Оси инерции. Главные оси и главные моменты инерции Относительно главной оси момент инерции принимает
Момент инерции относительно оси, параллельной центральной (теорема Штейнера)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Лекция № 1 «Геометрические характеристики
Предисловие …………………………………………………………………….4
плоских сечений» ……………………………………………………………….5
2. Лекция № 2 «Главные оси и главные моменты инерции» ..………………………………………….…………………………...13
3. Лекция №3 «Кручение. Расчёты на прочность и жёсткость при кручении» ………………………………………………………………………16
4. Лекция №4 «Срез и смятие. Расчёты на прочность» …….………………………………………………………………..32
5. Вопросы для проверки пройденного материала… ……………………..36
6. Список литературы …………………………………………………………37
В части 2 конспекта лекций содержаться основные теоретические положения и расчётные формулы по следующим темам: Геометрические характеристики плоских сечений, Кручение, Срез и смятие.
Целью конспекта лекций является оказание помощи студентам при изучении предмета, при решении и защите расчетно-графических работ по сопротивлению материалов.
Лекция №1 «Геометрические характеристики плоских сечений»
К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся:
· площадь сечения F ,
· статические моменты площади S x , S y ,
· осевые моменты инерции J x , J y ,
· центробежный момент инерции J xy ,
· полярный момент инерции J ρ ,
· момент сопротивления кручению W ρ ,
· момент сопротивления изгибу W x
1.1. Статические моменты площади S x , S y
Статический момент площади сечения относительно данной оси равен сумме произведений элементарных площадок на расстояние до соответствующей оси.
Единицы измерения S x и S y : [см 3 ], [мм 3 ]. Знак «+» или «-» зависит от расположения осей.
Свойство: Статические моменты площади сечения равны нулю (S x =0 и S y =0), если точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения. Ось, относительно которой статический момент равен, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.
Где F - суммарная площадь сечения.
Пример 1:
Определить положение центра тяжести плоского сечения, состоящего из двух прямоугольников с вырезом.
Отрицательная площадь вычитается.
1.2. Осевые моменты инерции J x ; J y
Осевой момент инерции равен сумме произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до соответствующей оси.
Знак всегда «+».
Не бывает равным 0.
Свойство: Принимает минимальное значение, когда точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения.
Осевой момент инерции сечения применяют при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.
1.3. Полярный момент инерции сечения J ρ
Взаимосвязь полярного и осевого моментов инерции:
Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов.
Свойство:
при повороте осей в любую сторону, один из осевых моментов инерции возрастает, а другой убывает (и наоборот). Сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной.
1.4. Центробежный момент инерции сечения J xy
Центробежный момент инерции сечения равен сумме произведений элементарных площадок на расстояния до обеих осей
Единица измерения [см 4 ], [мм 4 ].
Знак «+» или «-».
Если координатные оси являются осями симметрии (пример – двутавр, прямоугольник, круг), или одна из координатных осей совпадает с осью симметрии (пример – швеллер).
Таким образом для симметричных фигур центробежный момент инерции равен 0.
Координатные оси u и v , проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными центральными осями инерции сечения. Главными они называются потому, что центробежный момент относительно них равен нулю, а центральными – потому, что проходят через центр тяжести сечения.
У сечений, не обладающих симметрией относительно осей x или y , например у уголка, не будет равен нулю. Для этих сечений определяют положение осей u и v с помощью вычисления угла поворота осей x и y
Центробежный момент относительно осей u и v -
Формула для определения осевых моментов инерции относительно главных центральных осей u и v :
где - осевые моменты инерции относительно центральных осей,
Центробежный момент инерции относительно центральных осей.
Теорема Штейнера:
Момент инерции относительно оси, параллельной центральной, равен центральному осевому моменту инерции плюс произведение площади всей фигуры на квадрат расстояния между осями.
Доказательство теоремы Штейнера.
Согласно рис. 5 расстояние у до элементарной площадки dF
Подставляя значение у в формулу, получим:
Слагаемое , так как точка С является центром тяжести сечения (см. свойство статических моментов площади сечения относительно центральных осей).
Для прямоугольника высотой h и шириной b :
Осевой момент инерции:
Момент сопротивления изгибу:
момент сопротивления изгибу равен отношению момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна от нейтральной линии:
Для круга:
Полярный момент инерции:
Осевой момент инерции:
Момент сопротивления кручению:
Момент сопротивления изгибу:
Пример 2. Определить момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси Сx .
Решение. Разобьём площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого прямоугольника (на рис. 6 заштрихована) равна dF =bdy . Вычислим значение осевого момента инерции J x
По аналогии запишем
Осевой момент инерции сечения относительно центральной
Центробежный момент инерции
Так как оси Сx и Сy являются осями симметрии.
