Признак того что число трансцендентное. Что такое трансцендентность, или почему мы не можем познать самих себя. Отрывок, характеризующий Трансцендентное число

Кроме деления действительных чисел на рациональные и иррациональные, имеется другое их деление - на алгебраические и трансцендентные.

Если действительное число удовлетворяет некоторому уравнению вида

с целыми коэффициентами, то мы говорим, что это число алгебраическое. Действительное число, не удовлетворяющее никакому уравнению такого вида, называется трансцендентным. (Комплексные числа делятся на алгебраические и трасцендентные точно таким же образом, однако в дальнейшем нас будут интересовать только действительные числа.)

Легко видеть, что каждое рациональнее число является алгебраическим. Например, 5/7 удовлетворяет уравнению требуемого типа . Вообще, любое рациональное число удовлетворяет уравнению и потому является алгебраическим.

Так как каждое рациональное число является алгебраическим, то каждое неалгебраическое число нерационально (см. способ 12 из указанной на стр. 40 таблицы «Способов выражения: если А, то В»), или, в более удобной для нас форме: каждое трансцендентное число иррационально. Это деление схематически проиллюстрировано на рис. 15.

На этом рисунке числа фигурируют в качестве примеров алгебраических чисел. Они действительно являются алгебраическими, поскольку удовлетворяют соответственно следующим алгебраическим уравнениям:

Числа , с другой стороны, указаны как примеры трансцендентных чисел. (Число , равное 3,14159..., представляет собой отношение длины окружности к длине ее диаметра.) Мы не можем привести здесь доказательства трансцендентности этих чисел, поскольку они основываются на применении методов значительно более глубоких чем те, которыми мы пользуемся. Трансцендентность числа была установлена в 1882 г., а трансцендентность чисел является значительно более поздним результатом - она была доказана лишь в 1934 г. Число было использовано в качестве примера великим математиком Давидом Гильбертом, когда он в 1900 г. огласил знаменитый список двадцати трех проблем, рассматриваемых им как важнейшие нерешенные математические проблемы. В частности, седьмая проблема Гильберта состояла в следующем: выяснить, является ли число алгебраическим или трансцендентным, если известно, что числа алгебраические. (Случаи и рационального были исключены, так как в этих случаях довольно легко доказать, что число - алгебраическое.) В 1934 г. А. О. Гельфонд и независимо от него Т. Шнейдер установили, что число трансцендентно. Трансцендентность числа является, конечно, частным случаем этого общего результата.

Трансцендентность числа также вытекает из этого результата. В самом деле, обозначим через , а 10 - через а. В силу определения десятичного логарифма

Если бы число было алгебраическим и иррациональным, то по теореме Гельфонда - Шнейдера число должно было бы быть трансцендентным. Поскольку это не так, то либо рационально, либо трансцендентно. Но выше мы показали, что число иррационально. Следовательно, оно трансцендентно.

Вообще, из теоремы Гельфонда - Шнейдера вытекает, что все числа , где рационально, являются либо трансцендентными, либо рациональными. В силу сказанного в § 3 (см. также упр. 4 на стр. 97) это означает, что число трансцендентно при всех положительных рациональных , исключая следующие:

Не следует забывать, что все рассматриваемые в настоящей книге логарифмы являются десятичными, т. е. берутся по основанию 10.

Таким образом, все числа , где - любое целое число между 1 и 1000, исключая трансцендентны. С другой стороны, значения тригонометрических функций, например число , иррациональность которых была доказана в начале этой главы, являются алгебраическими. Относящийся сюда общий результат формулируется так для любого рационального числа числа

Трансцендентное число

число (действительное или мнимое), не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению (См. Алгебраическое уравнение) с целыми коэффициентами. Таким образом, Т. ч. противопоставляются алгебраическим числам (См. Алгебраическое число). Существование Т. ч. впервые установил Ж. Лиувилль (1844). Отправной точкой для Лиувилля служила его теорема, согласно которой порядок приближения рациональной дроби с данным знаменателем к данному иррациональному алгебраическому числу не может быть произвольно высоким. Именно, если алгебраическое число а удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению степени n с целыми коэффициентами, то для любого рационального числа с зависит только от α ). Поэтому, если для заданного иррационального числа α можно указать бесконечное множество рациональных приближений, не удовлетворяющих приведённому неравенству ни при каких с и n (одних и тех же для всех приближений), то α есть Т. ч. Пример такого числа даёт:

Другое доказательство существования Т. ч. дал Г. Кантор (1874), заметив, что множество всех алгебраических чисел счётно (то есть все алгебраические числа могут быть перенумерованы; см. Множеств теория), тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Отсюда следовало, что множество Т. ч. несчётно, и далее, что Т. ч. составляют основную массу среди множества всех чисел.

