Specificare l'equazione del piano tangente alla superficie in linea. materiale teorico. Piano tangente e normale alla superficie

1°

1°. Equazioni del piano tangente e della normale nel caso di specificazione esplicita della superficie.

Si consideri una delle applicazioni geometriche delle derivate parziali di una funzione di due variabili. Lascia che la funzione z = F(X;si) differenziabile in un punto (x0; a 0) qualche zona DÎ R2. Tagliamo la superficie S , raffigurante la funzione z, aerei x = x 0 e y = y 0(Fig. 11).

Aereo X = x0 attraversa la superficie S lungo una linea z 0 (si), la cui equazione si ottiene per sostituzione nell'espressione della funzione originaria z==F(X;si) invece di X numeri x 0. Punto M 0 (x 0 ;si0,F(x 0 ;si 0)) appartiene alla curva z 0 (y). A causa della funzione differenziabile z al punto M0 funzione z 0 (si)è anche differenziabile al punto y = y 0 . Pertanto, a questo punto dell'aereo x = x 0 alla curva z 0 (si) la tangente può essere disegnata l 1 .

Svolgendo un ragionamento simile per la sezione in = si 0 , costruire una tangente l 2 alla curva z 0 (X ) al punto X = x 0 - Diretto 1 1 e 1 2 definire un piano chiamato piano tangente alla superficie S al punto M0.

Facciamo un'equazione per questo. Poiché l'aereo passa per il punto Mo(x 0 ;y0;z0), allora la sua equazione può essere scritta come

A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,

che si può riscrivere così:

z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(dividendo l'equazione per -C e denotando ).

Cerchiamo A 1 e B1.

Equazioni tangenti 1 1 e 1 2 Assomiglia a

rispettivamente.

Tangente l 1 giace nell'aereo a , quindi le coordinate di tutti i punti l 1 soddisfare l'equazione (1). Questo fatto può essere scritto come un sistema

Risolvendo questo sistema rispetto a B 1 , otteniamo che . Svolgendo un ragionamento simile per la tangente l 3, è facile stabilirlo .

Sostituzione dei valori A 1 e B 1 nell'equazione (1), otteniamo l'equazione desiderata del piano tangente:

Una retta passante per un punto M0 e perpendicolare al piano tangente costruito in questo punto della superficie è detto suo normale.

Utilizzando la condizione di perpendicolarità di una retta e di un piano, è facile ottenere le equazioni canoniche della normale:

Commento. Le formule per il piano tangente e per la normale alla superficie si ottengono per punti ordinari, cioè non singolari, sulla superficie. Punto M0 si chiama superficie speciale, se a questo punto tutte le derivate parziali sono uguali a zero o almeno una di esse non esiste. Non consideriamo tali punti.

Esempio. Scrivi le equazioni del piano tangente e la normale alla superficie nel suo punto M(2; -1; 1).

Soluzione. Trova le derivate parziali di questa funzione e i loro valori nel punto M

Quindi, applicando le formule (2) e (3), avremo: z-1=2(x-2)+2(y+1) o 2x+2y-z-1=0- equazione piana tangente e sono le equazioni normali.

2°. Piano tangente ed equazioni normali per il caso di specificazione implicita della superficie.

Se la superficie S dato dall'equazione F(X; si;z)= 0, quindi le equazioni (2) e (3), tenendo conto del fatto che le derivate parziali possono essere trovate come derivate di una funzione implicita.

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4. TEORIA DELLE SUPERFICI.

4.1 EQUAZIONI DELLE SUPERFICI.

Una superficie nello spazio 3D può essere definita:

1) implicitamente: F ( X , y , z ) =0 (4.1)

2) esplicitamente: z = F ( X , y ) (4.2)

3) parametricamente: (4.3)

o:
(4.3’)

dove sono argomenti scalari
a volte chiamate coordinate curvilinee. Ad esempio, una sfera
è conveniente impostare in coordinate sferiche:
.

