Расстояние от точки с до прямой ab. Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
Введение
В этой курсовой я рассмотрел тему «расстояние от точки до прямой»: дано определение расстояния от точки до прямой, приведены графические иллюстрации. Разобрано нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и в пространстве методом координат. После каждого блока теории показаны подробные решения примеров и задач на нахождение расстояния от точки до прямой.
Расстояние от точки до прямой - определение
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M 1 , не лежащая на прямой a. Проведем через точку M 1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M 1 к прямой a.
Определение.
Расстоянием от точки M 1 до прямой a называют расстояние между точками M 1 и H 1 .
Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.
Определение.
Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.
Рисунок 1
Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой - это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.
Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M 1 . Отрезок M 1 Q называют наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M 1 QH 1 прямоугольный с гипотенузой M 1 Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка , прямая a и требуется найти расстояние от точки А до прямой a .
Покажем два способа, позволяющих вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. В первом случае нахождение расстояния от точки М 1 до прямой a сводится к нахождению расстояния от точки М 1 до точки H 1 , где H 1 - основание перпендикуляра, опущенного из точкиМ 1 на прямую a . Во втором случае расстояние от точки до плоскости будем находить как высоту параллелограмма.
Итак, приступим.
Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
Так как по определению расстояние от точки М 1 до прямой a – это длина перпендикуляраM 1 H 1 , то, определив координаты точки H 1 , мы сможем вычислить искомое расстояние как расстояние между точками и по формуле .
Таким образом, задача сводится к нахождению координат основания перпендикуляра, построенного из точки М 1 к прямой a . Сделать это достаточно просто: точка H 1 – это точка пересечения прямой a с плоскостью, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .
Следовательно, алгоритм, позволяющий определять расстояние от точки до прямой a в пространстве , таков:
Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
Так как в условии задачи нам задана прямая a , то мы можем определить ее направляющий вектор и координаты некоторой точки М 3 , лежащей на прямой a . Тогда по координатам точек и мы можем вычислить координаты вектора : (при необходимости обращайтесь к статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца).
Отложим векторы и от точки М 3 и построим на них параллелограмм. В этом параллелограмме проведем высоту М 1 H 1 .
Очевидно, высота М 1 H 1 построенного параллелограмма равна искомому расстоянию от точкиМ 1 до прямой a . Найдем .
С одной стороны площадь параллелограмма (обозначим ее S ) может быть найдена черезвекторное произведение векторов и по формуле . С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, то есть, , где - длина вектора , равная длине стороны рассматриваемого параллелограмма. Следовательно, расстояние от заданной точки М 1 до заданной прямой a может быть найдена из равенства как .
Итак, чтобы найти расстояние от точки до прямой a в пространстве нужно
Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите расстояние от точки до прямой .
Решение.
Первый способ.
Напишем уравнение плоскости , проходящей через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой:
Найдем
координаты точки H
1
-
точки пересечения плоскости и
заданной прямой. Для этого выполним переход
от канонических уравнений прямой к
уравнениям двух пересекающихся
плоскостей
после чего решим систему линейных уравнений методом Крамера:
Таким образом, .
Осталось вычислить требуемое расстояние от точки до прямой как расстояние между точками и : .
Второй способ.
Числа, стоящие в знаменателях дробей в канонических уравнениях прямой, представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора этой прямой, то есть, - направляющий вектор прямой . Вычислим его длину: .
Очевидно,
что прямая проходит
через точку ,
тогда вектор с началом в точке и
концом в точке есть .
Найдем векторное произведение
векторов и :
тогда
длина этого векторного произведения
равна .
Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы воспользоваться формулой для вычисления расстояния от заданной точки до заданной плоскости: .
Ответ:
Взаимное расположение прямых в пространстве
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.
Алгоритм
- Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
- Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
- Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.
На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.
Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.
Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.
Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.
На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.
Второй способ решения
- Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
- Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
- Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.
Похожие задачи:
Требуется определить расстояние от точки до прямой. Общий план решения задачи:
- через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную заданной прямой;
- находим точку встречи прямой
с плоскостью;
- определяем натуральную величину расстояния.
Через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой АВ . Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью, проекции которых строим согласно алгоритму перпендикулярности (обратная задача).
Находим точку встречи прямой АВ с плоскостью. Это типовая задача о пересечении прямой с плоскостью (см. разд. «Пересечение прямой с плоскостью»).