Важнейшая задача теории Т. ч. - это выяснение того, являются ли Т. ч. значения аналитических функций, обладающих теми или иными арифметическими и аналитическими свойствами при алгебраических значениях аргумента. Задачи этого рода принадлежат к числу труднейших задач современной математики. В 1873 Ш. Эрмит доказал, что Неперово число

В 1882 немецкий математик Ф. Линдеман получил более общий результат: если α - алгебраическое число, то е α - Т. ч. Результат Липдемана был значительно обобщён немецким математиком К. Зигелем (1930), доказавшим, например, трансцендентность значения широкого класса цилиндрических функций при алгебраических значениях аргумента. В 1900 на математическом конгрессе в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешенных проблем математики указал на следующую: является ли трансцендентным числом α β , где α и β - алгебраические числа, причём β - иррациональное число, и, в частности, является ли трансцендентным число е π (проблема трансцендентности чисел вида α β была впервые в частной форме поставлена Л. Эйлер ом, 1744). Полное решение этой проблемы (в утвердительном смысле) удалось получить лишь в 1934 А. О. Гельфонд у. Из открытия Гельфонда, в частности, следует, что все десятичные логарифмы натуральных чисел (то есть «табличные логарифмы») суть Т. ч. Методы теории Т. ч. прилагаются к ряду вопросов решения уравнений в целых числах.

Лит.: Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Трансцендентное число" в других словарях:

Число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число??3,14159...; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е=2,71828... и др … Большой Энциклопедический словарь

- (от лат. transcendere переходить, превосходить) это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами. Содержание 1 Свойства 2… … Википедия

Число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число π = 3,14159...; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828... и др … Энциклопедический словарь

Число, не удовлетворяющее никакому алгебр. ур нию с целыми коэффициентами. Т. ч. являются: число ПИ = 3,14159...; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е = 2,71828... и др … Естествознание. Энциклопедический словарь

Число, не являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Областью определения таких чисел являются ноля действительных, комплексных и р адических чисел. Существование и явные построения действительных Т. ч. обосновал Ж. Лиувилль… … Математическая энциклопедия

Уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например: Более строгое определение таково: Трансцендентное уравнение это уравнение … Википедия

Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера

E математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

E математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».… … Википедия

4.2. Алгебраические и трансцендентные числа

Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и трансцендентные.

Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например, 4, . Все остальные (неалгебраические) числа относятся к трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами qx -p, то все трансцендентные числа иррациональны.

Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных, рациональных, действительных) чисел: они моделируют только одно свойство - количество; они одномерны и все изображаются точками на одной прямой, называемой координатной осью.

5. Комплексные числа

5.1. Мнимые числа

Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой природы, открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что система уравнений, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида, . Нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что· = -.

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался не употреблять.

Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими, воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц - «уродом из мира идей, сущностью, находящейся между бытием и небытием».

В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.

Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, что если взять действительное число b на положительной части координатной оси и умножить его на, то получим мнимое число b, неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на, то получим -b, то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси. Итак, двумя умножениями на мы перебросили число b с положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число было мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскости между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано, которые в общем виде a + b·i содержат действительные числа а и мнимые b·i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными числами.

Это был 4-ый уровень обобщения чисел.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVII веков была построена общая теория корней n-ных степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:

С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что. Можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.

Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Алгебраические группы матриц

Алгебраические системы замыканий

Начнем с понятия алгебраической операции. Пусть A - универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Щ. Каждая операция щ из Щ имеет определённую арность n, nN{0}. Для любого натурального n n-арная операция щ - это отображение из An в A...

Властивості простих чисел

Взаємно прості числа -- натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 -- взаємно прості, а 2 і 4 -- ні (діляться на 2)...

Графики и их функции

Рассмотрим основные алгебраические действия над функциями и их графиками, такие как сложение и вычитание (y = f(x) ±g(x)), умножение (y = f(x) ·g(x)), деление (y = f(x) / g(x)). При построении такого типа графиков следует учитывать...

Комплексные числа: их прошлое и настоящее

Математика в средние века

Необходимым условием применения метода фан-чэн к системам уравнений было введение отрицательных чисел. Например, при решении системы, получаем таблицу. Следующий шаг: вычитание элементов третьего столбца справа из элементов первого...

Нумерология

Числа у Пифагора считались не просто абстрактными заменителями реальных вещей, но живыми сущностями, отражающими свойства пространства, энергии или звуковой вибрации. Главная наука о числе, арифметика...

