Вращательное движение твердого тела: уравнение, формулы. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Вращение тел вокруг оси

Это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.

Положение тела задается двугранным углом (углом поворота).

 =  (t) - уравнение движения.

Кинематические характеристики те­ла:

- угловая скорость, с -1 ;

- угловое ускорение, с -2 .

Величины  и  можно представить в виде векторов
, расположенных на оси вращения, направление вектора таково, что с его конца враще­ние тела видно происходящим против часовой стрелки. Направление совпадает с , если >о.

Положение точки тела: M 0 M 1 = S = h.

Скорость точки
; при этом
.

откуда
;
;
.

Ускорение точки тела ,
‑ вращательное ускорение (в кинематике точки – касательное ‑):
- осестремительное ускорение (в кинематике точки - нор­мальное -).

Модули:
;
;

.

Равномерное и равнопеременное вращение

1. Равномерное:  = const,
;
;
- уравнение движения.

2. Равнопеременное:  = const,
;
;
;
;
- уравнение движения.

2). Механический привод состоит из шкива 1, ремня 2 и ступенчатых колес 3 и 4. Найти скорость рейки 5, а также ускорение точкиM в момент времени t 1 = 1с. Если угловая ско­рость шкива равна  1 = 0,2t , с -1 ; R 1 = 15; R 3 = 40; r 3 = 5; R 4 = 20; r 4 = 8 (в сантиметрах).

Скорость рейки

;

;
;
.

Откуда
;
;
, с -1 .

Из (1) и (2) получим , см.

Ускорение точки M .

, с -2 при t 1 = 1 с; a = 34,84 см/с 2 .

3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной пло­скости.

Все точки тела на любой прямой, перпендикулярной неподвижной пло­скости, движутся одинаково. Поэтому анализ плоского движения тела сво­дится к исследованию движения пло­ской фигуры (сечение S) в ее плоскости (xy).

Это движение можно представить как совокупность поступательного движения вместе с некоторой произвольно выбранной точкой а, называемой полюсом , и вращательного движе­ния вокруг полюса.

Уравнения движения плоской фигуры

x а = x a (t); у а = у а; j = j(t)

Кинематические характеристи­ ки плоской фигуры:

- скорость и ускорение по­люса; w, e - угловая скорость и угловое ускорение (не зависят от выбора полюса).

Уравнения движения любой точки плоской фигуры (B) можно получить, проектируя векторное равенство
на осиx и у

x 1 B , y 1 B - координаты точки в системе координат, свя­занной с фигурой.

Определение скоростей точек

1). Аналитический способ .

Зная уравнения движения x n = x n (t); y n = y n (t), находим
;
;
.

2). Теорема о распределении скоростей.

Дифференцируя равенство
, получим
,

- скорость точки B при вращении пло­ской фигуры вокруг полюса A;
;

Формула распределения скоро­стей точек плоской фигуры
.

Скорость точкиM колеса, катящегося без скольжения

;
.

3). Теорема о проекциях ско­ростей.

Проекции скоростей двух то­чек тела на ось, проходящую че­рез эти точки, равны. Проектируя равенство
на осьx, имеем

Пример

Определить скорость натекания воды v Н на руль корабля, если извест­ны (скорость центра тяжести суд­на),b и b K (углы дрейфа).

Решение: .

4). Мгновенный центр скоростей (МЦС).

Скорости точек при плоском движении тела можно определять по формулам вращательного движения, используя понятие МЦС.

МЦС - точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю (v p = 0).

В общем случае МЦС - точка пере­сечения перпендикуляров к направле­ниям скоростей двух точек фигуры.

Принимая точку P за полюс, имеем для произвольной точки

, тогда

Откуда
- угловая скорость фигуры и
,т.е. скорости точек плоской фигуры пропор­циональны их расстояниям до МЦС.

Возможные случаи нахождения МЦС
			Качение без скольжения
		МЦС - в бес­конечности

Случай б соответствует мгновенно поступательному распределению скоростей.

1). Для заданного положения механизма найтиv B , v C ,v D , w 1 , w 2 , w 3 , если в данный момент v A = 20 см/с; BC = CD = 40 см; OC = 25 см; R = 20 см.

Решение МЦС катка 1 - точка P 1:

с -1 ;
см/с.

МЦС звена 2 - точка P 2 пересечения перпендикуляров к на­правлениям скоростей точек B и C:

с -1 ;
см/с;
см/с;
с -1 .

