45-ով որոշակի ինտեգրալը տարածքների հաշվարկն է։ Curved trapezoid տարածք. Այսպիսով, մենք համակարգում ենք այս առաջադրանքի կարևոր կետերը:

Այժմ մենք դիմում ենք ինտեգրալ հաշվարկի կիրառությունների քննարկմանը: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ և ամենատարածված առաջադրանքը: հարթ գործչի տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով... Վերջապես, բոլոր նրանք, ովքեր իմաստ են փնտրում բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, թող գտնեն այն: Դու երբեք չես իմանա. Մենք պետք է մերձեցնենք ծայրամասային տարածքը տարրական գործառույթներով և գտնել դրա տարածքը որոշակի ինտեգրալով:

Նյութը հաջողությամբ տիրապետելու համար պետք է.

1) Հասկացեք անորոշ ինտեգրալը առնվազն միջին մակարդակում: Այսպիսով, խաբեբաները նախ պետք է ծանոթանան դասին Ոչ.

2) Կարողանալ կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և հաշվարկել որոշակի ինտեգրալ. Էջում կարող եք ջերմ ընկերական հարաբերություններ հաստատել որոշակի ինտեգրալների հետ Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ. «Հաշվարկել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, հետևաբար, հրատապ խնդիր կլինի նաև գծագրեր կառուցելու ձեր գիտելիքներն ու հմտությունները: Առնվազն, դուք պետք է կարողանաք կառուցել ուղիղ գիծ, ​​պարաբոլա և հիպերբոլա:

Սկսենք կոր trapezoid-ից: Կոր trapezoid-ը հարթ պատկեր է, որը սահմանափակվում է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկով y = զ(x), առանցքը ԵԶև տողեր x = ա; x = բ.

Կոր trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալին

Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասին Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներմենք ասացինք, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է։ Եվ հիմա ժամանակն է նշել ևս մեկը օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է... Այն է, որոշակի ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է ինչ-որ գործչի մակերեսին... Դիտարկենք որոշակի ինտեգրալը

Ինտեգրանդ

հարթության վրա սահմանում է կոր (ցանկության դեպքում այն ​​կարելի է գծել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի մակերեսին:

Օրինակ 1

, , , .

Սա հանձնարարության տիպիկ ձևակերպումն է։ Լուծման ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է... Ավելին, գծանկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. առաջինավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե այդպիսիք կան) և միայն Հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Կետ առ կետ կառուցման տեխնիկան կարելի է գտնել հղման նյութում: Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները... Այնտեղ կարող եք գտնել նաև շատ օգտակար նյութ մեր դասի հետ կապված՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա։

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Եկեք ավարտենք գծագիրը (նկատի ունեցեք, որ հավասարումը y= 0-ը նշում է առանցքը ԵԶ):

Մենք չենք դուրս հանելու կորագիծ տրապիզը, այստեղ ակնհայտ է, թե ինչ տարածքի մասին է խոսքը։ Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Սեգմենտի վրա [-2; 1] ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x 2 + 2 տեղակայված առանցքից վերԵԶ, Ահա թե ինչու:

Պատասխան. .

Ով դժվարանում է որոշակի ինտեգրալը հաշվարկել և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը

,

անդրադարձեք դասախոսությանը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ... Առաջադրանքն ավարտվելուց հետո միշտ օգտակար է դիտել նախագիծը և գնահատել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրի բջիջների քանակը՝ լավ, մոտավորապես 9-ը կմուտքագրվի, կարծես թե ճշմարտությունն է։ Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ քննարկվող թիվը ակնհայտորեն չի տեղավորվում 20 բջիջ, առավելագույնը տասը։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 2

Հաշվիր ձևի մակերեսը, սահմանափակված տողերով xy = 4, x = 2, x= 4 և առանցք ԵԶ.

Սա ինքդ ինքդ լուծման օրինակ է: Ամբողջական լուծումը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակԵԶ?

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը y = e - x, x= 1 և կոորդինատային առանցքներ:

Լուծում. Եկեք կատարենք գծագիրը.

Եթե ​​կոր trapezoid ամբողջովին գտնվում է առանցքի տակ ԵԶ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այս դեպքում:

.

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել.

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով նոր դիտարկված բանաձեւում հայտնվում է մինուս։

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսափուլերում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտեք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը y = 2x – x 2 , y = -x.