Нумерология

Легенда гласит, что гармонические числа, соотношение которых рождает музыку сфер, были найдены Пифагором. Фламмарион так пересказывает это предание:"Рассказывают, что проходя мимо одной кузницы, он услыхал стук молотов...

Практическое применение квадратурных формул с весом Чебышева-Эрмита

Пусть на всей оси задана четная весовая функция. (1.1) Дифференцируя эту функцию последовательно, находим (1.2) По индукции легко доказать, что производная порядка n от функции (1.1) есть произведение этой функции на некоторый многочлен степени n...

Введем новое недействительное число, квадрат которого равен -1. Это число обозначим символом Я и назовем мнимой единицей. Итак, (2.1) Тогда. (2.2) 1. Алгебраическая форма комплексного числа Если, то число (2.3) называется комплексным числом...

Рекуррентно заданные числовые последовательности

При решении многих задач часто приходится сталкиваться с последовательностями, заданными рекуррентно, но, в отличии от последовательности Фибоначчи, не всегда возможно получить её аналитическое задание...

Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений

Трансцендентное уравнение - уравнение, содержащее трансцендентные функции (иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические) от неизвестного (переменного), например уравнения...

Удивительные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники...

Удивительные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно...

Фрактальные свойства социальных процессов

Геометрические фракталы являются статическими фигурами. Подобный подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма...

Трансцендентное число — комплексное число, не являющееся алгебраическим, то есть не являющееся корнем никакого отличного от нуля многочлена с рациональными коэффициентами.

Существование трансцендентных чисел впервые установил Ж. Лиувилль в 1844 г.; он же построил первые примеры таких чисел. Лиувилль заметил, что алебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными числами . Именно, теорема Лиувилля гласит, что если алгебраическое число является корнем многочлена степени с рациональными коэффициентами, то для любого рационального числа справедливо неравенство

где постоянная зависит только от. Из этого утверждения следует достаточный признак трансцендентности: если число таково, что для любой постоянной существует бесконечное множество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенствам

то трансцендентно. Впоследствии такие числа получили название чисел Лиувилля. Примером такого числа является

Другое доказательство существования трансцендентных чисел было получено Г. Кантором в 1874 г. на основе созданной им теории множеств. Кантор доказал счётность множества алгебраических чисел и несчётность множества действительных чисел, откуда следует, что множество трансцендентных чисел несчётно. Однако, в отличие от доказательства Лиувилля, эти рассуждения не позволяют привести пример хотя бы одного такого числа.

Работа Лиувилля дала начало целому разделу теории трансцендентных чисел — теории приближения алгебраических чисел рациональными или, более общо, алгебраическими числами. Теорема Лиувилля усиливалась и обобщалась в работах многих математиков. Это позволило построить новые примеры трансцендентных чисел. Так, К. Малер показал, что если — непостоянный многочлен, принимающий целые неотрицательные значения при всех натуральных, то для любого натурального число, где — запись числа в системе счисления с основанием, является трансцендентным, но не является числом Лиувилля. Например, при и получаем следующий изящный результат: число

трансцендентно, но не является числом Лиувилля.

В 1873 г. Ш. Эрмит, используя другие идеи, доказал трансцендентность неперова числа (основания натурального логарифма):

Развив идеи Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность числа, тем самым поставив точку в древней проблеме о квадратуре круга: с помощью циркуля и линейки невозможно построить квадрат, равновеликий (то есть имеющий ту же площадь) данному кругу. Более общо, Линдеман показал, что при любом алгебраическом число трансцендентно. Эквивалентная формулировка: для любого алгебраического числа, отличного от и, его натуральный логарифм является трансцендентым числом.

В 1900 г. на конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешённых проблем математики указал на следующую, в частной форме сформулированную ещё Л. Эйлером :

Пусть и — алгебраические числа, причём трансцендентным? В частности, трансцендентны ли числа и?

Эта проблема может быть переформулирована в следующей форме, близкой к оригинальной формулировке Эйлера:

Пусть и — алгебраические числа, отличные от и, причём отношение их натуральных логарифмов иррационально. Будет ли число трансцендентным?

Первое частичное решение проблемы было получено в 1929 г. А. О. Гельфондом, который, в частности, доказал трансцендентность числа. В 1930 г. Р. О. Кузьмин усовершенствовал метод Гельфонда, в частности, ему удалось доказать трансцендентность числа. Полное решение проблемы Эйлера-Гильберта (в утвердительном смысле) было получено в 1934 г. независимо А. О. Гельфондом и Т. Шнайдером.

