Сформулируйте правило вычисления вероятности случайного события. Теория вероятностей. Решение задач (2020). Формула вероятности события
*Событие
*Вероятность события
СПОСОБЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .
Классический
Если исходы опыта можно представить в виде полной группы событий кот несовместны и равновозможны,то вероятность события А м.б. вычислена по формуле:
Р(А)=m:n
m-общее число возможных случаев(общ число случаев)
n-число исходов благоприятствующих событию А(общ число благопр случаев)
благоприятствующий случай- если его появление влечет за собой событие
пример:
1) №:в урне 3 белых и 4 черных шара
А-событие вынуть белый шар.
Р(А)=m:n=3:7-0,43(43%)
2) Вероятность появл-я четного числа очков при однокр брос кости
А-событие выпад-я четн числа очков
Р(А)=m:n=3:6=0,5(50%)
m-благопр случай 3(2,4,6-четн цифры на кости)
n=6(всего цифр)
Геометрический
Исп-ся д/вычисл вероятностей события в том случае,когда рез-т испыт-я определ-ся случайным полож-ем точек в некот обл-ти,причем любые полож-я точек в этой обл-ти равновозможны.
Wm-размер всей площади
Wn-мера обл-ти,попад в кот благоприятствует событию А.
Примечание:
Единицы измерения обл-тей м.б. самые различн,в завис-ти от смысла задачи(S,V,t)
пример:
1) В некот точке С телеф линии АВ длиной L. Определ вероятность того,что С удал от А на расст не <,чем l
А-событие,что произошло в т.С→Р(А)
Р(А)= Wm:Wn=(L-l):L
Статистический
Частотой появл-я события А назыв отношение числа его появл-й к числу произвед опытов
P(A)=lim f(A) (внизу под lim n→∞)=lim m:n(внизу под lim n→∞)
Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Комбинаторика -спец раздел мат-ки интересующийся? «Сколько различн комбинаций можно сост из задан объектов.
Рассм 3 типа комбинаторики:
Перестановка
Перестановками из n элементов назыв всевозм комбинации из этих элементов,отлич друг от друга порядком располож-я элементов.
Рn=1×2×3…×n=n!(эн-факториал)
Пример:
123; 321; 231; 213; 132; 312
Р 3 =3!=1×2×3=6 Ответ:6
2) В ауд 5 столов. Сколькими способами м рассад 5 чел.
Р 5 =5!=120. Ответ: 120
Размещение
Размещениями из n элементов по m элементов называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и различающиеся между собой элементами или их расположением.
А n m =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
А n m =P n:P m - n
Пример:
1) Информация кодируется словами из 4 цифр,цифры в словах не повтор. Сколько м сост слов д/кодир-я информ.
n=10 (0,1,2..9), m=4
A 10 4 =10!:(10-4+1!)=10×9×8×7=5040
Ответ: 5040
3. Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m элементов (m <n ) называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом.
С n m = А n m: P m =n!:(m!×(n-m)!)
n!-кол-во чисел
m!×(n-m)!-кол-во групп
пример:
1) в урне 3 белых и 7 черных шаров.Скольк сущ возм-тей вынуть из урны 2 шара одного цвета?
C 3 2 -число возм-тей вытянуть 2 белых шара
C 3 2 =3!:(2!1!)=3
C 7 2 -число возм-тей вытянуть 2 черных шара
С=C 3 2 +C 7 2 =21+3=24. Ответ: 24
Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Теорема сложения.
Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В
Пример:
1) А-событие вынуть из колоды красную карту
В-событие вынуть туза
(рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек)
С=А+В
Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий
Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:
РS(сверху n,снизу i=1)А i =S(сверху n,снизу i=1) Р(А i)
Пример:
1) Произв выстрел по мешени сост из 3х зон
Вероятность попадания в первую зону-0,1
Во вторую-0,3
В третью – 0,4
Определ вероятность попадания в мешень.
1. Обозначение событий и их вероятностей.
А 1 -событие попадания в первую зону
А 2 -во вторую
А 3 -в третью
А-событие попадания в мешень
2. Составим расчетную формулу:
А=А 1 +А 2 +А 3
А 1, А 2, А 3 -несовместные события
Р(А)= Р(А 1)+Р(А 2)+Р(А 3)
3. Расчет:
Р(А)=0,1+0,3+0,4=0,8(80%)
Противоположные события -если они несовместные и образуют полную группу.
А(с – сверху)- противоположное событие
Следствие 1 из теоремы 1:
Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1
Док-во:
Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события)
* Событие назыв достоверным ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)
События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1:
Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1
Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях:
где р А произошло; q - вероятность того, что событие А не произошло.
Следствие 2 из теоремы 1:
Если событие А 1 ,А 2 , … А n образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей:
Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(А n)=1
S(сверху n,снизу- i=1) Р(А i)=1
* сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице
Пример:
1) Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи:
Р(А с -)=1-Р(А)=1-0,8=0,2(20%)
Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения)
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.
Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Теорема умножения вероятностей.