4.2 PIANO TANGENTE E NORMALE ALLA SUPERFICIE.

Se la linea giace sulla superficie (4.1), le coordinate dei suoi punti soddisfano l'equazione della superficie:

Differenziando questa identità, otteniamo:

(4.4)

o
(4.4 ’ )

in ogni punto della curva sulla superficie. Pertanto, il vettore gradiente in punti non singolari della superficie (in corrispondenza dei quali la funzione (4.5) è derivabile e
) è perpendicolare ai vettori tangenti a qualsiasi linea sulla superficie, cioè può essere usato come vettore normale per formulare l'equazione del piano tangente nel punto M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) superfici

(4.6)

e come vettore di direzione nell'equazione normale:

(4.7)

Nel caso di un'assegnazione esplicita (4.2) della superficie, le equazioni rispettivamente del piano tangente e della normale assumono la forma:

(4.8)

e
(4.9)

Nella rappresentazione parametrica della superficie (4.3), i vettori
giacciono nel piano tangente e l'equazione del piano tangente può essere scritta come:

(4.10)

e il loro prodotto vettoriale può essere preso come vettore normale dirigente:

e l'equazione normale può essere scritta come:

(4.11)

dove
- valori dei parametri corrispondenti al punto M 0 .

In quanto segue ci limitiamo a considerare solo quei punti della superficie dove i vettori

non sono uguali a zero e non sono paralleli.

Esempio 4.1 Componi le equazioni del piano tangente e della normale nel punto M 0 (1,1,2) alla superficie del paraboloide di rivoluzione
.

Soluzione: poiché l'equazione paraboloide è data esplicitamente, secondo (4.8) e (4.9) dobbiamo trovare
al punto M 0 :

, e nel punto M 0
. Quindi l'equazione del piano tangente nel punto M 0 assumerà la forma:

2(X -1)+2(y -1)-(z-2)=0 o 2 X +2 y -z - 2=0 e l'equazione normale
.

Esempio 4.2 Componi le equazioni del piano tangente e della normale in un punto arbitrario dell'elicoide
, .

Soluzione. Qui ,

Equazione del piano tangente:

o

Equazioni normali:

.

4.3 LA PRIMA FORMA QUADRATICA DELLA SUPERFICIE.

Se la superficie è data dall'equazione

poi la curva
su di esso può essere data dall'equazione
(4.12)

Differenziale vettore raggio
lungo la curva corrispondente allo spostamento dal punto M 0 ad un punto vicino M, è uguale a

(4.13)

Perché
è il differenziale dell'arco di curva corrispondente allo stesso spostamento), quindi

(4.14)

dove .

L'espressione sul lato destro della (4.14) è chiamata la prima forma quadratica della superficie e gioca un ruolo enorme nella teoria delle superfici.

Differenziale integratods che vanno da T 0 (corrisponde al punto M 0) a t (corrisponde al punto M), otteniamo la lunghezza del corrispondente segmento della curva

(4.15)

Conoscendo la prima forma quadratica della superficie, si possono trovare non solo le lunghezze, ma anche gli angoli tra le curve.

Se du , div sono i differenziali di coordinate curvilinee corrispondenti a uno spostamento infinitesimo lungo una curva, e
— d'altra parte, quindi, tenendo conto (4.13):

(4.16)

Usando la formula

(4.17)

la prima forma quadratica permette di calcolare l'area di una regione
superfici.

Esempio 4.3 Su un'elicoide, trova la lunghezza dell'elica
tra due punti.

Soluzione. Perché su un'elica
, poi . Trova in un punto
la prima forma quadratica. Indicando ev = T , otteniamo l'equazione di questa elica nella forma . Forma quadratica:

= - la prima forma quadratica.

Qui . Nella formula (4.15) in questo caso
e lunghezza dell'arco:

=

4.4 SECONDA FORMA QUADRATICA DELLA SUPERFICIE.

Denota
- vettore normale unitario alla superficie
:

(4.18) . (4.23)

Una linea su una superficie è chiamata linea di curvatura se la sua direzione in ogni punto è la direzione principale.

4.6 IL CONCETTO DI LINEE GEODETICHE SULLA SUPERFICIE.

Definizione 4.1 . Una curva su una superficie si dice geodetica se lo è la sua normale principale in ogni punto in cui la curvatura è diversa da zero, coincide con la normale alla superficie.

Attraverso ogni punto della superficie in qualsiasi direzione passa e solo una geodetica. Su una sfera, ad esempio, i grandi cerchi sono geodetiche.

Una parametrizzazione di una superficie è detta semigeodetica se una famiglia di linee coordinate è costituita da geodetiche e l'altra è ad essa ortogonale. Ad esempio, sui meridiani della sfera (geodetiche) e sui paralleli.