2). Груз Q поднимается с помощью ступенчатого бара­бана 1, угловая скорость которого w 1 = 1 с -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 см; AE || BD. Найти скорость v C оси подвижного блока 2.

Находим скорости точек A и B:

v A = v E = w 1* R 1 = 15 см/с; v B = v D = w 1* r 1 = 5 см/с.

MЦС блока 2 - точка P. Тогда
, откуда
;
;
см/с.

Вращательным называют такое движение, при котором две точки, связанные с телом, следовательно, и прямая, проходящая через эти точки, остаются неподвижными во время движения (рис. 2.16). Неподвижную прямую А В называют осью вращения.

Рис. 2.1В. К определению вращательного движения тела

Положение тела при вращательном движении определяет угол поворота ф, рад (см. рис. 2.16). При движении угол поворота меняется со временем, т.е. закон вращательного движения тела определяется как закон изменения во времени величины двугранного угла Ф = ф(/) между неподвижной полуплоскостью К () , проходящей через ось вращения, и подвижной п 1 полуплоскостью, связанной с телом и также проходящей через ось вращения.

Траектории всех точек тела при вращательном движении представляют собой концентрические окружности, расположенные в параллельных плоскостях с центрами на оси вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения тела. Аналогично тому, как были введены кинематические характеристики для точки вводят кинематическое понятие, характеризующее быстроту изменения функции ф(с), которая определяет положение тела при вращательном движении, т.е. угловую скорость со = ф = с/ф/с//, размерность угловой скорости [со] = рад/с.

В технических расчетах часто используют выражение угловой скорости другой размерностью - через число оборотов в минуту: [я] = об/мин, а связь между п и со можно представить в виде: со = 27ш/60 = 7ш/30.

В общем случае угловая скорость изменяется во времени. Мерой быстроты изменения угловой скорости является угловое ускорение е = с/со/с//= со = ф, размерность углового ускорения [е] = рад/с 2 .

Введенные угловые кинематические характеристики полностью определяются заданием одной функции - угла поворота от времени.

Кинематические характеристики точек тела при вращательном движении. Рассмотрим точку М тела, находящуюся на расстоянии р от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиуса р (рис. 2.17).

Рис. 2.17.

точек тела при его вращении

Длина дуги M Q M окружности радиуса р определяется как s = ptp, где ф - угол поворота, рад. В случае, если закон движения тела задан как ф = ф(г), то закон движения точки М по траектории определяет формула S = рф(7).

Пользуясь выражениями кинематических характеристик при естественном способе задания движения точки, получим кинематические характеристики для точек, вращающегося тела: скорость по формуле (2.6)

V = 5 = рф = рсо; (2.22)

касательное ускорение согласно выражению (2.12)

я т = К = сор = ер; (2.23)

нормальное ускорение по формуле (2.13)

а„ = И 2 /р = со 2 р 2 /р = огр; (2.24)

полное ускорение с использованием выражения (2.15)

а = -]а + а] = рх/е 2 + со 4 . (2.25)

За характеристику направления полного ускорения принимают р - угол отклонения вектора полного ускорения от радиуса окружности, описываемой точкой (рис. 2.18).

Из рис. 2.18 получаем

tgjLi = aja n =ре/рсо 2 =г/(о 2 . (2.26)

Рис. 2.18.

Отметим, что все кинематические характеристики точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям до оси вращения. Ве-

личины их определяют через производные одной и той же функции - угла поворота.

Векторные выражения для угловых и линейных кинематических характеристик. Для аналитического описания угловых кинематических характеристик вращающегося тела вместе с осью вращения вводят понятие вектора угла поворота (рис. 2.19): ф = ф(/)А:, где к - еди

ничный вектор оси вращения

1; к =соп51 .

Направлен вектор ф по этой оси так, чтобы с «конца» его видеть

поворот, происходящим против хода часовой стрелки.

Рис. 2.19.

характеристик в векторной форме

Если известен вектор ф(/), то все остальные угловые характеристики вращательного движения можно представить в векторной форме:

• вектор угловой скорости со = ф = ф к. Направление вектора угловой скорости определяет знак производной угла поворота;
• вектор углового ускорения є = со = ф к. Направление этого вектора определяет знак производной угловой скорости.

Введенные векторы со и є позволяют получить векторные выражения для кинематических характеристик точек (см. рис. 2.19).

Заметим, что модуль вектора скорости точки совпадает с модулем векторного произведения вектора угловой скорости и радиуса-вектора: |сох г = согвіпа = сор. Учитывая направления векторов со и г и правило направления векторного произведения, можно записать выражение для вектора скорости:

V = со хг.

