Determinare il valore della derivata della funzione nel punto x0. Calcolo della derivata di una funzione online. L'equazione della tangente al grafico della funzione

Il calcolatore calcola le derivate di tutte le funzioni elementari, fornendo una soluzione dettagliata. La variabile di differenziazione viene determinata automaticamente.

Derivata di funzioneè uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Tali problemi hanno portato alla comparsa della derivata, come ad esempio il calcolo della velocità istantanea di un punto in un momento, se il percorso è noto in funzione del tempo, il problema di trovare una tangente ad una funzione in un punto .

Molto spesso, la derivata di una funzione è definita come il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, se esiste.

Definizione. Sia definita la funzione in un intorno del punto. Quindi la derivata della funzione nel punto è chiamata limite, se esiste

Come calcolare la derivata di una funzione?

Per imparare a differenziare le funzioni, bisogna imparare e capire regole di differenziazione e impara a usarlo tavola derivata.

Regole di differenziazione

Sia e siano funzioni differenziabili arbitrarie di una variabile reale, sia una costante reale. Quindi

è la regola per differenziare il prodotto delle funzioni

è la regola per differenziare le funzioni quoziente

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — differenziazione di una funzione con esponente variabile

- regola di differenziazione funzione complessa

è la regola di differenziazione della funzione di potenza

Derivata di una funzione online

Il nostro calcolatore calcolerà in modo rapido e accurato la derivata di qualsiasi funzione online. Il programma non commetterà errori nel calcolo della derivata e aiuterà ad evitare calcoli lunghi e noiosi. Un calcolatore online sarà utile anche quando è necessario verificare la correttezza della soluzione e, se non è corretta, trovare rapidamente un errore.

È stata scritta molta teoria sul significato geometrico. Non entrerò nella derivazione dell'incremento della funzione, ti ricorderò la cosa principale per completare le attività:

La derivata nel punto x è uguale alla pendenza della tangente al grafico della funzione y = f (x) in questo punto, cioè è la tangente dell'angolo di inclinazione all'asse X.

Prendiamo subito il compito dall'esame e iniziamo a capirlo:

Compito numero 1. La figura mostra grafico della funzione y = f(x) e la tangente ad esso nel punto con ascissa x0. Trova il valore della derivata della funzione f(x) nel punto x0.
Chi ha fretta e non vuole capire le spiegazioni: costruisci su uno qualsiasi di questi triangoli (come mostrato sotto) e dividi il lato in piedi (verticale) per quello sdraiato (orizzontale) e sarai felice se non dimentichi il segno (se la linea diminuisce (→ ↓), quindi la risposta dovrebbe essere con un meno, se la linea aumenta (→), la risposta deve essere positiva!)

Devi trovare l'angolo tra la tangente e l'asse X, chiamiamolo α: traccia una retta parallela all'asse X ovunque attraverso la tangente al grafico, otteniamo lo stesso angolo.

È meglio non prendere il punto x0, perché avrai bisogno di una grande lente d'ingrandimento per determinare le coordinate esatte.

Prendendo qualsiasi triangolo rettangolo(in figura sono suggerite 3 opzioni), troviamo tgα (gli angoli sono uguali, come corrispondenti), cioè otteniamo la derivata della funzione f(x) nel punto x0. Perchè così?

Se disegniamo tangenti in altri punti x2, x1, ecc. le tangenti saranno diverse.

Torniamo al 7° grado per costruire una linea retta!

L'equazione di una retta è data dall'equazione y = kx + b , dove

k - inclinazione rispetto all'asse X.

b è la distanza tra il punto di intersezione con l'asse Y e l'origine.

La derivata di una retta è sempre la stessa: y" = k.

In qualsiasi punto della linea prendiamo la derivata, sarà invariata.

Pertanto, non resta che trovare tgα (come accennato in precedenza: dividiamo il lato in piedi per il lato sdraiato). Dividiamo la gamba opposta per quella adiacente, otteniamo che k \u003d 0,5. Tuttavia, se il grafico è decrescente, il coefficiente è negativo: k = −0,5.

Ti consiglio di controllare secondo modo:
Due punti possono essere usati per definire una linea retta. Trova le coordinate di due punti qualsiasi. Ad esempio, (-2;-2) e (2;-4):

Sostituisci nell'equazione y = kx + b invece di y e x le coordinate dei punti:

-2 = -2k + b

Risolvendo questo sistema, otteniamo b = −3, k = −0,5

Conclusione: il secondo metodo è più lungo, ma in esso non dimenticherai il segno.

