Формула четных чисел. Сумма четных и нечетных чисел в Excel. Умножение четных и нечетных чисел

· Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

· Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

• Сложение и вычитание:

• • Ч ётное ± Ч ётное = Ч ётное
  • Ч ётное ± Н ечётное = Н ечётное
  • Н ечётное ± Ч ётное = Н ечётное
  • Н ечётное ± Н ечётное = Ч ётное
• Умножение:
• • Ч ётное × Ч ётное = Ч ётное
  • Ч ётное × Н ечётное = Ч ётное
  • Н ечётное × Н ечётное = Н ечётное
• Деление:
• • Ч ётное / Ч ётное - однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Ч ётное / Н ечётное -­-- если результат целое число , то оно Ч ётное
  • Н ечётное / Ч ётное - результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
  • Н ечётное / Н ечётное ---если результат целое число , то оно Н ечётное

Сумма любого числа четных чисел – четно.

Сумма нечетного числа нечетных чисел – нечетно.

Сумма четного числа нечетных чисел – четно.

Разность двух чисел имеет ту же четность, что и их сумма .
(напр. 2+3=5 и 2-3=-1 оба нечетные)

Алгебраическая (со знаками + или -) сумма целых чисел имеет ту же четность, что и их сумма .
(напр. 2-7+(-4)-(-3)=-6 и 2+7+(-4)+(-3)=2 оба четны)

Идея четности имеет много разных применений. Самые простые из них:

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот !!! )

2". Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны , то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии - четное число, если исходное и конечное состояния совпадают - то нечетное . (переформулировка п.2)

3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

3". Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным. (переформулировка п.3)

4. Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).

(!) Все эти соображения можно на олимпиаде вставлять в текст решения задачи, как очевидные утверждения.

Примеры:

Задача 1. На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей... 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в каком именно направлении вращается первая шестеренка ! ) Тогда всего должно быть четное число шестеренок, а их 9 штук?! ч.и.т.д. (знак "?!" обозначает получение противоречия)

Задача 2. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы получилось выражение, равное нулю?
Решение: Нет, нельзя. Четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1+2+...+10=55, т.е. сумма всегда будет нечетной . А 0 - четное число?! ч.т.д.

Итак, я начну свою историю с четных чисел. Какие числа четные? Любое целое число, которое можно разделить на два без остатка, считается четным. Кроме того, четные числа заканчиваются на одну из данного ряда цифру: 0, 2, 4, 6 или 8.

Например: -24, 0, 6, 38 — все это четные числа.

m = 2k — общая формула написания четных чисел, где k - целое число. Данная формула может понадобиться для решения многих задач или уравнений в начальных классах.

Есть еще один вид чисел в огромном царстве математики — это нечетные числа. Любое число, которое нельзя разделить на два без остатка, а при делении на два остаток равен единице, принято называть нечетным. Любое из них заканчивается на одну из таких цифр: 1, 3, 5, 7 или 9.

Пример нечетных чисел: 3, 1, 7 и 35.

n = 2k + 1 — формула, с помощью которой можно записать любые нечетные числа, где k - целое число.

Сложение и вычитание четных и нечетных чисел

В сложении (или вычитании) четных и нечетных чисел есть некоторая закономерность. Мы представили ее с помощью таблицы, которая находится ниже, для того чтобы вам было проще понять и запомнить материал.

Операция	Результат	Пример
Четное + Четное
Четное + Нечетное	Нечетное
Нечетное + Нечетное

Четные и нечетные числа будут вести себя так же, если вычитать, а не суммировать их.

Умножение четных и нечетных чисел

При умножении четные и нечетные числа ведут себя закономерно. Вам заранее будет известно, получится результат четным или нечетным. В таблице ниже представлены все возможные варианты для лучшего усвоения информации.

Операция	Результат	Пример
Четное * Четное
Четное * Нечетное
Нечетное * Нечетное	Нечетное

А теперь рассмотрим дробные числа.

Десятичная запись числа

Десятичные дроби — это числа со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, которые записаны без знаменателя. Целую часть отделяют от дробной с помощью запятой.

