Funzione potenza, sue proprietà e presentazione grafica per una lezione di algebra (Grade 10) sull'argomento. Funzione potenza, sue proprietà e grafici Definizione e grafici della funzione potenza

Conosci le caratteristiche y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x ecc. Tutte queste funzioni sono casi speciali della funzione di potenza, cioè la funzione y=x P, dove p è un dato numero reale. Le proprietà e il grafico di una funzione potenza dipendono essenzialmente dalle proprietà di una potenza con esponente reale, ed in particolare dai valori per i quali X E P ha senso X P. Procediamo ad una simile considerazione di vari casi a seconda dell'esponente P.

Indice p=2nè un numero naturale pari.

In questo caso, la funzione di potenza y=x 2 n, Dove Nè un numero naturale, ha quanto segue

proprietà:

il dominio di definizione sono tutti i numeri reali, cioè l'insieme R;

insieme di valori - numeri non negativi, ad es. y è maggiore o uguale a 0;

funzione y=x 2 n anche, perché X 2 n =(-x) 2 n

la funzione è decrescente sull'intervallo X<0 e crescente nell'intervallo x>0.

Grafico delle funzioni y=x 2 n ha la stessa forma, ad esempio, del grafico di una funzione y=x 4 .

2. Indicatore p=2n-1- numero naturale dispari In questo caso, la funzione potenza y=x 2n-1, dove è un numero naturale, gode delle seguenti proprietà:

dominio di definizione - insieme R;

insieme di valori - imposta R;

funzione y=x 2n-1 strano perché (- X) 2n-1 =X 2n-1 ;

la funzione è crescente sull'intero asse reale.

Grafico delle funzioni y=x2n-1 ha la stessa forma, ad esempio, del grafico della funzione y=x3.

3.Indicatore p=-2n, Dove N- numero naturale.

In questo caso, la funzione di potenza y=x -2n =1/x 2 n ha le seguenti proprietà:

insieme di valori - numeri positivi y>0;

funzione Y =1/x 2 n anche, perché 1/(-x) 2 n =1/x 2 n ;

la funzione è crescente sull'intervallo x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Grafico della funzione y =1/x 2 n ha la stessa forma, ad esempio, del grafico della funzione y =1/x 2 .

4.Indicatore p=-(2n-1), Dove N- numero naturale. In questo caso, la funzione di potenza y=x -(2n-1) ha le seguenti proprietà:

dominio di definizione - si pone R, eccetto x=0;

insieme di valori - insieme R, ad eccezione di y=0;

funzione y=x -(2n-1) strano perché (- X) -(2n-1) =-X -(2n-1) ;

la funzione è decrescente sugli intervalli X<0 E x>0.

Grafico delle funzioni y=x -(2n-1) ha la stessa forma, ad esempio, del grafico della funzione y=1/x 3 .

1. Funzioni trigonometriche inverse, loro proprietà e grafici.

Inversione funzioni trigonometriche, loro proprietà e grafici.Funzioni trigonometriche inverse (funzioni circolari, funzioni d'arco) sono funzioni matematiche inverse alle funzioni trigonometriche.

1. funzione arcsin

Grafico delle funzioni .

arcseno numeri M si chiama tale angolo X, per cui

La funzione è continua e limitata su tutta la sua retta reale. Funzione è strettamente crescente.

1. [Modifica] Proprietà della funzione arcsin

1. [Modifica] Ottenere la funzione arcsin

Data una funzione In tutto il suo domini lei sembra essere monotono a tratti, e quindi la corrispondenza inversa non è una funzione. Pertanto, consideriamo l'intervallo in cui aumenta rigorosamente e assume tutti i valori gamme- . Poiché per una funzione sull'intervallo, ogni valore dell'argomento corrisponde a un singolo valore della funzione, allora su questo segmento esiste funzione inversa il cui grafico è simmetrico al grafico di una funzione su un segmento rispetto a una retta

Sul dominio della funzione potenza y = x p valgono le seguenti formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietà delle funzioni potenza e loro grafici

Funzione potenza con esponente uguale a zero, p = 0

Se l'esponente della funzione potenza y = x p zero, p = 0 , allora la funzione potenza è definita per ogni x ≠ 0 ed è costante, uguale a uno:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funzione potenza con esponente naturale dispari, p = n = 1, 3, 5, ...

Consideriamo una funzione potenza y = x p = x n con esponente naturale dispari n = 1, 3, 5, ... . Tale indicatore può anche essere scritto come: n = 2k + 1, dove k = 0, 1, 2, 3, ... è un numero intero non negativo. Di seguito sono riportate le proprietà ei grafici di tali funzioni.