Risposta: - 0,5

Compito numero 2. La figura mostra grafico derivato funzioni f(x). Otto punti sono contrassegnati sull'asse x: x1, x2, x3, ..., x8. Quanti di questi punti giacciono sugli intervalli della funzione crescente f(x) ?

Se il grafico della funzione è decrescente - la derivata è negativa (e viceversa).

Se il grafico della funzione aumenta, la derivata è positiva (e viceversa).

Queste due frasi ti aiuteranno a risolvere la maggior parte dei problemi.

Guarda attentamente ti viene dato un disegno di una derivata o di una funzione, quindi scegli una delle due frasi.

Costruiamo un grafico schematico della funzione. Perché ci viene dato un grafico della derivata, quindi dove è negativo il grafico della funzione diminuisce, dove è positivo aumenta!

Si scopre che 3 punti si trovano sulle aree di aumento: x4; x5; x6.

Risposta: 3

Compito numero 3. La funzione f(x) è definita sull'intervallo (-6; 4). L'immagine mostra grafico della sua derivata. Trova l'ascissa del punto in cui la funzione assume il valore maggiore.

Ti consiglio di costruire sempre come va il grafico della funzione, con tali frecce o schematicamente con segni (come al n. 4 e al n. 5):

Ovviamente, se il grafico aumenta a -2, il punto massimo è -2.

Risposta: -2

Compito numero 4. La figura mostra un grafico della funzione f(x) e dodici punti sull'asse x: x1, x2, ..., x12. In quanti di questi punti è negativa la derivata della funzione?

Il compito è inverso, dato il grafico della funzione, è necessario costruire schematicamente come apparirà il grafico della derivata della funzione e calcolare quanti punti si troveranno nell'intervallo negativo.

Positivo: x1, x6, x7, x12.

Negativo: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Risposta: 7

Un altro tipo di compito, alla domanda su alcuni terribili "estremi"? Non sarà difficile per te trovare di cosa si tratta, ma ti spiego per i grafici.

Compito numero 5. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f(x), definita sull'intervallo (-16; 6). Trova il numero di punti estremi della funzione f(x) sul segmento [-11; cinque].

Nota l'intervallo da -11 a 5!

Rivolgiamo i nostri occhi luminosi alla tavola: è dato il grafico della derivata della funzione => quindi gli estremi sono i punti di intersezione con l'asse X.

Risposta: 3

Compito numero 6. La figura mostra un grafico della derivata della funzione f (x), definita sull'intervallo (-13; 9). Trova il numero di punti massimi della funzione f(x) sull'intervallo [-12; cinque].

Nota l'intervallo da -12 a 5!

Puoi guardare la lastra con un occhio, il punto massimo è un estremo, tale che prima di esso la derivata è positiva (la funzione aumenta), e dopo di essa la derivata è negativa (la funzione diminuisce). Questi punti sono cerchiati.

Le frecce mostrano come si comporta il grafico della funzione.

Risposta: 3

Compito numero 7. La figura mostra un grafico della funzione f(x) definita sull'intervallo (-7; 5). Trova il numero di punti in cui la derivata della funzione f(x) è uguale a 0.

Puoi guardare la tabella sopra (la derivata è zero, il che significa che questi sono punti estremi). E in questo problema viene fornito il grafico della funzione, il che significa che devi trovare numero di punti di flesso!

E puoi, come al solito: costruiamo un grafico schematico della derivata.

La derivata è zero quando il grafico della funzione cambia direzione (da crescente a decrescente e viceversa)

Risposta: 8

Compito numero 8. L'immagine mostra grafico derivato funzione f(x) definita sull'intervallo (-2; 10). Trova gli intervalli di funzione crescente f(x). Nella tua risposta, indica la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

Costruiamo un grafico schematico della funzione:

Dove aumenta, otteniamo 4 punti interi: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Risposta: 22

Compito numero 9. L'immagine mostra grafico derivato funzione f(x) definita sull'intervallo (-6; 6). Trova il numero di punti f(x) in cui la tangente al grafico della funzione è parallela o coincide con la retta y = 2x + 13.

Ci viene dato un grafico della derivata! Ciò significa che anche la nostra tangente deve essere “tradotta” in una derivata.

Derivata tangente: y" = 2.