А. Бейкер в 1966 обобщил теоремы Линдемана и Гельфонда-Шнайдера, доказав, в частности, трансцендентность произведения произвольного конечного количества чисел вида и с алгебраическими при естественных ограничениях.

В 1996г. Ю.В. Нестеренко доказал алгебраическую независимость значений рядов Эйзенштейна и, в частности, чисел и. Это означает трансцендентность любого числа вида, где отличная от нуля рациональная функция с алгебраическими коэффициентами. Например, трансцендентной будет сумма ряда

В 1929-1930 гг. К. Малер в серии работ предложил новый метод доказательства трансцендентности значений аналитических функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям определённого вида (впоследствии такие функции получили название функций Малера).

Методы теории трансцендентных чисел нашли применение и в других разделах математики, в частности в теории диофантовых уравнений.

Число называется алгебраическим , если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 (т. е. корнем уравнения a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0 , где a n , a n-1 , ..., a 1 , a 0 --- целые числа, n 1 , a n 0 ).

Множество алгебраических чисел обозначим буквой .

Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, - корень уравнения qx-p=0 с целыми коэффициентами a 1 =q и a 0 =-p . Итак, .

Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число является корнем уравнения x 2 -2=0 , следовательно, --- алгебраическое число.

Долгое время оставался нерешенным важный для математики вопрос: Существуют ли неалгебраические действительные числа? Только в 1844 году Лиувилль впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.

Построение этого числа и доказательство его трансцендентности очень сложны. Доказать теорему существования трансцендентных чисел можно значительно проще, используя соображения об эквивалентности и неэквивалентности числовых множеств.

А именно, докажем, что множество алгебраических чисел счетно. Тогда, поскольку множество всех действительных чисел несчетно, мы установим существование неалгебраических чисел.

Построим взаимно однозначное соответствие между и некоторым подмножеством . Это будет означать, что - конечно либо счетно. Но поскольку , то бесконечно, и значит, счетно.

Пусть - некоторое алгебраическое число. Рассмотрим все многочлены с целыми коэффициентами, корнем которых является , и выберем среди них многочлен P минимальной степени (т. е. не будет корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами меньшей степени).

Например, для рационального числа такой многочлен имеет степень 1, а для числа - степень 2.

Разделим все коэффициенты многочлена P на их наибольший общий делитель. Получим многочлен, коэффициенты которого взаимно просты в совокупности (их наибольший общий делитель равен 1). Наконец, если старший коэффициент a n отрицателен, умножим все коэффициенты многочлена на -1 .

Полученный многочлен (т. е. многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число , имеющий минимально возможную степень, взаимно простые коэффициенты и положительный старший коэффициент) называется минимальным многочленом числа .

Можно доказать, что такой многочлен определяется однозначно: каждое алгебраическое число имеет ровно один минимальный многочлен.

Количество действительных корней многочлена не больше чем его степень. Значит, можно пронумеровать (например, по возрастанию) все корни такого многочлена.

Теперь всякое алгебраическое число полностью определяется своим минимальным многочленом (т. е. набором его коэффициентов) и номером, который отличает от других корней этого многочлена: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Итак, каждому алгебраическому числу мы поставили в соответствие конечный набор целых чисел, причем по этому набору восстанавливается однозначно (т. е. разным числам соответствуют разные наборы).

Пронумеруем в порядке возрастания все простые числа (нетрудно показать, что их бесконечно много). Получим бесконечную последовательность {p k } : p 1 =2 ,p 2 =3 , p 3 =5 , p 4 =7 , ... Теперь набору целых чисел (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) можно поставить в соответствие произведение

(это число положительное и рациональное, но не всегда натуральное, ведь среди чисел a 0 , a 1 , ..., a n-1 , могут быть отрицательные). Заметим, что это число есть несократимая дробь, поскольку простые множители, входящие в разложения числителя и знаменателя, различны. Заметим также, что две несократимые дроби с положительными числителями и знаменателями равны тогда и только тогда, когда и их числители равны, и их знаменатели равны.

Рассмотрим теперь сквозное отображение:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Поскольку разным алгебраическим числам мы поставили в соответствие разные наборы целых чисел, а разным наборам --- разные рациональные числа, то мы, таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством и некоторым подмножеством . Поэтому множество алгебраических чисел счетно.

Так как множество действительных чисел несчетно, то мы доказали существование неалгебраических чисел.

Однако теорема существования не указывает как определить, является ли данное число алгебраическим. А этот вопрос иногда является весьма важным для математики.