Например: 3,14; 5,1; 6,789 — это все

С десятичными дробями можно производить различные математические действия, такие как сравнение, суммирование, вычитание, умножение и деление.

Если вы хотите сравнять две дроби, сначала уравняйте количество знаков после запятой, приписывая к одному из них нули, а потом, отбросив запятую, сравните их как целые числа. Рассмотрим это на примере. Сравним 5,15 и 5,1. Для начала уравняем дроби: 5,15 и 5,10. Теперь запишем их, как целые числа: 515 и 510, следовательно, первое число больше, чем второе, значит 5,15 больше, чем 5,1.

Если вы хотите суммировать две дроби, следуйте такому простому правилу: начните с конца дроби и суммируйте сначала (например) сотые, потом десятые, затем целые. С помощью этого правила можно легко вычитать и умножать десятичные дроби.

А вот делить дроби нужно как целые числа, в конце отсчитывая, где надо поставить запятую. То есть сначала делите целую часть, а потом - дробную.

Так же десятичные дроби следует округлять. Для этого выберите, до какого разряда вы хотите округлить дробь, и замените соответствующее количество цифр нулями. Имейте ввиду, если следующая за этим разрядом цифра лежала в пределах от 5 до 9 включительно, то последнюю цифру, которая осталась, увеличивают на единицу. Если же следующая за этим разрядом цифра лежала в пределах от 1 до 4 включительно, то последнюю оставшуюся не изменяют.

Когда нужно приготовить разного рода отчеты, иногда возникает потребность выделить все парные и непарные числа разными цветами. Для решения данной задачи наиболее рациональным способом является условное форматирование.

Как найти четные числа в Excel

Набор четных и нечетных чисел, которые следует автоматически выделить разными цветами:

Допустим парные числа нам нужно выделит зеленым цветом, а непарные – синим.

Две формулы отличаются только операторами сравнения перед значением 0. Закройте окно диспетчера правил нажав на кнопку ОК.

В результате у нас ячейки, которые содержат непарное число имеют синий цвет заливки, а ячейки с парными числами – зеленый.



Функция ОСТАТ в Excel для поиска четных и нечетных чисел

Функция =ОСТАТ() возвращает остаток от деления первого аргумента на второй. В первом аргументе мы указываем относительную ссылку, так как данные берутся из каждой ячейки выделенного диапазона. В первом правиле условного форматирования мы указываем оператор «равно» =0. Так как любое парное число, разделенное на 2 (второй оператор) имеет остаток от деления 0. Если в ячейке находится парное число формула возвращает значение ИСТИНА и присваивается соответствующий формат. В формуле второго правила мы используем оператор «неравно» 0. Таким образом выделяем синим цветом нечетные числа в Excel. То есть принцип работы второго правила действует обратно пропорционально первому правилу.

Немного теории
Среди олимпиадных задач для 5-6 классов обычно особую группу составляют такие, где требуется использовать свойства чётности (нечётности) чисел. Простые и очевидные сами по себе эти свойства легко запоминаются или выводятся, и часто у школьников не возникает каких-либо сложностей при их изучении. Но порой применить эти свойства и, главное, догадаться, что именно их надо применить для того или иного доказательства, бывает непросто. Перечислим здесь эти свойства.
Рассматривая с учениками задачи, в которых следует воспользоваться этими свойствами, нельзя не рассмотреть и такие, для решения которых важно знать формулы чётного и нечётного чисел. Опыт преподавания этих формул пяти-шестиклассникам показывает, что многие из них даже не задумывались, что любое чётное число, как и нечётное, можно выразить формулой. Методически бывает полезно озадачить ученика вопросом написать сначала формулу нечётного числа. Дело в том, что формула чётного числа выглядит понятной и очевидной, а формула нечётного числа является своего рода следствием из формулы чётного числа. А если ученик в процессе изучения нового для себя материала задумался, сделав паузу для этого, то он скорее запомнит обе формулы, чем если начинать с объяснение с формулы чётного числа. Так как чётное число - это то число, которое делится на 2, то его можно записать, как 2n, где n - целое число, а нечётное - соответственно как 2n+1.