Аналогично легко показать, что

• ? X Ґ
• - егБіпа = єр = а т и

Сосор = со р = я.

(роме этого векторы этих кинематических характеристик совпадают по направлению с соответствующими векторными произведениями.

Следовательно, векторы касательного и нормального ускорений можно представить в виде векторных произведений:

• (2.28)
• (2.29)

а х = г х г

а = со х V.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (оси вращения) называется такое его движение, при котором точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Пусть осью вращения является ось , которая может иметь в пространстве любое направление. Одно направление оси принимается за положительное (рис. 28).

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость и подвижную , скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом между прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол называется углом поворота тела .

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени, если задано уравнение

где – любая, дважды дифференцируемая функция времени. Это уравнение называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси .

У тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, одна степень свободы, так как его положение определяется заданием только одного параметра – угла .

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении, если смотреть с положительного направления оси . Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Для характеристики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси введем понятия угловой скорости и углового ускорения. Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т.е. . Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной – при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают . Тогда

Алгебраическим угловым ускорением тела называют первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота . Модуль углового ускорения обозначим , тогда

Если при , то алгебраическая угловая скорость возрастает с течением времени и, следовательно, тело вращается ускоренно в рассматриваемый момент времени в положительную сторону (против часовой стрелки). При и , тело вращается ускоренно в отрицательную сторону. Если при , то имеем замедленное вращение в положительную сторону. При и замедленное вращение совершается в отрицательную сторону.

Движение твердого тела называется вращательным, если во время движения все точки тела, расположенные на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными (рис. 2.15).

Положение тела при вращательном движении принято определять углом поворота тела , который измеряется как двугранный угол между неподвижной и подвижной плоскостями, проходящими через ось вращения. Причем, подвижная плоскость связана с вращающимся телом.

Введем в рассмотрение подвижную и неподвижную системы координат, начало которых разместим в произвольной точке О оси вращения. Ось Oz, общую для подвижной и неподвижной систем координат, направим по оси вращения, ось Ох неподвижной системы координат направим перпендикулярно оси Oz таким образом, чтобы она лежала в неподвижной плоскости, ось Ох 1 подвижной системы координат направим перпендикулярно оси Oz таким образом, чтобы она лежала в подвижной плоскости (рис. 2.15).

Если рассматривать сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения, то угол поворота φ можно определять как угол между неподвижной осью Ох и подвижной осью Ох 1 , неизменно связанной с вращающимся телом (рис. 2.16).

Принято направление отсчета угла поворота тела φ против хода часовой стрелки считать положительным, если смотреть с положительного направления оси Oz.

Равенство φ = φ(t) , описывающее изменение угла φ во времени, называется законом или уравнением вращательного движения твердого тела.

Быстрота и направление изменения угла поворота твердого тела характеризуются угловой скоростью. Абсолютное значение угловой скорости принято обозначать буквой греческого алфавита ω (омега). Алгебраическое значение угловой скорости принято обозначать . Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота:

. (2.33)

Единицы измерения угловой скорости равны единицам измерения угла, деленным на единицу измерения времени, например, град/мин, рад/ч. В системе СИ единица измерения угловой скорости рад/с, но чаще наименование этой единицы измерения записывается в виде 1/с.

Если > 0, то тело вращается против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Если < 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Быстрота и направление изменения угловой скорости характеризуются угловым ускорением. Абсолютную величину углового ускорения принято обозначать буквой греческого алфавита e (эпсилон). Алгебраическую величину углового ускорения принято обозначать . Алгебраическая величина углового ускорения равна первой производной по времени от алгебраического значения угловой скорости или второй производной от угла поворота:

Единицы измерения углового ускорения равны единицам измерения угла, деленным на единицу измерения времени в квадрате. Например, град/с 2 , рад/ч 2 . В системе СИ единицей измерения углового ускорения является рад/с 2 , но чаще наименование этой единицы измерения записывается в виде 1/с 2 .

Если алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют один знак, то угловая скорость с течением времени увеличивается по модулю, а если разный, то уменьшается.

Если угловая скорость постоянна (ω = const), то принято говорить, что вращение тела равномерное. В этом случае:

φ = · t + φ 0 , (2.35)

где φ 0 - начальный угол поворота.

Если постоянно угловое ускорение (e = const), то принято говорить, что вращение тела равноускоренное (равнозамедленное). В этом случае:

где 0 - начальная угловая скорость.