Լուծում. Նախ պետք է լրացնել գծագիրը: Տարածքի վրա խնդիրների գծանկար կազմելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտե՛ք պարաբոլայի հատման կետերը y = 2x – x 2 և ուղիղ y = -x... Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը վերլուծական է. Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը ա= 0, ինտեգրման վերին սահմանը բ= 3. Հաճախ ավելի շահավետ և արագ է գծերը կետ առ կետ կառուցելը, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում կարծես «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ պետք է կիրառվի երբեմն, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ ճշգրիտ կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Վերադառնալով մեր խնդրին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Կրկնենք, որ կետային կառուցման դեպքում ինտեգրման սահմաններն ամենից հաճախ պարզվում են «ավտոմատ կերպով»։

Եվ հիմա աշխատանքային բանաձևը.

Եթե ​​հատվածում [ ա; բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա զ(x) ավելի մեծ կամ հավասարմի քանի շարունակական գործառույթ է(x), ապա համապատասխան գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, բայց Կարևոր է, թե որ ժամանակացույցն է վերևում(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծից վերև, հետևաբար 2-ից. x – x 2-ը պետք է հանվի - x.

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Փնտրված կերպարը սահմանափակված է պարաբոլայով y = 2x – x 2 վերև և ուղիղ y = -xներքեւից.

2-րդ հատվածում x – x 2 ≥ -x... Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխան. .

Փաստորեն, ներքևի կես հարթության մեջ կորագիծ տրապիզոիդի տարածքի դպրոցական բանաձևը (տե՛ս օրինակ թիվ 3) բանաձևի հատուկ դեպք է.

.

Քանի որ առանցքը ԵԶտրված է հավասարմամբ y= 0, և ֆունկցիայի գրաֆիկը է(x) գտնվում է առանցքի տակ ԵԶ, ապա

.

Իսկ հիմա մի երկու օրինակ ինքնալուծման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտեք գծերով սահմանափակված ձևի տարածքը

Որոշակի ինտեգրալով տարածքը հաշվարկելու խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի դեպք է տեղի ունենում. Նկարչությունը ճիշտ է արված, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց, ակամա, ... հայտնաբերվել է սխալ գործչի տարածքը:

Օրինակ 7

Նախ, եկեք կատարենք գծագիրը.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, ստվերված է կապույտով(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչով է սահմանափակված գործիչը): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, նրանք հաճախ որոշում են, որ անհրաժեշտ է գտնել գործչի տարածքը, որը ստվերված է կանաչով:

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ: Իրոք.

1) հատվածի վրա [-1; 1] առանցքից վեր ԵԶգրաֆիկը ուղիղ է y = x+1;

2) առանցքից բարձր հատվածի վրա ԵԶգտնվում է հիպերբոլիայի գրաֆիկը y = (2/x).

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Օրինակ 8

Հաշվեք գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը

Ներկայացնենք հավասարումները «դպրոցական» ձևով

և կատարիր կետ առ կետ գծագիր.

Գծանկարից երևում է, որ մեր վերին սահմանը «լավ» է. բ = 1.

Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ո՞րը։

Միգուցե, ա= (- 1/3)? Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծագիրը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, կարող է պարզվել, որ դա ա= (- 1/4): Իսկ եթե մենք ընդհանրապես սխալ գծագրենք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում դուք պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսեք և վերլուծական կերպով ճշգրտեք ինտեգրման սահմանները։

Գտեք գրաֆիկների հատման կետերը

Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.

.

Հետևաբար, ա=(-1/3).

Հետագա լուծումը չնչին է. Հիմնական բանը փոխարինումների և նշանների մեջ չշփոթվելն է։ Այստեղ հաշվարկներն ամենահեշտը չեն։ Սեգմենտի վրա

, ,

ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Դասի վերջում մենք կքննարկենք ևս երկու դժվար առաջադրանք:

Օրինակ 9

Հաշվեք գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը

Լուծում. Նկարեք այս նկարը գծագրում:

Կետ առ կետ գծագրություն կառուցելու համար պետք է իմանալ տեսքըսինուսոիդներ. Ընդհանուր առմամբ, օգտակար է իմանալ բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները, ինչպես նաև սինուսի որոշ արժեքներ: Դրանք կարելի է գտնել արժեքների աղյուսակում եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ ... Մի շարք դեպքերում (օրինակ՝ այս դեպքում) թույլատրվում է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա սկզբունքորեն ճիշտ պետք է ցուցադրվեն ինտեգրման գրաֆիկները և սահմանները։

Ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն բխում են պայմանից.