Пример 3. Определить полярный момент инерции круглого сечения.
Решение. Разобьём круг на бесконечно тонкие кольца толщиной радиусом , площадь такого кольца . Подставляя значение в выражение для полярного момента инерции интегрируя, получим
Учитывая равенство осевых моментов круглого сечения и
Получаем
Осевые моменты инерции для кольца равны
с – отношение диаметра выреза к наружному диаметру вала.
Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей 0х , 0у (не обязательно центральных)-, - осевые моменты инерции сечения. Требуется определить, - осевые моменты относительно осей u , v , повёрнутых относительно первой системы на угол (рис. 8)
Так как проекция ломаной линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим:
Исключим u и v в выражениях моментов инерции:
Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим
Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что
Где - расстояние от начала координат до элементарной площадки (см. рис.5). Таким образомпо углу и приравнивая производную к нулю, находим
При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой - наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль, что можно легко проверить, приравнивая к нулю формулу для центробежного момента инерции .
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными (точка начала координат совпадает с центром тяжести сечения), то тогда они называются главными центральными осями (u; v). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции - и
И их значение определяется по следующей формуле:
Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак минус - минимальному.
Существует ещё одна геометрическая характеристика – радиус инерциисечения. Эта величина часто используется в теоретических выводах и практических расчётах.
Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, например 0x, называется величина , определяемая из равенства
F – площадь поперечного сечения,
Осевой момент инерции сечения,
Из определения следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси 0х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сечения F, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Зная момент инерции сечения и его площадь, можно найти радиус инерции относительно оси 0х :
Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции и определяются по формулам
ОСИ ИНЕРЦИИ
ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.
Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .
ОСИ ИНЕРЦИИ
Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .
Смотреть что такое "ОСИ ИНЕРЦИИ" в других словарях:
Главные три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закрепленное в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Большой Энциклопедический словарь
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, которые можно провести через любую точку твердого тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внешних сил оно будет… … Энциклопедический словарь
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через какую нибудь точку тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно этих осей… … Большая советская энциклопедия
Главные, три взаимно перпендикулярные оси, к рые можно провести через любую точку тв. тела, отличающиеся тем, что если тело, закреплённое в этой точке, привести во вращение вокруг одной из них, то при отсутствии внеш. сил оно будет продолжать… … Естествознание. Энциклопедический словарь
главные оси инерции - Три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… … Справочник технического переводчика
главные оси инерции - три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр тяжести тела, обладающие тем свойством, что, если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю.… …
- … Википедия
Оси главные - : Смотри также: главные оси инерции главные оси (тензора) деформации … Энциклопедический словарь по металлургии
Размерность L2M Единицы измерения СИ кг·м² СГС … Википедия
Момент инерции скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².… … Википедия
Книги
- Торетическая физика. Часть 3. Механика твердого тела (2-е издание) , А.А. Эйхенвальд. Третья часть данного курса теоретической физики представляет собой естественное продолжение части II: основные принципы механики применяются здесь к твердому телу, т. е. к системе…
Если какое-либо тело привести во вращение относительно произвольной оси и затем предоставить самому себе, то положение оси вращения в пространстве, вообще говоря, изменится: ось будет либо поворачиваться, либо перемещаться относительно инерциальной системы отсчета. Для того, чтобы произвольно взятую ось удерживать в неизменном положении, к ней необходимо приложить определенные силы.
Ось вращения тела, положение которой в пространстве сохраняется без приложения извне каких-либо сил, называется свободной осью тела.
Можно показать, что существуют по крайне мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями. Такие оси называются главными осями инерции тела.
Моменты инерции тела относительно главных осей называются главными моментами инерции .
Для тел, обладающих осевой симметрией (например, у однородного цилиндра), одна из главных осей совпадает с осью симметрии, а две любые оси, перпендикулярные к оси симметрии и друг другу и проходящие через центр масс тела, также являются главными (рис. 7.15). Моменты инерции относительно двух последних осей равны друг другу, а момент инерции относительно оси симметрии отличен от них
Такое тело называется симметричным волчком.
Рис. 7.15. Главные оси однородного цилиндра
У тела с центральной симметрией (например, у однородного шара) любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии, являются главными. Для них
Такие тела называются шаровыми волчками . Любая ось шарового волчка, проходящая через центр симметрии, является главной (а, значит, и свободной).
В общем случае главные моменты инерции тела различны, то есть
Такое тело называется асимметричным волчком . Примером асимметричного волчка может служить однородный прямоугольный параллелепипед (рис. 7.16).
