Portare un sistema piatto di forze in un dato centro. Casi di riduzione di un sistema piano di forze ad un dato punto. Condizioni per l'equilibrio di coppie di forze
Teorema . ForzaF , senza modificare il suo effetto sul corpo, può essere trasferito dal punto della sua applicazione A a qualsiasi centro di riduzione O, mentre attacca al corpo una coppia di forze con un momentom , geometricamente uguale al momentom DI (F ) di questa forza rispetto al centro di riferimento.
Sia data la forza F, giacente sul piano orizzontale OXY parallelo all'asse OX (Fig. 1.41).
Secondo il metodo Poinsot invece della forza F applicata nel punto A, si ottiene la forza F 1, uguale in grandezza alla forza F, ma applicato al punto O e coppia di forze attaccate , il cui momento vettoriale m= m DI ( F).
Secondo il teorema sull'equivalenza delle coppie di forze, la coppia di forze attaccata può essere sostituita da qualsiasi altra coppia di forze con lo stesso momento vettoriale.
1.15. Portare un sistema arbitrario di forze in un dato centro
Teorema . Qualsiasi sistema arbitrario di forze agenti su un corpo può essere ridotto nel caso generale a una forza ea una coppia di forze.
Viene chiamato questo processo di sostituzione di un sistema di forze con una forza e una coppia di forze portando il sistema di forze in un determinato centro .
P
Applicando successivamente il metodo di Poinsot a ciascuno dei dati sistemi di forze, lo portiamo a un centro arbitrario O. Di conseguenza, otteniamo un sistema di forze ( F 1 , …, F n) applicato al centro O, e una coppia di forze attaccate con un momento m= Σ m DI ( F io). Aggiungendo forze F 1 , …, F n per la regola del parallelogramma otteniamo la loro risultante R* , uguale alla somma geometrica delle forze date e applicata nel centro di riduzione.
Viene chiamata la somma geometrica di tutte le forze del sistema il vettore principale del sistema di forze e, in contrasto con la risultante R, denota R * .
Vettore m= Σ m DI ( F Chiamo il momento principale del sistema di forze rispetto al centro di riduzione.
Questo risultato può essere formulato come segue: le forze posizionate arbitrariamente nello spazio possono essere ridotte a una forza uguale al loro vettore principale e applicate al centro di riduzione ea una coppia di forze con un momento uguale al momento principale di tutte le forze relative al centro di riduzione.
La scelta del centro di riduzione non influisce sul modulo e sulla direzione del vettore principale R* , ma influenza il modulo e la direzione del momento principale m. vettore principale R* è un vettore gratuito e può essere applicato ovunque sul corpo.
1.16. Condizioni analitiche di equilibrio per un sistema di forze piano arbitrario
Sistema di forze arbitrario planare – un sistema di forze le cui linee d'azione si trovano arbitrariamente sullo stesso piano.
Le linee di azione di un sistema arbitrario di forze piano si intersecano in punti diversi.
h
Applicare costantemente il metodo di Poinsot per ciascuna delle forze F i, effettueremo un trasferimento parallelo di forze dai punti A i all'inizio O del sistema di riferimento OXYZ. Secondo questo metodo, la forza F sarò equivalente alla forza F ho applicato nel punto O e la coppia di forze allegata con il momento m io = m DI ( F io ) . In questo caso, M i = ± F i h i , dove h i è il braccio della forza F i rispetto al centro di riduzione O. Al termine di questo lavoro si ottiene un sistema di forze convergenti ( F io ,…, F n) e un sistema convergente di momenti vettoriali m io = m DI ( F i) coppie di forze accoppiate applicate al centro di riduzione. Sommando i vettori delle forze, otteniamo le teste
vettore R* = Σ F Io e punto principale coppia equivalente di forze m = Σ m DI ( F io).
In questo modo, sistema di forze arbitrario piano (F io ,…, F n ) è equivalente a una forza R* = Σ F io e una coppia di forze con momento M = Σ M DI (F io ).