- «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի: Մենք լրացուցիչ որոշում ենք կայացնում.

Հատվածի վրա՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը y= մեղք 3 xգտնվում է առանցքի վերևում ԵԶ, Ահա թե ինչու:

(1) Ինչպես են սինուսները և կոսինուսները ինտեգրված կենտ հզորությունների մեջ, կարող եք տեսնել դասում Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ... Մենք սեղմում ենք մեկ սինուս:

(2) Մենք օգտագործում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը ձևի մեջ

(3) Փոխել փոփոխականը տ= cos x, ապա՝ գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար՝

.

.

Նշում:նշեք, թե ինչպես է վերցված խորանարդի շոշափողի ինտեգրալը, այստեղ օգտագործվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության հետևանքը.

.

Փաստորեն, գործչի մակերեսը գտնելու համար անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին այդքան գիտելիքներ պետք չեն։ «Հաշվարկել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, հետևաբար, ձեր գիտելիքներն ու նկարչական հմտությունները շատ ավելի հրատապ խնդիր կլինեն: Այս առումով օգտակար է թարմացնել հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկների հիշողությունը և, համենայն դեպս, ուղիղ գիծ և հիպերբոլա կառուցել։

Կորագիծ տրապիզոիդը հարթ պատկեր է, որը սահմանափակված է առանցքով, ուղիղ գծերով և շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով մի հատվածի վրա, որը նշանը չի փոխում այս միջակայքում: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս abscissa առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալին... Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։

Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է,որոշակի ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է ինչ-որ գործչի մակերեսին: Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալ: Ինտեգրանդը սահմանում է կորագիծ հարթության վրա, որը գտնվում է առանցքի վերևում (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ տրապիզոնի տարածքին։

Օրինակ 1

Սա հանձնարարության տիպիկ ձևակերպումն է։ Լուծման առաջին և ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է... Ավելին, գծանկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. առաջինավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե այդպիսիք կան) և միայն Հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ավելի շահավետ է ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելը կետային առումով.

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք գծենք գծագիր (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, Ահա թե ինչու:

Պատասխան.

Առաջադրանքն ավարտվելուց հետո միշտ օգտակար է դիտել նախագիծը և գնահատել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրի բջիջների քանակը՝ լավ, մոտավորապես 9-ը կմուտքագրվի, կարծես թե ճշմարտությունն է։ Միանգամայն պարզ է, որ եթե մենք ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա, ակնհայտորեն, ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ քննարկվող թիվը ակնհայտորեն չի տեղավորվում 20 բջիջ, առավելագույնը տասը։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք գծերով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված ձևի մակերեսը:

Լուծում: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Եթե ​​կոր trapezoid գտնվում է առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել միայն որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով նոր դիտարկված բանաձեւում հայտնվում է մինուս։

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսափուլերում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտե՛ք տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը.

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանրապես, տարածքի վրա խնդիրների մեջ գծանկար կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտե՛ք պարաբոլայի և ուղիղի հատման կետերը: Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը վերլուծական է. Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Այսպիսով, ինտեգրման ստորին սահմանը, ինտեգրման վերին սահմանը:

Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Շատ ավելի շահավետ և արագ է գծերը կետ առ կետ կառուցել, մինչդեռ ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում, ասես, «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ պետք է կիրառվի երբեմն, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ ճշգրիտ կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնալով մեր խնդրին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք կատարենք գծագիրը.

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե ​​հատվածի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա ավելի մեծ կամ հավասարինչ-որ շարունակական ֆունկցիայի, ապա նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է այս ֆունկցիաների գծապատկերներով և ուղիղ գծերով, կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, Կարևոր է, թե որ ժամանակացույցն է վերևում(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Լուծման ավարտը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Պահանջվող գործիչը սահմանափակված է վերևում պարաբոլայով, իսկ ներքևում՝ ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Օրինակ 4

Հաշվեք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով,,,:

ԼուծումՆախ, եկեք կատարենք գծագիրը.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, ստվերված է կապույտով(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչով է սահմանափակվում գործիչը): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ առաջանում է «անսարք», որ դուք պետք է գտնեք գործչի տարածքը, որը ստվերված է կանաչով:

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ:

Իսկապես:

1) գծային գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա.

2) Հիպերբոլայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Ինչպես հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալըօգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:

Պատկերացրեք մի հարթ պատկեր կոորդինատային հարթության վրա: Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.

Abscissa առանցքի շուրջ;

y առանցքի շուրջ .