В остальных случаях для определения зависимости φ от и необходимо интегрировать выражения (2.33), (2.34) при заданных начальных условиях.

На рисунках направление вращения тела иногда показывают изогнутой стрелкой (рис. 2.17).

Часто в механике угловая скорость и угловое ускорение рассматриваются как векторные величины и . Оба эти вектора направляются по оси вращения тела. Причем вектор направляют в одну сторону с ортом, определяющим направление оси координат, совпадающей с осью вращения, если >0, и в противоположную, если
Аналогично выбирают направление вектора (рис. 2.18).

При вращательном движении тела каждая из его точек (кроме точек, расположенных на оси вращения) перемещается по траектории, представляющей собой окружность с радиусом, равным кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения (рис. 2.19).

Поскольку для окружности касательная в любой ее точке составляет угол 90° с радиусом, то вектор скорости точки тела, совершающего вращательное движение, будет направлен перпендикулярно радиусу и лежать в плоскости окружности, являющейся траекторией движения точки. Касательная составляющая ускорения будет лежать на одной прямой со скоростью, а нормальная будет направлена по радиусу к центру окружности. Поэтому иногда касательную и нормальную составляющие ускорения при вращательном движении называют соответственно вращательной и центростремительной (осестремительной) составляющими (рис. 2.19)

Алгебраическая величина скорости точки определяется выражением:

, (2.37)

где R = OM - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения.

Алгебраическая величина касательной составляющей ускорения определяется выражением:

. (2.38)

Модуль нормальной составляющей ускорения определяется выражением:

. (2.39)

Вектор ускорения точки при вращательном движении определяется по правилу параллелограмма как геометрическая сумма касательной и нормальной составляющих. Соответственно модуль ускорения может быть определен по теореме Пифагора :

Если угловая скорость и угловое ускорение определены как векторные величины , , то векторы скорости, касательной и нормальной составляющих ускорения могут быть определены по формулам:

где - радиус-вектор, проведенный в точку М из произвольной точки оси вращения (рис. 2.20).

Решение задач на вращательное движение одного тела обычно не вызывает никаких трудностей. Используя формулы (2.33)-(2.40), можно легко определить любой неизвестный параметр.

Определенные сложности возникают при решении задач, связанных с исследованием механизмов, состоящих из нескольких взаимосвязанных тел, совершающих как вращательное, так и поступательное движение.

Общий подход к решению подобных задач заключается в том, что движение от одного тела к другому передается через одну точку - точку касания (контакта). Причем у соприкасающихся тел равны скорости и касательные составляющие ускорений в точке контакта. Нормальные составляющие ускорения у соприкасающихся тел в точке контакта различны, они зависят от траектории движения точек тел.

При решении задач такого типа удобно в зависимости от конкретных обстоятельств использовать как формулы, приведенные в разделе 2.3, так и формулы для определения скорости и ускорения точки при задании ее движения естественным (2.7), (2.14) (2.16) или координатным (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) способами. При этом если движение тела, к которому принадлежит точка, вращательное, траектория движения точки будет представлять собой окружность. Если движение тела прямолинейное поступательное, то траектория движения точки будет представлять собой прямую линию.

Пример 2.4. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота тела изменяется по закону φ = π · t 3 рад. Для точки, находящейся на расстоянии OM = R = 0,5 м от оси вращения, определить скорость, касательную, нормальную составляющие ускорения и ускорение в момент времени t 1 = 0,5 с. Показать направление этих векторов на чертеже.

Рассмотрим сечение тела плоскостью, проходящей через точку О перпендикулярно оси вращения (рис. 2.21). На этом рисунке точка О - точка пересечения оси вращения и секущей плоскости, точки М о и M 1 - соответственно начальное и текущее положение точки М. Через точки О и М о проведем неподвижную ось Ох , а через точки О и М 1 - подвижную ось Ох 1 . Угол между этими осями будет равен

Закон изменения угловой скорости тела найдем, продифференцировав закон изменения угла поворота:

В момент t 1 угловая скорость будет равна

Закон изменения углового ускорения тела найдем, продифференцировав закон изменения угловой скорости:

В момент t 1 угловое ускорение будет равно:

1/с 2 ,

Алгебраические величины векторов скорости, касательной составляющей ускорения, модуля нормальной составляющей ускорения и модуля ускорения найдем по формулам (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

М/с 2 ;

м/с 2 .

Так как угол φ 1 >0, то откладывать его от оси Ох будем против хода часовой стрелки. А так как > 0, то векторы будут направлены перпендикулярно радиусу OM 1 таким образом, чтобы мы видели их вращающимися против хода часовой стрелки. Вектор будет направлен по радиусу OM 1 к оси вращения. Вектор построим по правилу параллелограмма на векторах τ и .