Grafico di una funzione potenza y = x n con un esponente dispari naturale per vari valori dell'esponente n = 1, 3, 5, ... .

Dominio: -∞ < x < ∞
Più valori: -∞ < y < ∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta in modo monotono
Estremi: NO
Convesso:
a -∞< x < 0 выпукла вверх
a 0< x < ∞ выпукла вниз
Punti di interruzione: x=0, y=0
x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
in x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
per x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = 1 , la funzione è inversa a se stessa: x = y
per n ≠ 1, funzione inversaè una radice di grado n:

Funzione potenza con esponente pari naturale, p = n = 2, 4, 6, ...

Si consideri una funzione potenza y = x p = x n con esponente pari naturale n = 2, 4, 6, ... . Tale indicatore può anche essere scritto come: n = 2k, dove k = 1, 2, 3, ... è un numero naturale. Le proprietà e i grafici di tali funzioni sono riportati di seguito.

Grafico di una funzione potenza y = x n con un esponente pari naturale per vari valori dell'esponente n = 2, 4, 6, ... .

Dominio: -∞ < x < ∞
Più valori: 0 ≤ a< ∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
per x ≤ 0 diminuisce monotonicamente
per x ≥ 0 aumenta monotonicamente
Estremi: minimo, x=0, y=0
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
per x = 0, y(0) = 0 n = 0
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = 2, Radice quadrata:
per n ≠ 2, radice di grado n:

Funzione potenza con esponente intero negativo, p = n = -1, -2, -3, ...

Considera una funzione di potenza y = x p = x n con un esponente intero negativo n = -1, -2, -3, ... . Se poniamo n = -k, dove k = 1, 2, 3, ... è un numero naturale, allora può essere rappresentato come:

Grafico di una funzione potenza y = x n con esponente intero negativo per vari valori dell'esponente n = -1, -2, -3, ... .

Esponente dispari, n = -1, -3, -5, ...

Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con un esponente negativo dispari n = -1, -3, -5, ... .

Dominio: x ≠ 0
Più valori: y ≠ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: diminuisce in modo monotono
Estremi: NO
Convesso:
in x< 0 : выпукла вверх
per x > 0 : convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello:
in x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = -1,
per n< -2 ,

Esponente pari, n = -2, -4, -6, ...

Di seguito sono riportate le proprietà della funzione y = x n con esponente pari negativo n = -2, -4, -6, ... .

Dominio: x ≠ 0
Più valori: y > 0
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
in x< 0 : монотонно возрастает
per x > 0 : monotonicamente decrescente
Estremi: NO
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello: y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:
per n = -2,
per n< -2 ,

Funzione potenza con esponente razionale (frazionario).

Considera una funzione di potenza y = x p con un esponente razionale (frazionario), dove n è un numero intero, m > 1 è un numero naturale. Inoltre, n, m non hanno divisori comuni.

Il denominatore dell'indicatore frazionario è dispari

Sia dispari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 3, 5, 7, ... . In questo caso, la funzione potenza x p è definita sia per valori x positivi che negativi. Considera le proprietà di tali funzioni di potenza quando l'esponente p è entro certi limiti.

p è negativo, p< 0

Sia l'esponente razionale (con denominatore dispari m = 3, 5, 7, ... ) minore di zero: .

Grafici di funzioni esponenziali con esponente razionale negativo per vari valori dell'esponente , dove m = 3, 5, 7, ... è dispari.

Numeratore dispari, n = -1, -3, -5, ...

Ecco le proprietà della funzione potenza y = x p con esponente razionale negativo , dove n = -1, -3, -5, ... è un intero negativo dispari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: x ≠ 0
Più valori: y ≠ 0
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: diminuisce in modo monotono
Estremi: NO
Convesso:
in x< 0 : выпукла вверх
per x > 0 : convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello:
in x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = -2, -4, -6, ...

Proprietà di una funzione potenza y = x p con esponente razionale negativo, dove n = -2, -4, -6, ... è un intero negativo pari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari .

Dominio: x ≠ 0
Più valori: y > 0
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
in x< 0 : монотонно возрастает
per x > 0 : monotonicamente decrescente
Estremi: NO
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Cartello: y > 0
Limiti:
; ; ;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
per x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funzione inversa:

Il p-value è positivo, minore di uno, 0< p < 1

Grafico di una funzione potenza con esponente razionale (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Numeratore dispari, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Dominio: -∞ < x < +∞
Più valori: -∞ < y < +∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta in modo monotono
Estremi: NO
Convesso:
in x< 0 : выпукла вниз
per x > 0 : convesso verso l'alto
Punti di interruzione: x=0, y=0
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Cartello:
in x< 0, y < 0
per x > 0, y > 0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = -1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = 2, 4, 6, ...