Այս հոդվածը կանդրադառնա երկու դեպքերին: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն առաջացնում է ամենամեծ դժվարությունները, բայց իրականում լուծումը գործնականում նույնն է, ինչ աբսցիսային առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտտման դեպքում։

Սկսենք պտտման ամենատարածված տեսակից:

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել ներկայացման բոլոր տարբերակները: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը։

Բանալի բառեր:ինտեգրալ, կորագիծ տրապիզոիդ, շուշաններով սահմանափակված ֆիգուրների տարածք

Սարքավորումներ՝ գրատախտակ, համակարգիչ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր

Դասի տեսակը՝ դաս-դասախոսություն

Դասի նպատակները:

• կրթական:ձևավորել մտավոր աշխատանքի մշակույթ, յուրաքանչյուր ուսանողի համար ստեղծել հաջողության իրավիճակ, ձևավորել սովորելու դրական մոտիվացիա. զարգացնել ուրիշներին խոսելու և լսելու ունակությունը.
• զարգացող:Ուսանողների անկախության ձևավորումը տարբեր իրավիճակներում գիտելիքների կիրառման, վերլուծելու և եզրակացություններ անելու կարողության, տրամաբանության զարգացման, հարցերը ճիշտ դնելու և դրանց պատասխաններ գտնելու ունակության զարգացում: Առաջարկվող առաջադրանքների կատարման ընթացքում հաշվողական, հաշվողական հմտությունների ձևավորման, ուսանողների մտածողության զարգացում, ալգորիթմական մշակույթի զարգացում։
• կրթականձևավորել կորագիծ տրապիզոիդ, ինտեգրալ հասկացություն, տիրապետել հարթ պատկերների մակերեսները հաշվարկելու հմտություններին.

Դասավանդման մեթոդ.բացատրական և պատկերավոր:

Դասերի ժամանակ

Նախորդ դասերին սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել այն ձևերի մակերեսները, որոնց սահմանները բազմանկյուն գծեր են։ Մաթեմատիկայում կան մեթոդներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել այն ձևերի տարածքները, որոնք սահմանափակված են կորերով: Նման ձևերը կոչվում են կորագիծ trapezoids, և դրանց մակերեսը հաշվարկվում է հակաածանցյալների միջոցով:

կոր trapezoid ( սլայդ 1)

Կորագիծ տրապիզոիդը ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված թիվ է, սխմ.), ուղիղ x = aև x = bիսկ աբսցիսը

Տարբեր տեսակի կոր trapezoids ( սլայդ 2)

Մենք դիտարկում ենք կորագիծ տրապիզոիդների տարբեր տեսակներ և նկատում. ուղիղ գծերից մեկը վերածվում է կետի, սահմանափակող ֆունկցիայի դերը խաղում է ուղիղ գիծը:

Կոր trapezoid տարածք (սլայդ 3)

Ամրացրեք բացվածքի ձախ ծայրը ա,և ճիշտ Xմենք կփոխվենք, այսինքն՝ շարժում ենք կոր trapezoid-ի աջ պատը և ստանում փոփոխվող ձև։ Փոփոխական կորագծային տրապեզոիդի տարածքը, որը սահմանափակվում է ֆունկցիայի գրաֆիկով, հակաածանցյալ է Ֆֆունկցիայի համար զ

Իսկ հատվածում [ ա; բ] ֆունկցիայի կողմից ձևավորված կոր trapezoid-ի տարածքը զ,հավասար է այս ֆունկցիայի հակաածանցյալի աճին.

Վարժություն 1:

Գտեք կոր trapezoid-ի տարածքը, որը սահմանափակված է ֆունկցիայի գրաֆիկով. f (x) = x 2և ուղիղ y = 0, x = 1, x = 2:

Լուծում: ( ըստ ալգորիթմի սլայդ 3)

Եկեք գծենք ֆունկցիայի և գծերի գրաֆիկը

Գտե՛ք ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկը f (x) = x 2 :

Ինքնաթեստ՝ սլայդով

Անբաժանելի

Դիտարկենք ֆունկցիայի կողմից տրված կոր trapezoid զհատվածի վրա [ ա; բ]։ Եկեք այս հատվածը բաժանենք մի քանի մասի։ Ամբողջ trapezoid-ի տարածքը կբաժանվի ավելի փոքր կոր trapezoid-ների տարածքների գումարի: ( սլայդ 5)... Յուրաքանչյուր նման trapezoid կարելի է մոտավորապես համարել ուղղանկյուն: Այս ուղղանկյունների տարածքների գումարը մոտավոր պատկերացում է տալիս կոր trapezoid-ի ամբողջ տարածքի մասին: Որքան փոքր ենք բաժանում հատվածը [ ա; բ], այնքան ավելի ճշգրիտ ենք հաշվարկում տարածքը։