Quando si risolvono problemi statici, vengono utilizzate le proiezioni delle forze sugli assi delle coordinate e i momenti algebrici delle forze relative a un punto.
Sulla fig. 1.44 mostra un sistema arbitrario di forze piatto, ridotto al vettore principale di forze, il cui modulo è R * = 
e una coppia equivalente di forze con momento algebrico M = Σ M О ( F io).
IN
Condizione di equilibrio geometrico di qualsiasi sistema di forze è espresso da uguaglianze vettoriali: R* = Σ F io = 0; m= Σ m DI ( F i) = 0.
Quando si risolvono i problemi, è necessario determinare le reazioni R i E vincoli esterni imposti al sistema meccanico. Allo stesso tempo, le forze attive F i E applicati a questo sistema sono noti. Dal momento che le forze attive F i E e reazioni di legame R i E appartengono alla categoria delle forze esterne, quindi è opportuno esprimere la condizione di equilibrio geometrico del sistema di forze esterne mediante uguaglianze vettoriali:
Σ F io E + Σ R io E = 0;
Σ m UN( F io E) + Σ m UN( R io E) = 0.
Per l'equilibrio del sistema delle forze esterne è necessario e sufficiente che la somma geometrica delle forze attive F io e e reazioni R io e legami esterni e somma geometrica dei momenti delle forze attive m UN ( F io e ) e le reazioni delle relazioni esterne m UN ( R io e ) rispetto ad un punto arbitrario A erano uguali a zero.
Proiettando queste uguaglianze vettoriali sugli assi delle coordinate del sistema di riferimento, otteniamo condizioni analitiche per l'equilibrio di un sistema di forze esterne . Per un sistema di forze arbitrario piano, queste equazioni assumono la forma seguente:
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ M A ( F io E) + Σ M UN ( R io E) = 0,
dove Σ 
,
Σ 
- rispettivamente la somma delle proiezioni delle forze attive sugli assi coordinati OX, OY; Σ 
,
Σ 
sono le somme delle proiezioni delle reazioni di legame esterno sugli assi coordinati OX, OY; Σ M A ( F i E) è la somma dei momenti algebrici delle forze attive F i E rispetto al punto A; Σ M A ( R i E) è la somma dei momenti algebrici delle reazioni R i E link esterni relativi al punto A.
La combinazione di queste formule è la prima forma (di base) delle equazioni di equilibrio per un sistema arbitrario piano di forze esterne .
In questo modo , per l'equilibrio di un sistema arbitrario piatto di forze esterne applicate ad un sistema meccanico, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni delle forze attive e delle reazioni dei collegamenti esterni su due assi coordinati e la somma dei momenti algebrici delle forze attive e le reazioni dei collegamenti esterni rispetto a un punto arbitrario A sono uguali a zero.
Esistono altre forme di equazioni di equilibrio per un sistema di forze arbitrario piano.
Seconda forma espresso da un insieme di formule:
Σ 
+ Σ 
= 0;
Σ M A ( F io E) + Σ M UN ( R io E) = 0;
Σ M B ( F io E) + Σ M Â ( R io E) = 0.
Per l'equilibrio di un sistema arbitrario piatto di forze esterne applicate al corpo, è necessario e sufficiente che la somma delle proiezioni delle forze sull'asse delle coordinate e la somma dei momenti algebrici delle forze relative ai punti arbitrari A e B siano uguali zero.
Terza forma le equazioni di equilibrio sono espresse da un insieme di formule:
Σ M A ( F io E) + Σ M UN ( R io E) = 0;
Σ M B ( F io E) + Σ M Â ( R io E) = 0;
Σ M C ( F io E) + Σ M С ( R io E) = 0.
Per l'equilibrio di un sistema arbitrario piatto di forze esterne applicate al corpo, è necessario e sufficiente che le somme dei momenti algebrici di queste forze rispetto ai punti arbitrari A, B e C siano uguali a zero.
