Таблица определенных интегралов полная. Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение. Тренируемся в интегрировании на практике

Перечислим интегралы от элементарных функций, которые иногда называют табличными:

Любую из приведенных выше формул можно доказать, взяв производную от правой части (в результате будет получены подынтегральная функция).

Методы интегрирования

Рассмотрим некоторые основные методы интегрирования. К ним относятся:

1. Метод разложения (непосредственного интегрирования ).

Этот методоснован на непосредственном применении табличных интегралов, а также на применении свойств 4 и 5 неопределенного интеграла (т.е. на выносе за скобку постоянного сомножителя и/или представления подынтегральной функции в виде суммы функций – разложения подынтегральной функции на слагаемые).

Пример 1. Например, для нахождения(dx/x 4) можно непосредственно воспользоваться табличным интегралом дляx n dx. В самом деле,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Пример 2. Для нахождениявоспользуемся тем же интегралом:

Пример 3. Для нахождениянадо взять

Пример 4. Чтобы найти, представим подынтегральную функцию в видеи используем табличный интеграл для показательной функции:

Рассмотрим использование выноса за скобку постоянного сомножителя.

Пример 5. Найдем, например. Учитывая, что, получим

Пример 6. Найдем. Поскольку, воспользуемся табличным интеграломПолучим

В следующих двух примерах также можно использовать вынос за скобки и табличные интегралы:

Пример 7.

(используем и);

Пример 8.

(используем и).

Рассмотрим более сложные примеры, в которых используется интеграл суммы.

Пример 9. Например, найдем
. Для применения метода разложения в числителе используем формулу куба суммы  , а затем полученный многочлен почленно разделим на знаменатель.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Следует отметить, что в конце решения записана одна общая постоянная С (а не отдельные при интегрировании каждого слагаемого). В дальнейшем также предлагается опускать в процессе решения постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл (будем записывать одну постоянную в конце решения).

Пример 10. Найдем. Для решения этой задачи разложим на множители числитель (после этого удастся сократить знаменатель).

Пример 11. Найдем. Здесь можно использовать тригонометрические тождества.

Иногда, чтобы разложить выражение на слагаемые, приходится применять более сложные приемы.

Пример 12. Найдем. В подынтегральной функции выделим целую часть дроби. Тогда

Пример 13. Найдем

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод основан на следующей формуле: f(x)dx=f((t))`(t)dt, где x =(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Найдем производные по переменной tот левой и правой частей формулы.

Отметим, что в левой части находится сложная функция, промежуточным аргументом которой является x = (t). Поэтому, чтобы дифференцировать ее поt, сначала дифференцируем интеграл по x, а затем возмем производную от промежуточного аргумента поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производная от правой части:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так как эти производные равны, по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части доказываемой формулы отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить. Доказано.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному. В применении этого метода различают методы линейной и нелинейной подстановки.

а) Метод линейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1.
. Пустьt= 1 – 2x, тогда

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно. В таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала, - т.е. о неявной замене переменной .

Пример 2. Например, найдемcos(3x + 2)dx. По свойствам дифференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогдаcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d(3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обоих рассмотренных примерах для нахождения интегралов была использована линейная подстановка t=kx+b(k0).

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема о линейной подстановке . ПустьF(х) - некоторая первообразная для функцииf(х). Тогдаf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, где k и b - некоторые постоянные,k0.

Доказательство.

По определению интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Вынесем постоянный множительkза знак интеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Теперь можно разделить левую и правую части равенства наkи получить доказываемое утверждение с точностью до обозначения постоянного слагаемого.

Данная теорема утверждает, что если в определение интеграла f(x)dx= F(x) + C вместо аргумента х подставить выражение (kx+b), то это приведет к появлению дополнительного множителя 1/kперед первообразной.

С использованием доказанной теоремы решим следующие примеры.

Пример 3.

Найдем . Здесьkx+b= 3 –x, т.е.k= -1,b= 3. Тогда

Пример 4.

Найдем. Здесьkx+b= 4x+ 3, т.е.k= 4,b= 3. Тогда

Пример 5.

Найдем . Здесьkx+b= -2x+ 7, т.е.k= -2,b= 7. Тогда

.

Пример 6. Найдем
. Здесьkx+b= 2x+ 0, т.е.k= 2,b= 0.

.

Сравним полученный результат с примером 8, который был решен методом разложения. Решая эту же задачу другим методом, мы получили ответ
. Сравним полученные результаты:. Таким образом, эти выражения отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е. полученные ответы не противоречат друг другу.

Пример 7. Найдем
. Выделим в знаменателе полный квадрат.

В некоторых случаях замена переменной не сводит интеграл непосредственно к табличному, но может упростить решение, сделав возможным применение на последующем шаге метода разложения.

Пример 8. Например, найдем. Заменимt=x+ 2, тогдаdt=d(x+ 2) =dx. Тогда

,

где С = С 1 – 6 (при подстановке вместоtвыражения (x+ 2) вместо первых двух слагаемых получим ½x 2 -2x– 6).

Пример 9. Найдем
. Пустьt= 2x+ 1, тогдаdt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Подставим вместо tвыражение (2x+ 1), раскроем скобки и приведем подобные.