Այս պատճառաբանությունը գրենք բանաձևերի տեսքով։

Բաժանեք հատվածը [ ա; բ] ըստ կետերի n մասերի x 0 = a, x1, ..., xn = b.Երկարություն k-րդ նշելով xk = xk - xk-1... Եկեք գումարը կազմենք

Երկրաչափորեն այս գումարը նկարում ստվերված գործչի մակերեսն է ( մ.)

Ձևի գումարները կոչվում են ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարներ զ. (սմ.)

Ինտեգրալ գումարները տալիս են տարածքի մոտավոր արժեքը: Ճշգրիտ արժեքը ստացվում է սահմանին անցնելով։ Պատկերացրեք, որ մենք ճշգրտում ենք հատվածի բաժանումը [ ա; բ] այնպես, որ բոլոր փոքր հատվածների երկարությունները հակված են զրոյի: Այնուհետև կազմված գործչի տարածքը կմոտենա կոր trapezoid-ի տարածքին: Կարելի է ասել, որ կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը հավասար է ամբողջական գումարների սահմանին, Սկ.տ. (սմ.)կամ ինտեգրալ, այսինքն.

Սահմանում:

Ֆունկցիայի ինտեգրալը f (x)-ից անախքան բկոչվում է ինտեգրալ գումարների սահման

= (սմ.)

Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.

Հիշեք, որ ինտեգրալ գումարների սահմանը հավասար է կորագիծ տրապիզոնի մակերեսին, ինչը նշանակում է, որ կարող եք գրել.

Սկ.տ. = (սմ.)

Մյուս կողմից, կոր trapezoid-ի տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

S K. t. (սմ.)

Համեմատելով այս բանաձևերը՝ մենք ստանում ենք.

= (սմ.)

Այս հավասարությունը կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձև։

Հաշվարկների հարմարության համար բանաձևը գրված է ձևով.

= = (սմ.)

Առաջադրանքներ. (սմ.)

1. Հաշվիր ինտեգրալը Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով. ստուգեք սլայդ 5)

2. Կազմի՛ր ինտեգրալները ըստ գծագրի ( ստուգեք սլայդ 6)

3. Գտե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2: Սլայդ 7)

Գտեք հարթ պատկերների մակերեսները ( սլայդ 8)

Ինչպե՞ս կարող եք գտնել այն ձևերի տարածքը, որոնք կոր trapezoids չեն:

Թող տրվի երկու ֆունկցիա, որոնց գրաֆիկները տեսնում եք սլայդում ... (սմ.)Անհրաժեշտ է գտնել լցված գործչի տարածքը ... (սմ.)... Քննարկվող պատկերը կոր trapezoid է: Իսկ ինչպե՞ս կարելի է գտնել դրա տարածքը՝ օգտագործելով տարածքի հավելյալության հատկությունը։ Դիտարկենք երկու կոր trapezoids և հանեք մյուսի տարածքը դրանցից մեկի տարածքից ( սխմ.)

Եկեք կազմենք սլայդի վրա անիմացիայի միջոցով տարածքը գտնելու ալգորիթմ.

1. Հողամասի ֆունկցիայի գրաֆիկները
2. Գրաֆիկների հատման կետերը նախագծեք աբսցիսայի առանցքի վրա
3. Ստվերեք գծապատկերների խաչմերուկում ստացված գործիչը
4. Գտեք կոր trapezoids, որոնց խաչմերուկը կամ միավորումը տրված պատկեր է:
5. Հաշվե՛ք դրանցից յուրաքանչյուրի մակերեսը
6. Գտեք տարածքների տարբերությունը կամ գումարը

Բանավոր առաջադրանք. Ինչպես ստանալ ստվերավորված գործչի մակերեսը (պատմել անիմացիայի օգնությամբ, սլայդ 8 և 9)

Տնային աշխատանք:Մշակել համառոտագիր, թիվ 353 (ա), թիվ 364 (ա):