Vengono presentate le proprietà della funzione potenza y = x p con un esponente razionale , compreso tra 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Dominio: -∞ < x < +∞
Più valori: 0 ≤ a< +∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
in x< 0 : монотонно убывает
per x > 0 : monotonicamente crescente
Estremi: minimo in x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso l'alto in x ≠ 0
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Cartello: per x ≠ 0, y > 0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = 1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

L'esponente p è maggiore di uno, p > 1

Grafico di una funzione potenza con esponente razionale (p > 1 ) per vari valori dell'esponente , dove m = 3, 5, 7, ... è dispari.

Numeratore dispari, n = 5, 7, 9, ...

Proprietà di una funzione potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Dove n = 5, 7, 9, ... è un numero naturale dispari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: -∞ < x < ∞
Più valori: -∞ < y < ∞
Parità: dispari, y(-x) = - y(x)
Monotono: aumenta in modo monotono
Estremi: NO
Convesso:
a -∞< x < 0 выпукла вверх
a 0< x < ∞ выпукла вниз
Punti di interruzione: x=0, y=0
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = -1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Numeratore pari, n = 4, 6, 8, ...

Proprietà di una funzione potenza y = x p con esponente razionale maggiore di uno: . Dove n = 4, 6, 8, ... è un numero naturale pari, m = 3, 5, 7 ... è un numero naturale dispari.

Dominio: -∞ < x < ∞
Più valori: 0 ≤ a< ∞
Parità: pari, y(-x) = y(x)
Monotono:
in x< 0 монотонно убывает
per x > 0 aumenta monotonicamente
Estremi: minimo in x = 0, y = 0
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
;
Valori privati:
per x = -1, y(-1) = 1
per x = 0, y(0) = 0
per x = 1, y(1) = 1
Funzione inversa:

Il denominatore dell'indicatore frazionario è pari

Sia pari il denominatore dell'esponente frazionario: m = 2, 4, 6, ... . In questo caso, la funzione potenza x p non è definita per valori negativi dell'argomento. Le sue proprietà coincidono con quelle di una funzione potenza con esponente irrazionale (si veda la sezione successiva).

Funzione potenza con esponente irrazionale

Si consideri una funzione potenza y = x p con un esponente irrazionale p . Le proprietà di tali funzioni differiscono da quelle sopra considerate in quanto non sono definite per valori negativi dell'argomento x. Per valori positivi dell'argomento, le proprietà dipendono solo dal valore dell'esponente p e non dipendono dal fatto che p sia intero, razionale o irrazionale.

y = x p per diversi valori dell'esponente p .

Funzione potenza con p negativo< 0

Dominio: x > 0
Più valori: y > 0
Monotono: diminuisce in modo monotono
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: NO
Limiti: ;
valore privato: Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funzione potenza con esponente positivo p > 0

L'indicatore è inferiore a uno 0< p < 1

Dominio: x ≥ 0
Più valori: y ≥ 0
Monotono: aumenta in modo monotono
Convesso: convesso verso l'alto
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
Valori privati: Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

L'indicatore è maggiore di un p > 1

Dominio: x ≥ 0
Più valori: y ≥ 0
Monotono: aumenta in modo monotono
Convesso: convesso verso il basso
Punti di interruzione: NO
Punti di intersezione con assi coordinati: x=0, y=0
Limiti:
Valori privati: Per x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Per x = 1, y(1) = 1 p = 1

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

Guarda anche:

Una funzione potenza è una funzione della forma y=x n (leggi come y uguale a x alla potenza di n), dove n è un dato numero. Casi particolari di funzioni potenza sono le funzioni della forma y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x e molte altre. Parliamo di più su ciascuno di essi.

Funzione lineare y=x 1 (y=x)

Il grafico è una linea retta che passa per il punto (0; 0) con un angolo di 45 gradi rispetto alla direzione positiva dell'asse Ox.

Il grafico è mostrato di seguito.

Proprietà di base di una funzione lineare:

• La funzione è crescente ed è definita sull'asse dei numeri interi.
• Non ha valori massimi e minimi.

Funzione quadratica y=x 2

Il grafico di una funzione quadratica è una parabola.

Proprietà di base di una funzione quadratica:

• 1. Per x=0, y=0 e y>0 per x0
• 2. La funzione quadratica raggiunge il suo valore minimo nel suo vertice. Ymin in x=0; Va inoltre notato che il valore massimo della funzione non esiste.
• 3. La funzione diminuisce sull'intervallo (-∞; 0] e aumenta sull'intervallo )