Отметим, что в процессе преобразований мы перешли к другому постоянному слагаемому, т.к. группу постоянных слагаемых в процессе преобразований можно было опустить.

б) Метод нелинейной подстановки рассмотрим на примере.

Пример 1.
. Пустьt= -x 2 . Далее можно было бы выразить х черезt, затем найти выражение для dxи реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но в данном случае проще поступить по-другому. Найдемdt=d(-x 2) = -2xdx. Отметим, что выражениеxdxявляется сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла. Выразим его из полученного равенстваxdx= - ½dt. Тогда

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+ C

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2. Найдем. Пустьt= 1 -x 2 . Тогда

Пример 3. Найдем. Пустьt=. Тогда

;

Пример 4. В случае нелинейной подстановки также бывает удобно использовать неявную замену переменной.

Например, найдем
. Запишемxdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (неявно заменили переменнойt= 3 - 2x 2). Тогда

Пример 5. Найдем. Здесь тоже введем переменную под знак дифференциала:(неявная заменаt= 3 + 5x 3). Тогда

Пример 6. Найдем. Поскольку,

Пример 7. Найдем. Поскольку, то

Рассмотрим несколько примеров, в которых возникает необходимость сочетать различные подстановки.

Пример 8. Найдем
. Пустьt= 2x+ 1, тогдаx= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Пример 9. Найдем
. Пустьt=x- 2, тогдаx=t+ 2;dx=dt.

>> Методы интегрирования

Основные методы интегрирования

Определение интеграла, определенный и неопределенный интеграл, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.

Неопределенный интеграл

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:

F " (x) = f(x). (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -

Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

где С- произвольная постоянная.

Таблица интегралов

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Список табличных интегралов

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Замена переменной

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [α,β], функция z =g(x) имеет на непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

1)

2) .

Метод интегрирования по частям

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv"dx к интегрированию выражения vdu=vu"dx.

Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [ a,b] на n частей точками a= x 0 < x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1 . Сумма вида f(ξ i)Δ x i называется интегральной суммой , а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .

Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox .

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

(8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится .

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

Примеры вычисления интегралов

Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).

Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .

Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.

Решение. ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinx

Решение.

Пример 3.33. Найти .

Решение. =

.

Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.

Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.

Решение. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Интеграл ∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получили соотношение ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение. Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .

Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов)

Таблица первообразных

Найти первообразную по известному дифференциалу функции мы можем в том случае, если используем свойства неопределенного интеграла. Из таблицы основных элементарных функций, используя равенства ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C и ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x можно составить таблицу первообразных.

Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Постоянная y = C C " = 0 Степенная функция y = x p . (x p) " = p · x p - 1	Постоянная y = C d (C) = 0 · d x Степенная фунция y = x p . d (x p) = p · x p - 1 · d x
(a x) " = a x · ln a	Показательная функция y = a x . d (a x) = a x · ln α · d x В частности при a = e имеем y = e x d (e x) = e x · d x
log a x " = 1 x · ln a	Логарифмические функия y = log a x . d (log a x) = d x x · ln a В частности при a = e имеем y = ln x d (ln x) = d x x
Тригонометрические функции. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Тригонометрические функции. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Обратные тригонометрические фунции. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Проиллюстрируем описанное выше примером. Найдем неопределенный интеграл степенной функции f (x) = x p .

Согласно таблице дифференциалов d (x p) = p · x p - 1 · d x . По свойствам неопределенного интеграла имеем ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Следовательно, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0 .Второй вариант записи выглядит следующим образом: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1 , p ≠ - 1 .

Примем равным - 1 , найдем множество первообразных степенной функции f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Теперь нам понадобится таблица дифференциалов для натурального логарифма d (ln x) = d x x , x > 0 , следовательно ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x . Поэтому ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

В левом столбце таблицы размещены формулы, которые носят название основных первообразных. В правом столбце формулы не являются основными, но могут использоваться при нахождении неопределенных интегралов. Их можно проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Для выполнения непосредственного интегрирования мы будем использовать таблицы первообразных, правила интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а также свойства неопределенных интегралов ∫ k · f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Таблицу основных интегралов и свойства интегралов можно использовать только после легкого преобразования подынтегрального выражения.

Пример 1

Найдем интеграл ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Решение

Выносим из-под знака интеграла коэффициент 3:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

По формулам тригонометрии преобразуем подынтегральную функцию:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x

Используем данные из таблицы первообразных: 3 ∫ 1 · d x + ∫ sin x d x = 3 (1 · x + C 1 - cos x + C 2) = = п у с т ь 3 С 1 + С 2 = С = 3 x - 3 cos x + C

Ответ: ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Пример 2

Необходимо найти множество первообразных функции f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Решение

Используем таблицу первообразных для показательной функции: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Это значит, что ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Используем правило интегрирования ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Получаем ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Ответ: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Используя таблицу первообразных, свойства и правило интегрирования, мы можем найти массу неопределенных интегралов. Это возможно в тех случаях, когда можно преобразовать подынтегральную функцию.

Для нахождения интеграла от функции логарифма, функции тангенса и котангенса и ряда других применяются специальные методы, которые мы рассмотрим в разделе «Основные методы интегрирования».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Изучаем понятие « интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

« Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.