Una geodetica su un segmento sufficientemente piccolo è la più corta tra tutte le curve vicine ad essa che collegano gli stessi punti.

Si considerino le applicazioni geometriche della derivata di una funzione di più variabili. Sia data implicitamente la funzione di due variabili: . Questa funzione è rappresentata nel dominio della sua definizione da una certa superficie (Sez. 5.1). Prendi un punto arbitrario sulla superficie data , in cui tutte e tre le derivate parziali , , esistono e sono continue, e almeno una di esse non è uguale a zero.

Viene chiamato un punto con queste caratteristiche ordinario punto di superficie. Se almeno uno dei requisiti di cui sopra non è soddisfatto, il punto viene chiamato speciale punto di superficie.

Un insieme di curve può essere disegnato attraverso un punto scelto sulla superficie, a ciascuna delle quali può essere disegnata una tangente.

Definizione 5.8.1 . Il piano in cui si trovano tutte le rette tangenti alle rette sulla superficie passante per un punto è detto piano tangente alla superficie data nel punto .

Per disegnare un dato piano è sufficiente avere due rette tangenti, cioè due curve sulla superficie. Queste possono essere curve ottenute come risultato di una sezione di una data superficie per piani, (Fig. 5.8.1).

Scriviamo l'equazione della retta tangente alla curva che giace all'intersezione della superficie e del piano. Poiché questa curva si trova nel sistema di coordinate, l'equazione della tangente ad essa nel punto, in conformità con il paragrafo 2.7, ha la forma:

. (5.8.1)

Di conseguenza, l'equazione della tangente alla curva che giace all'intersezione della superficie e del piano nel sistema di coordinate nello stesso punto ha la forma:

. (5.8.2)

Usiamo l'espressione per la derivata di una funzione definita implicitamente (sezione 5.7). Poi un . Sostituendo queste derivate in (5.8.1) e (5.8.2), otteniamo rispettivamente:

; (5.8.3)

. (5.8.4)

Poiché le espressioni risultanti non sono altro che le equazioni delle rette nella forma canonica (sezione 15), allora dalla (5.8.3) otteniamo il vettore di direzione , e da (5.8.4) – . Il prodotto incrociato darà un vettore normale alle rette tangenti date e, di conseguenza, al piano tangente:

Quindi ne consegue che l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto ha la forma (elemento 14):

Definizione 5.8.2 . Retta passante per un punto la superficie perpendicolare al piano tangente in quel punto è chiamata normale alla superficie.

Poiché il vettore di direzione della normale alla superficie coincide con la normale al piano tangente, l'equazione normale ha la forma:

.

Campo scalare

Sia data una regione nello spazio che occupa parte o tutto questo spazio. Sia associato ad ogni punto di quest'area, secondo una qualche legge, un valore scalare (numero).

Definizione 5.9.1 . Un'area dello spazio, ogni cui punto è associato ad una certa quantità scalare secondo una nota legge, è chiamata campo scalare.

Se all'area è associato un sistema di coordinate, ad esempio cartesiano rettangolare, ogni punto acquisisce le proprie coordinate. In questo caso il valore scalare diventa una funzione delle coordinate: sul piano - , nello spazio tridimensionale - . Un campo scalare è spesso chiamato la funzione stessa, che descrive questo campo. A seconda della dimensione dello spazio, un campo scalare può essere piatto, tridimensionale, ecc.

Va sottolineato che il valore del campo scalare dipende solo dalla posizione del punto nella regione, ma non dipende dalla scelta del sistema di coordinate.

Definizione 5.9.2 . Un campo scalare che dipende solo dalla posizione di un punto nella regione, ma non dipende dal tempo, si dice stazionario.

I campi scalari non stazionari, cioè dipendenti dal tempo, non verranno presi in considerazione in questa sezione.

Esempi di campi scalari includono il campo della temperatura, il campo della pressione nell'atmosfera e il campo dell'altitudine sul livello del mare.

Geometricamente, i campi scalari sono spesso rappresentati utilizzando le cosiddette linee o superfici piane.

Definizione 5.9.3 . L'insieme di tutti i punti nello spazio in cui si trova il campo scalare ha lo stesso valore è chiamata superficie piana o superficie equipotenziale. Nel caso piano di un campo scalare, questo insieme è chiamato linea di livello o linea equipotenziale.