Quando si utilizza la terza forma di equazioni di equilibrio, i punti A, B e C non devono trovarsi sulla stessa linea.
Il metodo descritto per portare una forza in un dato punto può essere applicato a qualsiasi numero di forze. Assumiamo che nei punti del corpo A,B,C e D(Fig. 19) forze applicate 1 , 2 , 3 e 4 . È necessario portare queste forze al punto DI aerei. Portiamo prima la forza 1 , applicato al punto MA. Applichiamo a un certo punto DI due forze ’ 1 e ’’ 1 , uguale separatamente in modulo alla forza data 1 parallela ad essa e diretta in direzioni opposte. Come risultato di portare la forza 1 prendi il potere ’ 1 , applicato al punto DI e un paio di forze 1 ’’ 1 (le forze che formano una coppia sono contrassegnate da trattini) con una spalla un 1. Fare lo stesso con la forza 2 , applicato al punto IN, otteniamo la forza 2 , applicato al punto DI e un paio di forze 2 ’’ 2 spalla un 2 eccetera.
Sistema piano delle forze applicate ai punti MA, IN, DA e D, abbiamo sostituito da forze convergenti ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 e ’ 4 , applicato al punto DI, e coppie di forze con momenti uguali ai momenti di date forze rispetto al punto DI:
M 1 = P 1 un 1 = M o ( 1); M 2 = P 2 un 2 = M o (2);
M 3 \u003d - P 3 a 3 \u003d M o (3); M 4 \u003d - P 4 a 4 \u003d M o (4).
Le forze convergenti in un punto possono essere sostituite da una singola forza " , pari alla somma geometrica delle componenti,
" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = io .(16)
Questa forza, uguale alla somma geometrica delle forze date, è chiamata il vettore principale del sistema di forze.
In base alla regola per sommare coppie di forze, da può essere sostituita dalla coppia risultante, il cui momento è uguale alla somma algebrica dei momenti di date forze attorno al punto DI:
M o \u003d M 1 + M 2 + M 3 + M 4 \u003d io \u003d o (i).(17)
Per analogia con il momento del vettore principale M0 coppie, pari alla somma algebrica dei momenti di tutte le forze attorno al centro di riduzione DI, chiamata il momento principale del sistema rispetto al centro di riduzione dato O. Di conseguenza, nel caso generale, un sistema piano di forze, per effetto della riduzione ad un dato punto O, è sostituito da un sistema equivalente costituito da una forza - il vettore principale - e da una coppia, il cui momento è detto momento principale di un dato sistema di forze rispetto al centro di riduzione.
È necessario capirlo vettore principale ’ non è la risultante di questo sistema di forze, poiché questo sistema non è equivalente a una forza ’. Solo in un caso particolare, quando il momento principale svanisce, il vettore principale sarà la risultante di questo sistema di forze. Poiché il vettore principale è uguale alla somma geometrica delle forze del sistema dato, né il modulo né la sua direzione dipendono dalla scelta del centro di riduzione. Grandezza e segno del momento principale M0 dipendono dalla posizione del centro di riduzione, poiché le spalle delle coppie costituenti dipendono dalla posizione reciproca delle forze e dal punto (centro) rispetto al quale vengono presi i momenti.
Possono verificarsi i seguenti casi di riduzione del sistema delle forze:
1. "≠ 0; M o ≠ 0 - caso generale; il sistema è ridotto al vettore principale e al momento principale.
2. "≠ 0; M o \u003d 0; il sistema si riduce ad una risultante uguale al vettore principale del sistema.
3. "= 0; M o ≠ 0; il sistema è ridotto a una coppia di forze il cui momento è uguale al momento principale.
4. " = 0; M o = 0; il sistema è in equilibrio.
Si può dimostrare che, in generale, quando "≠ 0 e M o ≠ 0, c'è sempre un punto relativo al quale il momento principale del sistema di forze zero.