Ora costruiamo entrambe le derivate:

Le tangenti si intersecano in tre punti, quindi la nostra risposta è 3.

Risposta: 3

Compito numero 10. La figura mostra il grafico della funzione f (x) e sono segnati i punti -2, 1, 2, 3. In quale di questi punti il ​​valore della derivata è il più piccolo? Si prega di indicare questo punto nella risposta.

Il compito è in qualche modo simile al primo: per trovare il valore della derivata, devi costruire una tangente a questo grafico in un punto e trovare il coefficiente k.

Se la linea è decrescente, k< 0.

Se la linea è crescente, k > 0.

Pensiamo a come il valore del coefficiente influenzerà la pendenza della retta:

Con k = 1 o k = − 1, il grafico sarà nel mezzo tra gli assi xey.

Più la retta è vicina all'asse X, più il coefficiente k si avvicina a zero.

Più la linea è vicina all'asse Y, più il coefficiente k è vicino all'infinito.

Al punto -2 e 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>è lì che sarà il valore più piccolo della derivata

Risposta 1

Compito numero 11. La retta è tangente y = 3x + 9 al grafico della funzione y = x³ + x² + 2x + 8 . Trova l'ascissa del punto di contatto.

La linea sarà tangente al grafico quando i grafici hanno un punto in comune, come le loro derivate. Uguagliare le equazioni dei grafici e le loro derivate:

Risolvendo la seconda equazione, otteniamo 2 punti. Per verificare quale è adatto, sostituiamo ciascuna delle x nella prima equazione. Solo uno lo farà.

Non voglio assolutamente risolvere un'equazione cubica, ma una quadrata per un'anima dolce.

Questo è solo cosa scrivere in risposta, se ottieni due risposte "normali"?

Quando sostituisci x (x) nei grafici originali y \u003d 3x + 9 e y \u003d x³ + x² + 2x + 8, dovresti ottenere lo stesso Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Destra! Quindi x=1 sarà la risposta

Risposta 1

Compito numero 12. La retta y = − 5x − 6 è tangente al grafico della funzione ax² + 5x − 5 . Trova un .

Allo stesso modo, identifichiamo le funzioni e le loro derivate:

Risolviamo questo sistema rispetto alle variabili a e x :

Risposta: 25

Il compito con i derivati ​​è considerato uno dei più difficili nella prima parte dell'esame, tuttavia, con una piccola attenzione e comprensione del problema, avrai successo e aumenterai la percentuale di completamento di questo compito!

Esempio 1

Riferimento: I seguenti modi di annotare una funzione sono equivalenti: In alcune attività, è conveniente designare la funzione come "giocatore" e in altre come "ef da x".

Per prima cosa troviamo la derivata:

Esempio 2

Calcola la derivata di una funzione in un punto

, , studio delle funzioni complete e così via.

Esempio 3

Calcola la derivata della funzione nel punto . Troviamo prima la derivata:

Bene, questa è una questione completamente diversa. Calcola il valore della derivata nel punto:

Nel caso in cui non capissi come è stata trovata la derivata, torna alle prime due lezioni dell'argomento. Se ci sono difficoltà (incomprensione) con l'arcotangente e i suoi significati, necessariamente studiare materiale metodologico Grafici e proprietà delle funzioni elementari- l'ultimo paragrafo. Perché ci sono ancora abbastanza arcotangenti per l'età degli studenti.

Esempio 4

Calcola la derivata della funzione nel punto .

L'equazione della tangente al grafico della funzione

Per consolidare il paragrafo precedente, si consideri il problema di trovare la tangente a grafica delle funzioni a questo punto. Abbiamo incontrato questo compito a scuola, e si trova anche nel corso di matematica superiore.

Si consideri un esempio elementare di "dimostrazione".

Scrivi un'equazione per la tangente al grafico della funzione nel punto con l'ascissa. Darò immediatamente una soluzione grafica già pronta al problema (in pratica, questo non è necessario nella maggior parte dei casi):

Una definizione rigorosa di tangente è data da definizioni della derivata di una funzione, ma per ora padroneggeremo la parte tecnica del problema. Sicuramente quasi tutti capiscono intuitivamente cos'è una tangente. Se spieghi "sulle dita", allora lo è la tangente al grafico della funzione dritto, che riguarda il grafico della funzione in l'unica punto. In questo caso, tutti i punti vicini della retta si trovano il più vicino possibile al grafico della funzione.