Ovviamente, l'equazione della superficie piana ha la forma , linee di livello – . Dando valori diversi alla costante in queste equazioni, otteniamo una famiglia di superfici o linee di livello. Ad esempio, (sfere incorporate con raggi diversi) o (famiglia di ellissi).

Come esempi di linee di livello dalla fisica, si possono citare isoterme (linee di uguale temperatura), isobare (linee di uguale pressione); dalla geodesia: linee di uguale altezza, ecc.

Vale a dire, su ciò che vedi nel titolo. In sostanza, questo è un "analogo spaziale" problemi di trovare una tangente e normali al grafico di una funzione di una variabile, e quindi non dovrebbero sorgere difficoltà.

Cominciamo con le domande di base: COS'E' un piano tangente e COS'E' un normale? Molti sono consapevoli di questi concetti a livello di intuizione. Il modello più semplice che mi viene in mente è una palla su cui giace un cartoncino piatto e sottile. Il cartone si trova il più vicino possibile alla sfera e la tocca in un unico punto. Inoltre, nel punto di contatto, viene fissato con un ago che sporge verso l'alto.

In teoria, esiste una definizione piuttosto spiritosa di piano tangente. Immagina un arbitrario superficie e il punto che gli appartiene. È ovvio che molto passa attraverso il punto. linee spaziali che appartengono a questa superficie. Chi ha quali associazioni? =) …Ho presentato personalmente il polpo. Supponiamo che ciascuna di queste linee abbia tangente spaziale al punto.

Definizione 1: piano tangente alla superficie in un punto è aereo, contenente le tangenti a tutte le curve che appartengono alla superficie data e passanti per il punto.

Definizione 2: normale alla superficie in un punto è dritto Passare attraverso dato punto perpendicolare al piano tangente.

Semplice ed elegante. A proposito, in modo che tu non muoia di noia dalla semplicità del materiale, un po 'più tardi condividerò con te un elegante segreto che ti permette di dimenticare di stipare varie definizioni UNA VOLTA PER TUTTE.

Conosceremo le formule di lavoro e l'algoritmo di soluzione direttamente su un esempio specifico. Nella stragrande maggioranza dei problemi, è necessario comporre sia l'equazione del piano tangente che l'equazione della normale:

Esempio 1

Soluzione:se la superficie è data dall'equazione (cioè implicitamente), allora l'equazione del piano tangente ad una data superficie in un punto può essere trovata con la seguente formula:

Presto particolare attenzione alle derivate parziali insolite: la loro non va confuso Con derivate parziali di una funzione data implicitamente (anche se la superficie è implicitamente definita). Quando si trovano questi derivati, si dovrebbe essere guidati da regole per differenziare una funzione di tre variabili, cioè quando si differenzia rispetto a una qualsiasi variabile, le altre due lettere sono considerate costanti:

Senza discostarci dal registratore di cassa, troviamo il derivato parziale al punto:

Allo stesso modo:

Questo è stato il momento più spiacevole della decisione, in cui un errore, se non consentito, viene costantemente immaginato. Tuttavia, qui c'è una tecnica di verifica efficace, di cui ho parlato nella lezione. Derivata direzionale e gradiente.

Tutti gli “ingredienti” sono stati trovati, e ora tocca a un'attenta sostituzione con ulteriori semplificazioni:

– equazione generale piano tangente desiderato.

Consiglio vivamente di controllare questa fase della decisione. Per prima cosa devi assicurarti che le coordinate del punto di contatto soddisfino davvero l'equazione trovata:

- vera uguaglianza.

Ora “togliamo” i coefficienti equazione generale piano e verificarne la coincidenza o la proporzionalità con i valori corrispondenti. In questo caso sono proporzionali. Come ricordi da corso di geometria analitica, - esso vettore normale piano tangente, e lui - vettore guida normale linea retta. Componiamo equazioni canoniche normali per punto e vettore di direzione:

In linea di principio, i denominatori possono essere ridotti di un "due", ma questo non è particolarmente necessario.

Risposta:

Tuttavia, non è vietato designare le equazioni con alcune lettere - perché? Qui e così è molto chiaro cosa è cosa.

I due esempi seguenti sono per una soluzione indipendente. Un piccolo "scioglilingua matematico":

Esempio 2

Trova le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie nel punto.