Consideriamo un sistema piano di forze ridotte a un punto DI, cioè. sostituito dal vettore principale " ≠ 0 , applicato al punto DI, e il punto principale M o ≠ 0(Fig. 20).
Per certezza, assumiamo che il momento principale sia diretto in senso orario, cioè M o< 0. Rappresentiamo questo momento principale con una coppia di forze "" , il cui modulo scegliamo uguale al modulo del vettore principale " , cioè. R =R'' = R'. Una delle forze che compongono una coppia è la forza "" – applichiamo nel centro di riduzione DI, un'altra forza - ad un certo punto DA, la cui posizione è determinata dalla condizione: M o \u003d OS * R. Di conseguenza,
sistema operativo =. (18)
Mettiamo un paio di forze "" in modo che la forza "" era diretto nella direzione opposta al vettore principale " . Al punto DI(Fig. 20) abbiamo due forze uguali tra loro opposte " e "" , diretto lungo una linea retta; possono essere scartati (secondo il terzo assioma). Pertanto, rispetto al punto DA il momento principale del sistema di forze considerato è uguale a zero e il sistema è ridotto alla risultante .
§ 18. Teorema sul momento della risultante (teorema di Varignon)
Nel caso generale (vedi § 17), un arbitrario sistema piano di forze si riduce al vettore principale " e punto principale M0 rispetto al centro di riduzione scelto, e il momento principale è uguale alla somma algebrica dei momenti delle forze date attorno al punto DI
M o = o (i).(ma)
È stato mostrato che è possibile scegliere il centro di riduzione (in Fig. 20, il punto DA), rispetto al quale il momento principale del sistema sarà uguale a zero, e il sistema di forze sarà ridotto ad una risultante uguale in valore assoluto al vettore principale ( R = R'). Determiniamo il momento della risultante rispetto al punto DI. Considerando che la spalla Sistema operativo la forza è , noi abbiamo
M o () = R*OC = R = M o.(B)
Due quantità, separatamente uguali alla terza, sono tra loro uguali, quindi dalle equazioni (a) e (b) troviamo
M o () = o (i).(19)
L'equazione risultante esprime il teorema di Varignon: il momento del risultante sistema piano di forze rispetto ad un punto arbitrario è uguale alla somma algebrica dei momenti delle forze costituenti rispetto allo stesso punto.
Segue dal teorema di Varignon che il momento principale di un sistema di forze piatto rispetto a un punto qualsiasi che giace sulla linea d'azione della sua risultante è uguale a zero.
Sistema piatto di forze localizzate arbitrariamente.
Condizioni per l'equilibrio di coppie di forze.
Se più coppie di forze agiscono su un corpo rigido, posizionato arbitrariamente nello spazio, applicando successivamente la regola del parallelogramma a ciascuno dei due momenti di coppie di forze, un qualsiasi numero di coppie di forze può essere sostituito da una coppia equivalente di forze, il momento di cui è uguale alla somma dei momenti di date coppie di forze.
Teorema. Per bilanciare le coppie di forze applicate corpo solido, è necessario e sufficiente che la somma algebrica delle proiezioni dei momenti delle coppie di forze su ciascuno dei tre assi coordinati sia uguale a zero.
Si consideri il caso del trasferimento di forza in un punto arbitrario che non giace sulla linea d'azione della forza.
Prendi la forza F applicata al punto C. È necessario trasferire questa forza parallela a se stessa in un punto O. Applichiamo due forze F "ed F" nel punto O, dirette in modo opposto, di valore uguale e parallele alla forza data F, ovvero F " \u003d F "\u003d F. Dall'applicazione nel punto O di queste forze, lo stato del corpo non cambia, poiché sono reciprocamente equilibrate. Il sistema risultante di tre forze può essere considerato costituito da una forza F" applicata al punto O, e da una coppia di forze FF" con momento M = Fa. Questa coppia di forze è chiamata Allegata, e la sua spalla a è uguale alla spalla della forza F relativa al punto O.
