Теорема Виета: примеры ее использования при работе с квадратными уравнениями. Теорема Виета. Примеры использования Приведенные квадратные уравнения решать через теорему виета

В этой лекции мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540—1603).

Например, для уравнения Зx 2 - 8x - 6 = 0, не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна , а произведение корней равно
т. е. - 2. А для уравнения х 2 - 6х + 8 = 0 заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни х 1 и х 2 квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 находятся по формулам

Где D = b 2 — 4ас — дискриминант уравнения. Сложив эти корни,
получим

Теперь вычислим произведение корней х 1 и х 2 Имеем

Второе соотношение доказано:
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. В этом случае получаем:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, х 1 и х 2 — корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. Тогда

Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.

Доказательство. Имеем

Пример 1 . Разложить на множители квадратный трехчлен Зх 2 - 10x + 3.
Решение. Решив уравнение Зх 2 - 10x + 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена Зх 2 - 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Воспользовавшись теоремой 2, получим

Есть смысл вместо написать Зx - 1. Тогда окончательно получим Зх 2 - 10x + 3 = (х - 3)(3х - 1).
Заметим, что заданный квадратный трехчлен можно разложить на множители и без применения теоремы 2, использовав способ группировки:

Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х - 3) - (х - 3) = (х - 3) (Зx - 1).

Но, как видите, при этом способе успех зависит от того, сумеем ли мы найти удачную группировку или нет, тогда как при первом способе успех гарантирован.
Пример 1 . Сократить дробь

Решение. Из уравнения 2х 2 + 5х + 2 = 0 находим х 1 = - 2,

Из уравнения х2 - 4х - 12 = 0 находим х 1 = 6, х 2 = -2. Поэтому
х 2 - 4х - 12 = (х- 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А теперь сократим заданную дробь:

Пример 3 . Разложить на множители выражения:
а)x4 + 5x 2 +6; б)2x+-3
Р е ш е н и е. а) Введем новую переменную у = х 2 . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде у 2 + bу + 6.
Решив уравнение у 2 + bу + 6 = 0, найдем корни квадратного трехчлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Теперь воспользуемся теоремой 2; получим

у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Осталось вспомнить, что у = x 2 , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2)(х 2 + 3).
б) Введем новую переменную у = . Это позволит переписать заданное выражение в виде квадратного трехчлена относительно переменной у, а именно в виде 2у 2 + у - 3. Решив уравнение
2у 2 + у - 3 = 0, найдем корни квадратного трехчлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далее, используя теорему 2, получим:

Осталось вспомнить, что у = , т. е. вернуться к заданному выражению. Итак,

В заключение параграфа — некоторые рассуждения, опятьтаки связанные с теоремой Виета, а точнее, с обратным утверждением:
если числа х 1 , х 2 таковы, что х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то эти числа — корни уравнения
С помощью этого утверждения можно решать многие квадратные уравнения устно, не пользуясь громоздкими формулами корней, а также составлять квадратные уравнения с заданными корнями. Приведем примеры.

1) х 2 - 11х + 24 = 0. Здесь x 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Нетрудно догадаться, что х 1 = 8, х 2 = 3.

2) х 2 + 11х + 30 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Нетрудно догадаться, что х 1 = -5, х 2 = -6.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — положительное число, то оба корня либо положительны, либо отрицательны; это важно учитывать при подборе корней.

3) х 2 + х - 12 = 0. Здесь x 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко догадаться, что х 1 = 3, х2 = -4.
Обратите внимание: если свободный член уравнения — отрицательное число, то корни различны по знаку; это важно учитывать при подборе корней.

4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Нетрудно заметить, что х = 1 удовлетворяет уравнению, т.е. х 1 = 1 — корень уравнения. Так как х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, то получаем, что х 2 = - .

5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Здесь х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Если обратить внимание на то, что 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, то становится ясно, что х 1 = 283, х 2 = 10 (а теперь представьте, какие вычисления пришлось бы выполнить для решения этого квадратного уравнения с помощью стандартных формул).

6) Составим квадратное уравнение так, чтобы его корнями служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Обычно в таких случаях составляют приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0.
Имеем х 1 + х 2 = -р, поэтому 8 - 4 = -р, т. е. р = -4. Далее, х 1 х 2 = q, т.е. 8«(-4) = q, откуда получаем q = -32. Итак, р = -4, q = -32, значит, искомое квадратное уравнение имеет вид х 2 -4х-32 = 0.

Для начала сформулируем саму теорему: Пусть у нас есть приведённое квадратное уравнение вида x^2+b*x + c = 0. Допустим, это уравнение содержит корни x1 и x2. Тогда по теореме следующие утверждения допустимы:

1) Сумма корней x1 и x2 будет равняться отрицательному значению коэффициента b.

2) Произведение этих самых корней будет давать нам коэффициент c .