Рис. 7.16. Главные оси однородного параллелепипеда
При «почти» свободном вращении на тело могут действовать малые возмущения. Если при таких возмущениях ось вращения мало изменяет свое положение, то вращение называется устойчивым . В противном случае говорят о неустойчивом вращении.
Пусть для асимметричного волчка для определенности имеет место следующее соотношение между главными моментами инерции:
Можно показать, что вращение вокруг осей 1 и 3 (то есть осей с максимальными и минимальными моментами инерции) будет устойчивым, а вокруг оси 2 (с промежуточным по величине моментом инерции) - неустойчивым.
Видео 7.4. Устойчивость полета в воздухе прямоугольного параллелепипеда
Пусть тело вращается вокруг одной из главных осей, например, вокруг оси z. Тогда вектор угловой скорости имеет вид
Из формул (6.29) - (6.31) видно, что при повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями , а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения .
Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I 1 и I 2 причем I 1 > I 2 . Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.
Предположим, что оси u и v главные. Тогда
|
|
.Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от I u по α и приравняем ее нулю:
.
К тому же результату приводит и условие dI v /d α . Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.
Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:
|
|
.Знак плюс перед радикалом соответствует большему I 1 , а знак минус - меньшему I 2 из моментов инерции сечения.
Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (I yz =0), а I y =I z . Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции I uv =0, а осевые I u = I v .
Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: I u = I v = I y = I z . Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.
Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными, а моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции.
Перепишем формулу (2.18) с учетом известных тригонометрических соотношений:
; 
в таком виде
С целью определения положения главных центральных осей, продифференцируем равенство (2.21) по углу α один раз получим
При некотором значении угла α=α 0 , центробежный момент инерции может оказаться равным нулю. Следовательно, с учетом производной (в ), осевой момент инерции примет экстремальное значение. Приравнивая
,
получаем формулу для определения положения главных осей инерции в виде:
(2.22)
В формуле (2.21) вынесем за скобки соs2α
0 и подставим туда значение (2.22) и с учетом известной тригонометрической зависимости 
получим:
После упрощения окончательно получим формулу для определения значений главных моментов инерции:
(2.23)
Формула (20.1) применяется для определения моментов инерции относительно главных осей. Формула (2.22) не дает прямого ответа на вопрос о том: относительно какой оси момент инерции будет максимальный или минимальный. По аналогии с теорией по исследованию плоского напряженного состояния приведем более удобные формулы для определения положения главных осей инерции:
(2.24)
Здесь α 1 и α 2 определяют положение осей, относительно которых моменты инерции соответственно равны J 1 и J 2 . При этом следует иметь в виду, что сумма модулей углов α 01 и α 02 должна равняться π/2:
Условие (2.24) является условием ортогональности главных осей инерции плоского сечения.
Следует отметить, что при пользовании формулами (2.22) и (2.24) для определения положения главных осей инерции должна соблюдаться такая закономерность:
Главная ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет наименьший угол с той исходной осью, относительно которой момент инерции больше.
Пример 2.2.
Определить геометрические характеристики плоских сечений бруса относительно главных центральных осей:
 |
Решение
Предложенное сечение является несимметричным. Поэтому положение центральных осей будет определяться двумя координатами, главные центральные оси будут развернуты относительно центральных осей на определенный угол. Отсюда вытекает такой алгоритм решения задачи по определению основных геометрических характеристик.
1. Разбиваем сечение на два прямоугольника с такими площадями и моментами инерции относительно собственных центральных осей:
F 1 =12 cм 2 , F 2 =18 cм 2 ;
2. Задаемся системой вспомогательных осей х 0 у 0 с началом в точке А . Координаты центров тяжести прямоугольников в этой системе осей такие:
х 1 =4 см; х 2 =1 см; у 1 =1,5 см; у 2 =4,5 см.
3. Определяем координаты центра тяжести сечения по формулам (2.4):
Наносим центральные оси (на рис 2.9 красным цветом).
4. Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей х с и у с по формулам (2.13) применительно к составному сечению:
5. Находим главные моменты инерции по формуле (2.23)
6. Определяем положение главных центральных осей инерции х и у по формуле (2.24):
Главные центральные оси показаны на (рис. 2.9) синим цветом.
7. Проверим проведенные вычисления. Для этого проведем следующие вычисления:
Сумма осевых моментов инерции относительно главных центральных и центральных осей должна быть одинаковой:
Сумма модулей углов α х и α у, , определяющих положение главных центральных осей:
Кроме того, выполняется положение о том, что главная центральная ось х , относительно которой момент инерции J x имеет максимальное значение, составляет меньший угол с той центральной осью, относительно которой момент инерции больше, т.е. с осью х с.