Մատենագիտություն

1. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. դասագիրք երեկոյան (հերթափոխային) դպրոցի 9-11-րդ դասարանների համար / խմբ. Գ.Դ. Գլեյզեր. - Մ: Կրթություն, 1983 թ.
2. Բաշմակով Մ.Ի. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք միջնակարգ դպրոցի 10-11-րդ դասարանների համար / Բաշմակով Մ.Ի. - Մ: Կրթություն, 1991 թ.
3. Բաշմակով Մ.Ի. Մաթեմատիկա. Դասագիրք հաստատությունների համար վաղ. և չորեքշաբթի. պրոֆ. կրթություն / M.I. Բաշմակովը։ - M: Ակադեմիա, 2010 թ.
4. Կոլմոգորով Ա.Ն. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ. Դասագիրք 10-11-րդ դասարանների համար. ուսումնական հաստատություններ / Ա.Ն. Կոլմոգորով. - M: Կրթություն, 2010 թ.
5. Ս.Լ.Օստրովսկի Ինչպե՞ս դասի ներկայացում պատրաստել: / S.L. Օստրովսկին։ - M .: 1 սեպտեմբերի, 2010 թ.

NASA-ն Մարս արշավ է սկսելու 2020 թվականի հուլիսին։ ՏիեզերանավՄարս կհասցնի էլեկտրոնային կրիչ՝ արշավախմբի բոլոր գրանցված անդամների անուններով:

Եթե ​​այս գրառումը լուծեց ձեր խնդիրը կամ պարզապես հավանեցիք այն, կիսվեք դրա հղումը ձեր ընկերների հետ սոցիալական ցանցերում։

Կոդի այս տարբերակներից մեկը պետք է պատճենվի և տեղադրվի ձեր վեբ էջի կոդի մեջ, նախընտրելի է պիտակների միջև: ևկամ պիտակից անմիջապես հետո ... Ըստ առաջին տարբերակի՝ MathJax-ն ավելի արագ է բեռնվում և ավելի քիչ դանդաղեցնում էջը։ Բայց երկրորդ տարբերակը ավտոմատ կերպով հետևում և բեռնում է MathJax-ի վերջին տարբերակները: Եթե ​​տեղադրեք առաջին կոդը, ապա այն պետք է պարբերաբար թարմացվի: Եթե ​​տեղադրեք երկրորդ կոդը, էջերը ավելի դանդաղ կբեռնվեն, բայց ձեզ հարկավոր չի լինի մշտապես վերահսկել MathJax-ի թարմացումները։

MathJax-ը միացնելու ամենահեշտ ձևը Blogger-ում կամ WordPress-ում է. ձեր կայքի վահանակում ավելացրեք վիջեթ, որը նախատեսված է երրորդ կողմի JavaScript կոդը տեղադրելու համար, պատճենեք վերը ներկայացված բեռնման կոդի առաջին կամ երկրորդ տարբերակը և տեղադրեք վիջեթը ավելի մոտ: կաղապարի սկիզբը (ի դեպ, դա ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ, քանի որ MathJax-ի սցենարը բեռնված է ասինխրոն): Այսքանը: Այժմ սովորեք MathML, LaTeX և ASCIIMathML նշագրման շարահյուսությունը, և դուք պատրաստ եք մաթեմատիկական բանաձևերը տեղադրել ձեր կայքի վեբ էջերում:

Եվս մեկ Ամանոր ... ցրտաշունչ եղանակ և ձյան փաթիլներ պատուհանի ապակին... Այս ամենն ինձ դրդեց նորից գրել ... ֆրակտալների մասին, և այն, ինչ Wolfram Alpha-ն գիտի դրա մասին: Այս մասին կա մի հետաքրքիր հոդված, որը պարունակում է երկչափ ֆրակտալ կառուցվածքների օրինակներ։ Այստեղ մենք կդիտարկենք 3D ֆրակտալների ավելի բարդ օրինակներ:

Ֆրակտալը կարելի է պատկերացնել (նկարագրել) որպես երկրաչափական պատկեր կամ մարմին (նշանակում է, որ երկուսն էլ մի շարք են, այս դեպքում՝ կետերի մի շարք), որոնց մանրամասներն ունեն նույն ձևը, ինչ բուն գործիչը։ Այսինքն՝ ինքնին նման կառույց է, որի մանրամասները խոշորացմամբ կտեսնենք նույն ձևը, ինչ առանց խոշորացման։ Մինչդեռ կանոնավոր երկրաչափական ձևի դեպքում (ոչ ֆրակտալ), երբ մենք մեծացնում ենք, մենք կտեսնենք մանրամասներ, որոնք ավելի պարզ ձև ունեն, քան բուն ձևը: Օրինակ, բավականաչափ բարձր խոշորացման դեպքում էլիպսի մի մասը նման է գծի հատվածի: Դա տեղի չի ունենում ֆրակտալների դեպքում. ցանկացած աճի դեպքում մենք կրկին կտեսնենք նույն բարդ ձևը, որը կրկնվելու է նորից ու նորից յուրաքանչյուր աճի ժամանակ:

Ֆրակտալների գիտության հիմնադիր Բենուա Մանդելբրոտն իր հոդվածում գրել է «Ֆրակտալները և արվեստը գիտության համար». ամբողջը, այն նման կլինի մի ամբողջության, կամ ճշգրիտ, կամ գուցե մի փոքր դեֆորմացիայով »:

Հաշվեք գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը.

Լուծում.

Գտե՛ք տրված ուղիղների հատման կետերը. Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների համակարգը.

Տրված ուղիղների հատման կետերի աբսցիսան գտնելու համար լուծում ենք հավասարումը.

Մենք գտնում ենք. x 1 = -2, x 2 = 4.

Այսպիսով, այս ուղիղները, որոնք պարաբոլա և ուղիղ գիծ են, հատվում են կետերում Ա(-2; 0), Բ(4; 6).

Այս գծերը կազմում են փակ ձև, որի մակերեսը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով.

Օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, մենք գտնում ենք.

Գտեք էլիպսով սահմանափակված տարածքի մակերեսը.

Լուծում.

Էլիպսի հավասարումից մենք ունենք I քառակուսի. Այսպիսով, օգտագործելով բանաձևը, մենք ստանում ենք

Եկեք կիրառենք փոխարինումը x = ամեղք տ, dx = ա cos տ dt... Ինտեգրման նոր սահմաններ տ = α և տ = β որոշվում են 0 = հավասարումներից ամեղք տ, ա = ամեղք տ... Դուք կարող եք տեղադրել α = 0 և β = π /2.

Գտեք պահանջվող տարածքի մեկ չորրորդը

Այստեղից Ս = πab.

Գտեք գծերով սահմանափակված ձևի տարածքըy = - x 2 + x + 4 ևy = - x + 1.

Լուծում.

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետերը y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, հավասարեցնելով տողերի օրդինատները. x 2 + x + 4 = -x+ 1 կամ x 2 - 2x- 3 = 0. Գտեք արմատները x 1 = -1, x 2 = 3 և դրանց համապատասխան օրդինատները y 1 = 2, y 2 = -2.

Օգտագործելով նկարի տարածքի բանաձևը, մենք ստանում ենք

Որոշիր պարաբոլով սահմանափակված տարածքըy = x 2 + 1 և ուղիղx + y = 3.

Լուծում.

Հավասարումների համակարգի լուծում

գտե՛ք հատման կետերի աբսցիսները x 1 = -2 և x 2 = 1.

Ենթադրելով y 2 = 3 - xև y 1 = x 2 + 1՝ հիմնվելով մեր ստացած բանաձևի վրա

Հաշվեք Բեռնուլիի լեմնիսկատի ներսում պարփակված տարածքըr 2 = ա 2 cos 2 φ .

Լուծում.

Բևեռային կոորդինատային համակարգում կորի աղեղով սահմանափակված գործչի տարածքը r = զ(φ ) և երկու բևեռային շառավիղներ φ 1 = ʅ և φ 2 = ʆ , արտահայտված ինտեգրալով

Կորի համաչափության շնորհիվ մենք նախ որոշում ենք անհրաժեշտ տարածքի մեկ չորրորդը

Այսպիսով, ամբողջ տարածքը հավասար է Ս = ա 2 .

Հաշվիր ասրոիդի աղեղի երկարությունըx 2/3 + y 2/3 = ա 2/3 .

Լուծում.

Եկեք ասրոիդների հավասարումը գրենք ձևով

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (ա 1/3) 2 .

Մենք դնում ենք x 1/3 = ա 1/3 կո տ, y 1/3 = ա 1/3 մեղք տ.

Դրանից մենք ստանում ենք ասրոիդի պարամետրային հավասարումները

x = ա cos 3 տ, y = ամեղք 3 տ, (*)

որտեղ 0 ≤ տ ≤ 2π .

Կորի (*) համաչափության պատճառով բավական է գտնել աղեղի երկարության մեկ չորրորդը Լպարամետրի փոփոխությանը համապատասխան տ 0-ից մինչև π /2.