Pertanto, quando la forza F viene ridotta ad un punto che non giace sulla linea d'azione della forza, si ottiene un sistema equivalente, costituito da una forza che è la stessa in grandezza e direzione della forza F, e un annesso coppia di forze, il cui momento è uguale al momento di questa forza rispetto al punto cast:
Come esempio di riduzione della forza, si consideri l'azione della forza F sull'estremità C dell'asta schiacciata (Fig. 28, b). Dopo aver portato la forza F al punto O della sezione pizzicata, troviamo in essa la forza F1 uguale e parallela a quella data, e il momento annesso M, uguale al momento della forza data F rispetto al punto di riferimento O ,
1.4.2 Portare un sistema piano di forze in un dato punto
Il metodo descritto per portare una forza in un dato punto può essere applicato a qualsiasi numero di forze. Assumiamo che nei punti del corpo A, B, C e D (Fig. 30) siano applicate forze F1, F2, F3, F4.
È necessario portare queste forze nel punto O del piano. Diamo prima la forza F1 applicata al punto A. Applichiamo nel punto O due forze F1 "e F1"", parallele ad esso e dirette in direzioni opposte. Portando la forza F1, otteniamo la forza F1 " applicata al punto O, e una coppia di forze F1 "F1" "con spalla a1. Facendo lo stesso con la forza F2 applicata al punto B, otteniamo la forza F2" applicata al punto O, e una coppia di forze con a spalla a2 ecc.
Abbiamo sostituito il sistema piatto di forze applicate ai punti A, B, C e D con forze convergenti F1, F2, F3, F4 applicate al punto O e coppie di forze con momenti uguali ai momenti di date forze rispetto al punto O:
Le forze convergenti in un punto possono essere sostituite da una forza F "ch, uguale alla somma geometrica delle componenti,
Questa forza, uguale alla somma geometrica delle forze date, è chiamata il vettore principale del sistema di forze e indichiamo F "cap.
In base alla regola per sommare coppie di forze, possono essere sostituite dalla coppia risultante, il cui momento è uguale alla somma algebrica dei momenti delle forze date attorno al punto O ed è chiamato evidenziare rispetto al punto di riferimento
Di conseguenza, nel caso generale, un sistema piatto di forze, per effetto della riduzione ad un dato punto O, è sostituito da un sistema equivalente costituito da una forza (vettore principale) e da una coppia (momento principale).
È necessario apprendere che il vettore principale F "ch è la risultante di questo sistema di forze, poiché questo sistema non equivale a una forza F "ch. Solo in un caso particolare, quando il momento principale svanisce, il vettore principale sarà la risultante di questo sistema di forze. Poiché il vettore principale è uguale alla somma geometrica delle forze di un dato sistema, né il modulo né la sua direzione dipendono dalla scelta del centro di riduzione. Il valore e il segno del momento principale Mg dipendono dalla posizione del centro di riduzione, poiché le spalle delle coppie costituenti dipendono dalla posizione reciproca delle forze e dal punto (centro) rispetto al quale vengono presi i momenti.
Possono verificarsi i seguenti casi di riduzione del sistema delle forze:
1. - caso generale; il sistema è ridotto al vettore principale e al momento principale.
2.; il sistema si riduce ad una risultante uguale al vettore principale del sistema.
3.; il sistema è ridotto a una coppia di forze il cui momento è uguale al momento principale.
4. ; il sistema è in equilibrio, cioè per l'equilibrio di un sistema di forze piatto è necessario e sufficiente che il suo vettore principale e momento principale siano contemporaneamente uguali a zero.
Si può dimostrare che nel caso generale, quando, esiste sempre un punto rispetto al quale il momento principale delle forze è uguale a zero.