Перпендикулярность плоскостей
Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Поэтому для проведения плоскости, перпендикулярной другой плоскости, необходимо сначала провести перпендикуляр к плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На эпюре плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости ABC .
Если плоскости заданы следами, то возможны следующие случаи:
- если две перпендикулярные плоскости являются проецирующими, то их собирательные следы взаимно перпендикулярны;
- плоскость общего положения и проецирующая плоскость перпендикулярны, ссли собирательный след проецирующей плоскости перпендикулярен одноименному слсду плоскости общего положения;
- если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны, то плоскости не перпендикулярны друг другу.
Метод замены плоскостей проекций
замены плоскостей проекций |
||
заключается в том, что плоскости про- |
||
екций заменяются другими плоскос- |
||
так, чтобы |
геометрический |
|
объект в новой системе плоскостей |
||
проекций стал занимать частное -по |
||
ложение, что позволяет упростить ре- |
||
шение задач. На пространственном ма- |
||
кете показана замена плоскостиV на |
||
новую V 1 . Показано также проециро- |
||
вание точки А на исходные плоскости |
||
проекций и новую плоскость проекций |
||
V 1 . При замене плоскостей проекций |
||
ортогональность системы сохраняется. |
Преобразуем пространственный макет в плоскостной путем поворота плоскостей по стрелкам. Получим три плоскости проекций, совмещенные в одну плоскость.
Затем удалим плоскости проекций и |
|||
проекции |
|||
Из эпюра точки следует правило: при |
|||
замене V на V 1 для того, чтобы по- |
|||
фронтальную |
|||
цию точки, необходимо от новой оси |
|||
отложить аппликату точки, взятую из |
|||
предыдущей системы плоскостей про- |
|||
екций. Аналогично можно доказать, |
|||
замене Н на Н 1 необходимо |
|||
отложить ординату точки. |
Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций
Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций – это преобразование прямой общего положения сначала в линию уровня, а затем в проецирующую прямую. Эта задача является одной из основных, так как применяется при решении других задач, например, при определении расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, при определении двугранного угла и т.д.
Производим замену V → V 1 . |
||||
ось проводим параллельно горизон- |
||||
проекции. |
||||
фронтальную проекцию прямой, для |
||||
откладываем |
||||
аппликаты точек. Новая фронтальная |
||||
проекция прямой является НВ прямой. |
||||
Сама прямая становится фронталью. |
||||
Определяется угол α °. |
Производим замену Н → Н 1 . Новую ось проводим перпендикулярно фронтальной проекции прямой. Строим новую горизонтальную проекцию прямой, для чего от новой оси откладываем ординаты прямой, взятые из предыдущей системы плоскостей проекций. Прямая становится горизон- тально-проецирующей прямой и «вырождается» в точку.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости
Пример 1.
Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).
Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.
уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости
Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.
Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:
а) точка ;
б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).
Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства.
Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.
1) Общее уравнение плоскости P .
Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).
Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:
‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,
‑ плоскость параллельна оси X ,
X ,
‑ плоскость параллельна оси Y ,
‑ плоскость не параллельна оси Y ,
‑ плоскость параллельна оси Z ,
‑ плоскость не параллельна оси Z .
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Уравнение
(6) легко выводится из уравнения (5).
Действительно, пусть точка лежит
на плоскости P
.
Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнениюВычитая
из уравнения (5) уравнение (7) и группируя
слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим
теперь два вектора с координатами соответственно.
Из формулы (6) следует, что их скалярное
произведение равно нулю. Следовательно,
вектор перпендикулярен
вектору Начало
и конец последнего вектора находятся
соответственно в точках которые
принадлежат плоскости P
.
Следовательно, вектор перпендикулярен
плоскости P
.
Расстояние от точкидо
плоскости P
,
общее уравнение которой определяется
по формулеДоказательство
этой формулы полностью аналогично
доказательству формулы расстояния
между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис.
2. К выводу формулы расстояния между
плоскостью и прямой.
Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно
где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения
Угол f
между
двумя плоскостями равен углу между их
нормальными векторами (см. рис. 3) и может,
поэтому, быть вычислен по формуле
Определение
угла между плоскостями.
(11)
Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения
Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический .
При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.
После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).
При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.