Но что же такое приведённое уравнение

Приведённым квадратным уравнением называется квадратное уравнение, коэффициент старшей степени, которой равен единицы, т.е. это уравнение вида x^2 + b*x + c = 0. (а уравнение a*x^2 + b*x + c = 0 неприведенное). Другими словами, чтобы привести уравнение к приведённому виду, мы должны разделить это уравнение на коэффициент при старшей степени (a). Задача привести данное уравнение к приведённому виду:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Поделим каждое уравнение на коэффициент старшей степени, получим:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Как можно увидеть из примеров, даже уравнения содержащие дроби, можно привести к приведённому виду.

Использование теоремы Виета

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

получаем корни: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

в результате получаем корни: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

получаем корни: x1 = −1; x2 = −4.

Значение теоремы Виета

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.

Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два важных предположения:

Приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен единицы (это условие легко избежать. Можно использовать неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать:))

Когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.

Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.

Общий алгоритм решения по теореме Виета

Приводим квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое, получились дробными(не десятичными), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.

Формулировка и доказательство теоремы Виета для квадратных уравнений. Обратная теорема Виета. Теорема Виета для кубических уравнений и уравнений произвольного порядка.

Содержание

См. также: Корни квадратного уравнения

Квадратные уравнения

Теорема Виета

Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1) .
Тогда сумма корней равна коэффициенту при , взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.

Замечание по поводу кратных корней

Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.

Доказательство первое

Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения :
;
;
.

Находим сумму корней:
.

Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда

.

Теорема доказана.

Доказательство второе

Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.

.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.

Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2) ;
(3) .

Доказательство обратной теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение
(1) .
Нам нужно доказать, что если и , то и являются корнями уравнения (1).

Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4) .

Подставим в (4) :
;
.

Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Теорема доказана.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5) ,
где , и есть некоторые числа. Причем .

Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ; .

Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.

Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.

Теорема Виета для кубического уравнения

Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6) ,
где , , , есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7) ,
где , , .
Пусть , , есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда

.

Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени

Тем же способом можно найти связи между корнями , , ... , , для уравнения n-й степени
.

Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;

.

Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при , , , ... , и сравниваем свободный член.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.

См. также:

Теорема Виета часто используется для проверки уже найденных корней . Если вы нашли корни, то сможете с помощью формул \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вычислить значения \(p\) и \(q\). И если они получатся такими же как в исходном уравнении – значит корни найдены верно.

Например, пусть мы, используя , решили уравнение \(x^2+x-56=0\) и получили корни: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Проверим, не ошиблись ли мы в процессе решения. В нашем случае \(p=1\), а \(q=-56\). По теореме Виета имеем:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}7+(-8)=-1\\7\cdot(-8)=-56\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1=-1\\-56=-56\end{cases}\)

Оба утверждения сошлись, значит, мы решили уравнение правильно.

Такую проверку можно проводить устно. Она займет 5 секунд и убережет вас от глупых ошибок.

Обратная теорема Виета

Если \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\), то \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\).

Или по-простому: если у вас есть уравнение вида \(x^2+px+q=0\), то решив систему \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вы найдете его корни.

Благодаря этой теореме можно быстро подобрать корни квадратного уравнения, особенно если эти корни – . Это умение важно, так как экономит много времени.

Пример . Решить уравнение \(x^2-5x+6=0\).

Решение : Воспользовавшись обратной теоремой Виета, получаем, что корни удовлетворяют условиям: \(\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end{cases}\).
Посмотрите на второе уравнение системы \(x_1 \cdot x_2=6\). На какие два можно разложить число \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) либо \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(-1\). А какую пару выбрать, подскажет первое уравнение системы: \(x_1+x_2=5\). Походят \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\).
Ответ : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Примеры . Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).

Решение :
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какие множители раскладывается \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\). Какие пары чисел в сумме дадут \(15\)? Ответ: \(1\) и \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на какие множители раскладывается \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-3\)? Ответ: \(1\) и \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на какие множители раскладывается \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-9\)? Ответ: \(-4\) и \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) – на какие множители раскладывается \(780\)? \(390\) и \(2\). Они в сумме дадут \(88\)? Нет. Еще какие множители есть у \(780\)? \(78\) и \(10\). Они в сумме дадут \(88\)? Да. Ответ: \(78\) и \(10\).

Необязательно последнее слагаемое раскладывать на все возможные множители (как в последнем примере). Можно сразу проверять дает ли их сумма \(-p\).

Важно! Теорема Виета и обратная теорема работают только с , то есть таким, у которого коэффициент перед \(x^2\) равен единице. Если же у нас изначально дано не приведенное уравнение, то мы можем сделать его приведенным, просто разделив на коэффициент, стоящий перед \(x^2\).

Например , пусть дано уравнение \(2x^2-4x-6=0\) и мы хотим воспользоваться одной из теорем Виета. Но не можем, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(2\). Избавимся от него, разделив все уравнение на \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Готово. Теперь можно пользоваться обеими теоремами.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: По теореме Виета можно решить любые ?
Ответ: К сожалению, нет. Если в уравнении не целые или уравнение вообще не имеет корней, то теорема Виета не поможет. В этом случае надо пользоваться дискриминантом . К счастью, 80% уравнений в школьном курсе математике имеют целые решения.

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, (то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.