per uno).
Risposte:
№255
a) y = - 3x – 6, y = - 3x + 6 b) y = 2x, y = - 2x +4
№256
a) y = 3, y = - 3x + 3π b) y = 2x + 1 – π/ 2, y = 4x + √3 - 4π/ 3
№257 (riserva)
a) x = 1, y = 1, in t.(1; 1) tangente // Bue
b) x = - 2, y = - 24, in t. (-2; -24) tangente // Oh
Compito *risposte:
A (1; 5), equazione tangente y = 2x + 3.
Uso autonomo delle competenze
10.30-10.35
Gruppo, individuale, indipendente
Scritto (taccuino), discussione del lavoro in coppia
Allora cosa abbiamo fatto? Chi ha capito il materiale? Chi ha qualche domanda? Condurremo un automonitoraggio della nostra comprensione dell'argomento della lezione.
Lavorerai in coppia: hai carte con compiti sui tuoi tavoli. Leggi attentamente l'attività; vengono concessi 4-5 minuti per completare il lavoro.
Compito: Scrivi un'equazione per la tangente alla funzione dataF(X) in un punto con una data ascissa.
IO: F( X) =x 2 – 2х – 8, nel punto con l'ascissa -1. Risposta: y = -4x – 9.
II: F( X) = 2x 2 – 4x + 12, in ascissa 2. Risposta: y = 4x + 4.
III: F( X) = 3x 2 – x – 9, nel punto con ascissa 1. Risposta: y = 5x –12.
IV: F( X) = 4x 2 + 2x + 3, nel punto con l'ascissa -0,5. Risposta: y = -2x + 2.
Controllo del completamento del lavoro indipendente
10.35-10.37
Frontale, gruppo
Implementazione dell'autocontrollo secondo il modello, discussione
Risposte alla lavagna (ruotate). Gli studenti esercitano autocontrollo.
Chi ha avuto le stesse risposte?
Quali risposte non concordavano?
Dove hai sbagliato?
Domande per gli studenti per consolidare il significato geometrico della derivata:
Assegna un nome alle linee che intersecano l'asse del bue con un angolo acuto.
Dai un nome alle linee rette che // sono le asce del bue.
Assegna un nome alle rette che formano un angolo con l'asse del Bue la cui tangente è un numero negativo.
Riflessione dell'attività
10.37-10.39
Frontale
Conversazione
Riassumendo la lezione.
Che problemaè apparso davanti a noi durante la lezione? (dovevamo scrivere l'equazione della tangente, ma non sapevamo come farlo)
Quali obiettivi ci siamo prefissati per questa lezione? (derivare l'equazione della tangente, imparare a costruire l'equazione della tangente per una data funzione in un dato punto)
Hai raggiunto l'obiettivo della lezione?
Quanti di voi possono dire con sicurezza di aver imparato a scrivere un'equazione tangente?
Chi altro ha domande? Continueremo sicuramente a lavorare su questo argomento e, spero, i tuoi problemi saranno risolti al 100%!
Compiti a casa
10.39-10.40
Annota i tuoi compiti - N. 255 (vg), 256 (vg), 257 (vg),*, formula!!!
Cerca nel tuo libro di testo i compiti che hai assegnato a casa.
№№ 255(vg), 256(vg) - continuazione del lavoro in classe sullo sviluppo dell'abilità di scrivere un'equazione tangente.
* – un compito di livello di difficoltà successivo per coloro che vogliono mettersi alla prova:
Su una parabola y = x 2 + 5x – 16 trova il punto in cui la tangente alla // retta è 5x+y+4 =0.
Grazie per il lavoro. La lezione è finita.