Si consideri un sistema di forze piatto, che è ridotto al punto O, cioè sostituito dal vettore principale applicato nel punto O, e dal momento principale. Per certezza, assumiamo che il momento principale sia diretto in senso orario, cioè . Rappresentiamo questo momento principale con una coppia di forze FF", il cui modulo sceglieremo uguale al modulo del vettore principale, cioè . Applicheremo una delle forze che compongono la coppia al centro di riduzione O, l'altra forza nel punto C, la cui posizione sarà determinata dalla condizione: .
Disponiamo una coppia di forze in modo che la forza F "" sia diretta nella direzione opposta al vettore principale F "ch. Nel punto O abbiamo due forze uguali tra loro opposte F "ch e F" "dirette lungo una retta ; possono essere scartati (secondo il terzo assioma). Pertanto, rispetto al punto C, il momento principale del sistema di forze considerato è uguale a zero e il sistema è ridotto alla risultante.
Il metodo per portare una forza in un dato punto può essere applicato a qualsiasi numero di forze. Assumiamo che in alcuni punti del corpo (Fig. 1.24) vengano applicate delle forze F 1 F 2 , F 3 e F4.È necessario portare queste forze al punto DI aerei. Diamo prima la forza applicata al punto MA. Applichiamo (vedi § 16) al punto DI due forze uguali in valore separatamente a una data forza parallela ad essa e dirette in direzioni opposte. Come risultato del portare la forza, otteniamo la forza , applicato al punto O, e una coppia di forze con una spalla . Fare lo stesso con la forza , applicato al punto IN, prendi il potere , applicato al punto DI, e una coppia di forze con una spalla, ecc. Un sistema piatto di forze applicate in punti A, B, C e D, abbiamo sostituito da forze convergenti , attaccato in un punto DI, e coppie di forze con momenti uguali ai momenti di date forze attorno al punto DI:
fig.1.24
Le forze convergenti in un punto possono essere sostituite da una forza uguale alla somma geometrica dei componenti,
Questa forza, uguale alla somma geometrica delle forze date, è chiamata il vettore principale del sistema di forze e denota.
In base alla grandezza delle proiezioni del vettore principale sugli assi delle coordinate, troviamo il modulo del vettore principale:
Sulla base della regola per sommare coppie di forze, possono essere sostituite dalla coppia risultante, il cui momento è uguale alla somma algebrica dei momenti delle forze date attorno al punto DI e chiamato evidenziare rispetto al punto di riferimento
Pertanto, un sistema di forze piatto arbitrario può essere ridotto a una forza(il vettore principale del sistema di forze) e un momento(momento principale del sistema di forze).
È necessario imparare che il cento vettore principale non è la risultante di questo sistema di forze, poiché questo sistema non è equivalente a una forza. Poiché il vettore principale è uguale alla somma geometrica delle forze di un dato sistema, né il modulo né la sua direzione dipendono dalla scelta del centro di riduzione. Il valore e il segno del momento principale dipendono dalla posizione del centro di riduzione, poiché le spalle delle coppie costituenti dipendono dalla posizione reciproca delle forze e dal punto (centro) rispetto al quale vengono presi i momenti.
Casi speciali di portare il sistema di forze:
uno) ; il sistema è in equilibrio, cioè per l'equilibrio di un sistema piano di forze è necessario e sufficiente che il suo vettore principale e momento principale siano simultaneamente uguali a zero.
Il momento della forza F rispetto a un dato punto O è il prodotto dell'entità della forza sulla sua spalla, cioè la lunghezza della perpendicolare caduta dal punto O alla linea d'azione di questa forza.
Se la forza F tende a ruotare il corpo attorno ad un dato punto O in senso opposto al movimento in senso orario, allora concordiamo che il momento della forza F relativo al punto O è considerato positivo; se la forza tende a ruotare il corpo attorno al punto O nel senso coincidente con il senso del movimento in senso orario, allora il momento di forza relativo a questo punto sarà considerato negativo. Di conseguenza,
Se la linea d'azione della forza F passa per un dato punto O, il momento della forza F attorno a questo punto è uguale a zero.