Մենք ստանում ենք

dx = -3ա cos 2 տմեղք տ դտ, դի = 3ամեղք 2 տ cos տ դտ.

Այստեղից մենք գտնում ենք

Ստացված արտահայտության ինտեգրում 0-ից մինչև միջակայքում π / 2, մենք ստանում ենք

Այստեղից Լ = 6ա.

Գտեք Արքիմեդի պարույրով սահմանափակված տարածքըr = aφ և երկու շառավղային վեկտորներ, որոնք համապատասխանում են բևեռային անկյուններինφ 1 ևφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Լուծում.

Տարածք, որը սահմանափակվում է կորով r = զ(φ ) հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ α և β - բևեռային անկյան սահմանները փոխվում են.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

(*)

(*)-ից հետևում է, որ բևեռային առանցքով և Արքիմեդի պարույրի առաջին շրջադարձով սահմանափակված տարածքը ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Նմանապես, մենք գտնում ենք բևեռային առանցքով սահմանափակված տարածքը և Արքիմեդի պարույրի երկրորդ շրջադարձը ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Պահանջվող տարածքը հավասար է այս տարածքների տարբերությանը

Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց ստացված մարմնի ծավալըԵզ պարաբոլներով սահմանափակված պատկերy = x 2 ևx = y 2 .

Լուծում.

Լուծենք հավասարումների համակարգը

և ստացիր x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, որտեղից կորերի հատման կետերը Օ(0; 0), Բ(տասնմեկ): Ինչպես երևում է նկարում, պտույտի մարմնի պահանջվող ծավալը հավասար է առանցքի շուրջը պտտվող երկու ծավալների տարբերությանը։ Եզկոր trapezoids OCBAև ՕԴԲԱ:

Հաշվի՛ր առանցքով սահմանափակված տարածքըԵզ և սինուսոիդy = մեղքx հատվածների վրա՝ ա); բ).

Լուծում.

ա) հատվածի վրա՝ sin ֆունկցիան xպահպանում է նշանը և, հետևաբար, ըստ բանաձևի, պարամետրը y= մեղք x, գտնում ենք

բ) հատվածի վրա՝ sin ֆունկցիան xփոխում է նշանը. Խնդրի ճիշտ լուծման համար անհրաժեշտ է հատվածը բաժանել երկուսի և [. π , 2π ], որոնցից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան պահպանում է նշանը։

Ըստ նշանների կանոնի՝ հատվածի վրա [ π , 2π ] տարածքը վերցված է մինուս նշանով։

Արդյունքում պահանջվող տարածքն է

Որոշե՛ք էլիպսի պտույտից ստացված մակերևույթով սահմանափակված մարմնի ծավալըհիմնական առանցքի շուրջա .

Լուծում.

Հաշվի առնելով, որ էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքների նկատմամբ, բավական է գտնել առանցքի շուրջ պտույտից գոյացած ծավալը։ Եզքառակուսիներ ՕԱԲհավասար է էլիպսի մակերեսի մեկ քառորդին, և ստացված արդյունքը կրկնապատկվում է:

Մենք նշում ենք հեղափոխության մարմնի ծավալը միջոցով Վ x; ապա բանաձևի հիման վրա ունենք, որտեղ 0 և ա- կետերի աբսցիսներ Բև Ա... Էլիպսի հավասարումից մենք գտնում ենք. Այստեղից

Այսպիսով, պահանջվող ծավալը հավասար է. (Երբ դուք պտտում եք էլիպսը փոքր առանցքի շուրջ բ, մարմնի ծավալն է)

Գտեք պարաբոլներով սահմանափակված տարածքըy 2 = 2 px ևx 2 = 2 py .

Լուծում.

Նախ, մենք գտնում ենք պարաբոլների հատման կետերի կոորդինատները ինտեգրման միջակայքը որոշելու համար: Վերափոխելով սկզբնական հավասարումները՝ ստանում ենք և. Հավասարեցնելով այս արժեքները, մենք ստանում ենք կամ x 4 - 8էջ 3 x = 0.

x 4 - 8էջ 3 x = x(x 3 - 8էջ 3) = x(x - 2էջ)(x 2 + 2px + 4էջ 2) = 0.

Գտե՛ք հավասարումների արմատները.

Նկատի ունենալով այն հանգամանքը, որ կետ Աառաջին քառորդում է պարաբոլաների հատումը, ապա ինտեգրման սահմանները x= 0 և x = 2էջ.

Բանաձևով գտնում ենք պահանջվող տարածքը