Ниже приведены наиболее простые задачи на чётность/нечётность, которые бывает полезно рассматривать в виде лёгкой разминки.

Задачи

1) Докажите, что нельзя подобрать 5 нечётных чисел, сумма которых равна 100.

2) Имеется 9 листов бумаги. Некоторые из них разорвали на 3 или 5 частей. Некоторые из образовавшихся частей снова разорвали на 3 или 5 частей и так несколько раз. Можно ли после нескольких шагов получить 100 частей?

3) Чётна или нечётна сумма всех натуральных чисел от 1 до 2019?

4) Докажите, что сумма двух последовательных нечетных чисел делится на 4.

5) Можно ли соединить 13 городов дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?

6) Директор школы в своём отчёте написал, что в школе 788 учащихся, причём мальчиков на 225 больше, чем девочек. Но проверяющий инспектор сразу сообщил, что в отчёте допущена ошибка. Как он рассуждал?

7) Записано четыре числа: 0; 0; 0; 1. За один ход разрешается прибавить 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?

8) Шахматный конь вышел из клетки a1 и через несколько ходов вернулся обратно. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

9) Можно ли сложить замкнутую цепочку из 2017-ти квадратных плиток таким способом, как показано на рисунке?

10) Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей

11) Докажите, что если сумма двух чисел есть число нечётное, то произведение этих чисел всегда будет числом чётным.

12) Числа a и b - целые. Известно, что a + b = 2018. Может ли сумма 7a + 5b равняться 7891?

13) В парламенте некоторой страны две палаты с равным количеством депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты. По окончании голосования председатель парламента сказал, что предложение принято большинством в 23 голоса, причём воздержавшихся не было. После чего один из депутатов сказал, что результаты сфальсифицированы. Как он догадался?

14) На прямой расположено несколько точек. Между двумя соседними точками поставили по точке. И так ставили точки дальше. После точки подсчитали. Может ли количество точек быть равным 2018?

15) У Пети есть 100 рублей одной купюрой, а у Андрея полные карманы монет по 2 и 5 рублей. Сколькими способами Андрей может разменять купюру Пети?

16) Запишите в строчку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была нечётная, а сумма всех чисел была чётная.

17) Можно ли записать в строчку шесть чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была чётная, а сумма всех чисел была бы нечёитная?

18) В секции фехтования мальчиков в 10 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20-ти человек. Смогут ли они разбиться на пары? Смогут ли они разбиться на пары, если мальчиков будет в 9 раз больше, чем девочек? А если в 8 раз больше?

19) В десяти коробках лежат конфеты. В первой - 1, во второй - 2, в третьей - 3, и т.д., в десятой - 10. Пете за один ход разрешается в любые две коробки добавлять по три конфеты. Сможет ли Петя за несколько ходов уравнять количество конфет в коробках? Может ли Петя уравнять количество конфет в коробках подкладывая в две коробки по три конфеты, если изначально коробок 11?

20) 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа одного пола.

21) Маша и несколько пятиклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит 10 мальчиков, то сколько там стоит девочек?

22) На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по замкнутой цепочке, причём 11-я соединена с 1-й. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?

23) Докажите, что дробь есть целое число при любом натуральном n.

24) На столе лежат 9 монет, причём одна из них вверх олрлом, другие - вверх решкой. Можно ли все монеты положить вверх орлом, если разрешено одновременно переворачивать две монеты?

25) Можно ли в таблице 5х5 расставить 25 натуральных чисел так, чтобы во всех строках суммы были чётные, а во всех столбцах - нечётные?

26) Кузнечик прыгает по прямой: первый раз - на 1 см, второй раз на 2 см, третий раз на 3 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на старое место?

27) Улитка ползает по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

28) В ряд выписаны числа от 1 до 2000. Можно ли меняя местами числа через одно, переставить их в обратном порядке?

29) На доске написаны 8 простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма равняться 79?

30) Маша и её друзья встали в круг. Оба соседа любого из детей - одного пола. Мальчиков 5, сколько девочек?