L'aggiunta di forze posizionate arbitrariamente su un piano può essere eseguita in due modi:
1) addizione sequenziale;
2) portare il dato sistema di forze in un centro scelto arbitrariamente.
Il primo metodo diventa ingombrante quando grandi numeri termini di forze e non è applicabile al sistema spaziale delle forze, mentre il secondo metodo è generale, più semplice e conveniente.
Se viene dato un sistema di forze, posizionato arbitrariamente su un piano, quindi, trasferendo tutte queste forze in un punto scelto arbitrariamente O in questo piano, chiamato centro di riduzione, otteniamo la forza applicata in questo centro
e una coppia con un momento
La somma geometrica delle forze di un dato sistema è chiamata vettore uguale di questo sistema di forze.
La somma algebrica dei momenti delle forze di un sistema piano rispetto a un punto O del piano della loro azione è chiamata momento principale di questo sistema di forze rispetto a questo punto O.
Il momento principale cambia con un cambio del centro di riduzione; la dipendenza del momento principale dalla scelta del centro di riferimento è espressa dalla seguente formula:
dove e sono due diversi centri di riferimento.
Poiché la forza R e la coppia con il momento , risultante dalla riduzione di questo sistema piano di forze al centro O, giacciono sullo stesso piano, possono essere ridotte a una forza applicata in un punto. Questa forza è la risultante del dato sistema piano di forze.
Quindi, se , allora il sistema di forze si riduce ad una risultante che non passa per il centro di riduzione O. In questo caso, il momento della risultante rispetto a qualsiasi punto sarà uguale alla somma algebrica dei momenti di tutti queste forze rispetto allo stesso punto (teorema di Varignon).
Se l'origine delle coordinate è scelta nel centro di riduzione e sono note le proiezioni di tutte le forze sugli assi delle coordinate e le coordinate dei punti di applicazione di queste forze, allora il momento della risultante è trovato dalla formula
Se, come risultato di portare il sistema di forze in un dato centro, risulta che il vettore principale di questo sistema è uguale a zero e il suo momento principale è diverso da zero, allora questo sistema è equivalente a una coppia di forze , e il momento principale del sistema è uguale al momento di questa coppia e non dipende in questo caso dal centro di riferimento scelto. Se poi il sistema si riduce ad una risultante applicata al centro di riduzione O.
Se e , allora il sistema di forze è in equilibrio. Tutti i casi incontrati nell'addizione delle forze di un sistema piatto possono essere rappresentati sotto forma di tabella. 3.
Tabella 3
Considereremo l'equilibrio di un sistema piano di forze nel prossimo paragrafo, e passiamo ora alla risoluzione dei problemi per l'addizione di forze di un sistema piano.
Esempio 13. Dato un sistema piatto di quattro forze, le proiezioni X e Y di queste forze sugli assi delle coordinate, le coordinate x, y dei punti della loro applicazione sono riportate in Tabella. 4.
Tabella 4
Porta questo sistema all'origine e poi trova la linea d'azione della risultante.
Soluzione. Troviamo le proiezioni del vettore principale del dato sistema di forze sugli assi delle coordinate secondo la formula (14)
Il momento principale si trova dalla formula (15)
Sia un punto della linea d'azione della risultante desiderata. Quindi
D'altra parte, per il teorema di Varignon abbiamo:
Di conseguenza,
Questa è l'equazione della linea d'azione della risultante.
Esempio 14. Trova la risultante di quattro forze agenti ai lati di un esagono regolare, la cui direzione è indicata in fig. 30 se .
Soluzione. Scegliamo il centro O dell'esagono come centro di riduzione e troviamo il vettore principale R e il momento principale di questo sistema di forze rispetto al centro O. Poiché , allora il vettore principale R è uguale a e il momento principale
Per trovare il momento della forza, relativo al punto O, abbassiamo la perpendicolare SM, dal punto O alla linea d'azione di questa forza. Poiché la forza tende a ruotare l'esagono attorno al punto O in senso orario, allora