Пример 2.5. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 х = 0,6t 2 - 0,18 (м) определить скорость, а также касательную, нормальную составляющую ускорения и ускорение точки М механизма в момент времени t 1 , когда путь, пройденный грузом 1, равен s = 0,2 м. При решении задачи будем считать, что проскальзывание в точке контакта тел 2 и 3 отсутствует, R 2 = 1,0 м, r 2 = 0,6 м, R 3 = 0,5 м (рис. 2.22).

Закон прямолинейного поступательного движения груза 1 задан в координатной форме. Определим момент времени t 1 , для которого путь, пройденный грузом 1, будет равен s

s = x(t l)-x(0) ,

откуда получим:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Следовательно,

Продифференцировав по времени уравнение движения, найдем проекции скорости и ускорения груза 1 на ось Ох:

м/с 2 ;

В момент t = t 1 проекция скорости груза 1 будет равна:

то есть будет больше нуля, как и проекция ускорения груза 1. Следовательно, груз 1 будет в момент t 1 двигаться вниз равноускоренно, соответственно, тело 2 будет вращаться равноускоренно в направлении против хода часовой стрелки, а тело 3 - по ходу часовой стрелки.

Тело 2 приводится во вращение телом 1 через нить, намотанную на малый барабан. Поэтому модули скоростей точек тела 1, нити и поверхности малого барабана тела 2 равны, также равны будут и модули ускорений точек тела 1, нити и касательной составляющей ускорения точек поверхности малого барабана тела 2. Следовательно, модуль угловой скорости тела 2 можно определить как

Модуль углового ускорения тела 2 будет равен:

1/с 2 .

Определим модули скорости и касательной составляющей ускорения для точки К тела 2 - точки контакта тел 2 и 3:

м/с, м/с 2

Так как тела 2 и 3 вращаются без взаимного проскальзывания, модули скорости и касательной составляющей ускорения точки К - точки контакта у этих тел будут равны.

направим перпендикулярно радиусу в сторону вращения тела, так как тело 3 вращается равноускоренно

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением твердого тела будем называть такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и ой же прямой, называемой осью вращения.

Для изучения динамики вращательного к известным кинематическим величинам добавляются ещё две величины : момент силы (M) и момент инерции (J).

1. Из опыта известно: ускорение вращательного движения зависит не только от величины силы, действующей на тело, но и от расстояния от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Для характеристики этого обстоятельства вводится физическая величина называемая моментом силы .

Рассмотрим простейший случай.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом силы относительно некоторой точки “O” называется векторная величина , определяемая выражением , где – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в точку приложения силы.

Из определения следует, что является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вектора вокруг точки “O” в направлении силы и вектор образуют правовинтовую систему. Модуль момента силы равен , где a – угол между направлениями векторов и , а l = r·sin a – длина перпендикуляра, опущенного из точки “O” на прямую, вдоль которой действует сила (называется плечом силы относительно точки “O”) (рис. 4.2).

2. Опытные данные свидетельствуют, что на величину углового ускорения оказывает влияние не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая это обстоятельство, носит название момента инерции относительно оси вращения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Строго говоря, моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называется величина J, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от данной оси .

Суммирование проводится по всем элементарным массам, на которые было разбито тело. Следует иметь ввиду, что эта величина (J) существует безотносительно к вращению (хотя понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела).

Каждое тело независимо от того покоится оно или вращается обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того движется оно или покоится.

Учитывая, что , момент инерции можно представить в виде: . Это соотношение приближенно и оно будет тем точнее, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементы массы. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию: . Здесь интегрирование проводится по всему объему тела.

Запишем моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы.

1. Однородный длинный стержень.
Рис. 4.3	Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину равен
2. Сплошной цилиндр или диск.
Рис. 4.4	Момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью, равен .
3. Тонкостенный цилиндр радиуса R.
Рис. 4.5
4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр
Рис. 4.6
5. Момент инерции тонкого диска (толщина b<
Рис. 4.7
6. Момент инерции бруска
Рис. 4.8
7. Момент инерции кольца
Рис. 4.9

Вычисления момента инерции здесь достаточно просты, т.к. тело предполагаем однородным и симметричным, а момент инерции определяем относительно оси симметрии.

Для определения момента инерции тела относительно любой оси необходимо воспользоваться теоремой Штейнера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 4.10).