E un compito interessante dal punto di vista tecnico:

Esempio 3

Componi le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie in un punto

Al punto.

Ci sono tutte le possibilità non solo di confondersi, ma anche di affrontare difficoltà durante la scrittura. equazioni canoniche della retta. E le equazioni normali, come probabilmente avrai capito, di solito sono scritte in questa forma. Sebbene, per dimenticanza o ignoranza di alcune sfumature, una forma parametrica sia più che accettabile.

Esempi di soluzioni di finitura alla fine della lezione.

C'è un piano tangente in qualsiasi punto della superficie? In generale, certo che no. L'esempio classico è superficie conica e punto: le tangenti in questo punto formano direttamente una superficie conica e, ovviamente, non giacciono sullo stesso piano. È facile verificare la discordia e analiticamente: .

Un'altra fonte di problemi è il fatto non esistenza qualche derivata parziale in un punto. Tuttavia, questo non significa che non ci sia un unico piano tangente in un dato punto.

Ma era piuttosto scienza popolare che informazioni praticamente significative, e torniamo alle questioni urgenti:

Come scrivere le equazioni del piano tangente e della normale in un punto,
se la superficie è data da una funzione esplicita?

Riscriviamolo implicitamente:

E per gli stessi principi troviamo derivate parziali:

Pertanto, la formula del piano tangente viene trasformata nella seguente equazione:

E di conseguenza, le equazioni canoniche della normale:

Come è facile intuire - è vero" derivate parziali di una funzione di due variabili al punto , che designiamo con la lettera "Z" e che abbiamo trovato 100500 volte.

Si noti che in questo articolo è sufficiente ricordare la primissima formula, da cui, se necessario, è facile ricavare tutto il resto. (ovviamente, avendo un livello di formazione di base). È questo approccio che dovrebbe essere utilizzato nel corso dello studio delle scienze esatte, ad es. da un minimo di informazioni, si dovrebbe sforzarsi di “tirare fuori” un massimo di conclusioni e conseguenze. "Soobrazhalovka" e le conoscenze già esistenti per aiutare! Questo principio è utile anche perché è molto probabile che ti salvi in ​​una situazione critica quando sai molto poco.

Elaboriamo le formule "modificate" con un paio di esempi:

Esempio 4

Componi le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie al punto.

Una piccola sovrapposizione qui si è rivelata con simboli - ora la lettera indica un punto dell'aereo, ma cosa puoi fare - una lettera così popolare ....

Soluzione: comporremo l'equazione del piano tangente desiderato secondo la formula:

Calcoliamo il valore della funzione nel punto:

Calcolare derivate parziali del 1° ordine a questo punto:

In questo modo:

con attenzione, non avere fretta:

Scriviamo le equazioni canoniche della normale nel punto:

Risposta:

E un ultimo esempio per una soluzione fai-da-te:

Esempio 5

Componi le equazioni del piano tangente e della normale alla superficie nel punto.

L'ultimo perché, in effetti, ho spiegato tutti i punti tecnici e non c'è niente di speciale da aggiungere. Anche le funzioni offerte in questo compito sono noiose e monotone: è quasi garantito che in pratica ti imbatterai in un "polinomio", e in questo senso, l'esempio n. 2 con l'esponente sembra una "pecora nera". A proposito, è molto più probabile incontrare una superficie data da un'equazione, e questo è un altro motivo per cui la funzione è stata inclusa nell'articolo come "secondo numero".

E infine, il segreto promesso: quindi come evitare di stipare definizioni? (ovviamente, non intendo la situazione in cui uno studente sta riempiendo febbrilmente qualcosa prima dell'esame)

La definizione di qualsiasi concetto/fenomeno/oggetto, prima di tutto, dà una risposta alla seguente domanda: CHE COS'È? (chi/tale/tale/tale). Consapevolmente Nel rispondere a questa domanda, dovresti cercare di riflettere significativo segni, decisamente identificare questo o quel concetto/fenomeno/oggetto. Sì, all'inizio risulta essere un po 'legato alla lingua, impreciso e ridondante (l'insegnante correggerà =)), ma nel tempo si sviluppa un discorso scientifico abbastanza degno.