Come applicato al nostro caso: in , la tangente (notazione standard) tocca il grafico della funzione in un unico punto.

E il nostro compito è trovare l'equazione di una retta.

Derivata di una funzione in un punto

Come trovare la derivata di una funzione in un punto? Due punti ovvi di questo compito derivano dalla formulazione:

1) È necessario trovare la derivata.

2) Occorre calcolare il valore della derivata in un dato punto.

Esempio 1

Calcola la derivata di una funzione in un punto

Aiuto: I seguenti modi per annotare una funzione sono equivalenti:


In alcune attività, è conveniente designare la funzione come "giocatore" e in altre come "ef da x".

Per prima cosa troviamo la derivata:

Spero che molti si siano già adattati per trovare tali derivati ​​oralmente.

Al secondo passo, calcoliamo il valore della derivata nel punto:

Un piccolo esempio di riscaldamento per una soluzione indipendente:

Esempio 2

Calcola la derivata di una funzione in un punto

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

La necessità di trovare la derivata in un punto sorge nei seguenti compiti: costruire una tangente al grafico di una funzione (paragrafo successivo), studio di una funzione per un estremo , studio della funzione per l'inflessione del grafico , studio delle funzioni complete e così via.

Ma il compito in questione si verifica lavoro di controllo e da solo. E, di regola, in questi casi, la funzione è abbastanza complessa. A questo proposito, consideriamo altri due esempi.

Esempio 3

Calcola la derivata di una funzione al punto.
Troviamo prima la derivata:

La derivata, in linea di principio, viene trovata e il valore richiesto può essere sostituito. Ma non voglio davvero fare niente. L'espressione è molto lunga e il valore di "x" è frazionario. Pertanto, cerchiamo di semplificare il più possibile la nostra derivata. IN questo caso Proviamo a portare gli ultimi tre termini a un denominatore comune: al punto.

Questo è un esempio fai da te.

Come trovare il valore della derivata della funzione F(x) nel punto Ho? Come risolverlo in generale?

Se viene data la formula, trova la derivata e sostituisci X-zero invece di X. contano
Se stiamo parlando di b-8 USE, grafico, allora devi trovare la tangente dell'angolo (acuto o ottuso), che forma una tangente all'asse X (usando la costruzione mentale di un triangolo rettangolo e determinando la tangente di l'angolo)

Timur Adilkhodzhaev

Per prima cosa, devi decidere il segno. Se il punto x0 si trova nella parte inferiore del piano delle coordinate, il segno nella risposta sarà meno e, se è superiore, +.
In secondo luogo, devi sapere cos'è il tange in un rettangolo rettangolare. E questo è il rapporto tra il lato opposto (gamba) e il lato adiacente (anche gamba). Di solito ci sono alcuni segni neri sul dipinto. Da questi segni fai un triangolo rettangolo e trovi tange.

Come trovare il valore della derivata della funzione f x nel punto x0?

non c'è una domanda specifica - 3 anni fa

Nel caso generale, per trovare in qualsiasi punto il valore della derivata di una funzione rispetto a qualche variabile, è necessario differenziare la funzione data rispetto a tale variabile. Nel tuo caso, dalla variabile X. Nell'espressione risultante, invece di X, metti il ​​valore di x nel punto per cui devi trovare il valore della derivata, cioè nel tuo caso, sostituisci zero X e calcola l'espressione risultante.

Ebbene, la tua voglia di capire questo problema, secondo me, merita indubbiamente +, che metto con la coscienza pulita.

Una tale formulazione del problema di trovare la derivata è spesso posta per fissare il materiale sul significato geometrico della derivata. Viene proposto un grafico di una certa funzione, del tutto arbitrario e non dato da un'equazione, ed è necessario trovare il valore della derivata (non la derivata stessa!) nel punto specificato X0. Per fare ciò, viene costruita una tangente alla funzione data e vengono trovati i punti della sua intersezione con gli assi delle coordinate. Quindi l'equazione di questa tangente viene redatta nella forma y=kx+b.

In questa equazione, il coefficiente k e sarà il valore della derivata. resta solo da trovare il valore del coefficiente b. Per fare ciò, troviamo il valore di y in x \u003d o, lascia che sia uguale a 3: questo è il valore del coefficiente b. Sostituiamo i valori di X0 e Y0 nell'equazione originale e troviamo k - il nostro valore della derivata a questo punto.