Esercitati sugli oggetti più astratti, ad esempio, rispondi alla domanda: chi è Cheburashka? Non è così semplice ;-) È un "personaggio da favola con grandi orecchie, occhi e capelli castani"? Lontano e molto lontano dalla definizione - non si sa mai che ci siano personaggi con tali caratteristiche .... Ma questo è molto più vicino alla definizione: "Cheburashka è un personaggio inventato dallo scrittore Eduard Uspensky nel 1966, che ... (elencando le principali caratteristiche distintive)". Presta attenzione a come è iniziato bene

Si abbia una superficie data da un'equazione della forma

Introduciamo la seguente definizione.

Definizione 1. Una retta è chiamata tangente alla superficie in un punto se lo è

tangente ad una curva giacente sulla superficie e passante per il punto.

Poiché un numero infinito di curve diverse che giacciono sulla superficie passano per il punto P, ci sarà, in generale, un insieme infinito di tangenti alla superficie che passa per questo punto.

Introduciamo il concetto di punti singolari e ordinari di una superficie

Se in un punto tutte e tre le derivate sono uguali a zero o almeno una di queste derivate non esiste, allora il punto M si dice punto singolare della superficie. Se in un punto tutte e tre le derivate esistono e sono continue, e almeno una di esse è diversa da zero, allora il punto M è detto punto ordinario della superficie.

Possiamo ora formulare il seguente teorema.

Teorema. Tutte le rette tangenti ad una data superficie (1) nel suo punto ordinario P giacciono sullo stesso piano.

Prova. Consideriamo una certa linea L sulla superficie (Fig. 206) passante per un dato punto P della superficie. Sia data la curva in esame dalle equazioni parametriche

La tangente alla curva sarà tangente alla superficie. Le equazioni di questa tangente hanno la forma

Se le espressioni (2) sono sostituite nell'equazione (1), allora questa equazione diventa un'identità rispetto a t, poiché la curva (2) giace sulla superficie (1). Differenziandolo rispetto a otteniamo

Le proiezioni di questo vettore dipendono da - le coordinate del punto Р; si noti che poiché il punto P è ordinario, queste proiezioni nel punto P non svaniscono contemporaneamente, e quindi

tangente alla curva passante per il punto P e giacente sulla superficie. Le proiezioni di questo vettore sono calcolate sulla base delle equazioni (2) con il valore del parametro t corrispondente al punto Р.

Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori N e che è uguale alla somma dei prodotti delle proiezioni omonime:

Sulla base dell'uguaglianza (3), l'espressione sul lato destro è uguale a zero, quindi,

Dall'ultima uguaglianza segue che il vettore LG e il vettore tangente alla curva (2) nel punto P sono perpendicolari. Il ragionamento sopra è valido per qualsiasi curva (2) passante per il punto P e giacente sulla superficie. Di conseguenza, ogni tangente alla superficie nel punto P è perpendicolare allo stesso vettore N, e quindi tutte queste tangenti giacciono sullo stesso piano perpendicolare al vettore LG. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Il piano in cui si trovano tutte le rette tangenti alle rette sulla superficie passante per il punto dato P è chiamato piano tangente alla superficie nel punto P (Fig. 207).

Si noti che il piano tangente potrebbe non esistere in punti singolari della superficie. In tali punti, le linee tangenti alla superficie potrebbero non trovarsi sullo stesso piano. Quindi, ad esempio, il vertice di una superficie conica è un punto singolare.

Le tangenti alla superficie conica in questo punto non giacciono sullo stesso piano (formano esse stesse una superficie conica).

Scriviamo l'equazione del piano tangente alla superficie (1) in un punto ordinario. Poiché questo piano è perpendicolare al vettore (4), quindi, di conseguenza, la sua equazione ha la forma

Se l'equazione della superficie è data nella forma o l'equazione del piano tangente in questo caso assume la forma

Commento. Se nella formula (6) impostiamo , allora questa formula assumerà la forma

il suo lato destro è differenziale totale funzioni. Quindi, . Pertanto, il differenziale totale di una funzione di due variabili nel punto corrispondente agli incrementi delle variabili indipendenti xey è uguale al corrispondente incremento dell'applicata del piano tangente alla superficie, che è il grafico di questa funzione.

Definizione 3. Una retta tracciata attraverso un punto della superficie (1) perpendicolare al piano tangente è chiamata normale alla superficie (Fig. 207).

Scriviamo le equazioni normali. Poiché la sua direzione coincide con la direzione del vettore N, le sue equazioni avranno la forma