О. событие А независимое от В , если вероятность события А не зависит от того,появ ли событие В или нет. В противном случае событие А зависимо от В .
Условная вероятность- Р(А/В)- вероятность события А выше при условии что событие В произошло.
Условная независимость событий.
Если выпад соотношение что:
Р(А/В)=Р(А/В с черточкой)=Р(А)
Р(В/А)=Р(В/Ас черточкой)=Р(В) – независимые события.
Пример :
1) В урне 10 шаров. 7-белых. 3-черных.
Наугад берется 1 шар, потом другой. Найти вероятность того,что оба шара белые.
1. Обозн событий:
А-событие что второй шар белый
В-событие что первый шар белый.
2. Расчеты:
Р(А/В)=(7-1):(10-1)=2/3
Р(А/Вс черточкой)=7:(10-1)=7/9
Р(А/В) ≠Р(А/Вс черточкой)→А,В зависимые.
Теорема 3. Умножение вероятностей 2 независимых событий.
Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при усл что первое событие имело место.
Р(А×В)=Р(А)×Р(В/А)= Р(В)×Р(А/В)
Если А и В независимы,то вероятность 2х событий равна произведению их вероятностей:
Р(А×В)=Р(А)×Р(В)
Если событий больше 2х,то:
Р(∩-сверху n снизу i=1 ×А i)=∩-сверху n снизу i=1Р(А i)
Следствие 1
Если события А 1 ,А 2 , … А n -равновероятны, т.е. вероятность
Р(А 1)=Р(А 2)=…=Р(А n)=Р у, то
Р(∩-сверху n снизу i=1 ×А i)=Р n
Следствие 1 (совместны)
Если события А 1 ,А 2 , … А n -независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой:
Р >=1 =1-(1-Р(А 1))(1-Р(А 2))…(1-Р(А n))
Р(А 1)=Р(А 2)=…=Р(А n)=Р
Р >=1 =1-(1-Р) n
Пример :
1) Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов.
а) случай параллельного соединения
б) последовательного
если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6
1. Обозн событий:
А 1 -событие исправной работы 1ого элемента
А 2 -второго
2. Расчет формулы:
а) А=А 1 +А 2 (или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий :
Р(А)=Р(А 1)+Р(А 2)-Р(А 1 ×А 2)
Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей.
б) А=А 1 ×А 2
Р(А)=Р(А 1)×Р(А 2)
3. Расчеты:
а) Р(А)=0,5+0,6-0,5*0,6=0,8(80%)
б) Р(А)=0,5*0,6=30%
Условная вероятность. Условие зависимости событий. Теорема умножения вероятностей.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Формула полной вероятности.
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н 1 ,Н 2 , … H n образующих полную группу несовместных событий
Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид:
Р(А)=S(сверху n,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i)
Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий.
По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу
Пример
:
1) Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый?
1. Обозн событий:
А-событие, что вынутый шар белый
Н 1 - гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н 2 -из второй, Н 3 -из третьей.
2. Расчет формула:
Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i) *3-т.к. 3 урны
3. Расчеты:
Р(Н 1 )= Р(Н 2 )= Р(Н 3 )=1/3- вероятность что он подойдет к урне
Р(А/ Н 1 )=4:(4+6)=0,4(40%)
Р(А/ Н 2 )=3/8
Р(А/ Н 3 )=1
Р(А)=1/3*4/10+1/3*3/8+1/3*1=59%
*59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар.
2) Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков.
1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака
Н 1 -гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н 2 -со второй
2. Расчетная формула: Р(А)= S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н i) × Р(А/Н i) *2-т.к. 2 фабрики
3. Р(Н 1 )* Р(Н 2 )=3/4*1/4
Р(А/ Н 1 )=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-…
Р(А/ Н 2 )=1-0,05=0,95
Р(А)=9/10*3/4+1/4*95/100=91%
3) Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но.
1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт
Н 1 -гипотеза,изделие 1ого вида Н 2 -2ого вида Н 3 -3его вида
2. Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i) *3-т.к. 3 вида изделий
3. Р(Н 1 )=160/950
Р(Н 2 )= 430/950
Р(Н 3 )=360/950
Р(А)= 160/950*0,9+430/950*0,8+360/950*0,6=74%
Теорема гипотез (формула Байеса)
*Событие – результат (исход) испытания.
*Вероятность события -число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.
Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место.
Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности.
Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле:
Р(Н i /А)= (Р(Н i)× Р(А/Н i)):(S(сверху n,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i))
Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события.
Пример :
1) В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без?
1. Обозн событий и их вероятностей:
А-событие попадания в цель
Н 1 -гипотеза,из опт винтовки
Н 2 -без оптики
2. Расчетн формулы:
Вероятность гипотезы Н i до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события:
Р(Н 1 /А)= (Р(Н 1)× Р(А/Н 1)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i))
Р(Н 2 /А)= (Р(Н 2)× Р(А/Н 2)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i))
3. Расчеты:
Р(Н 1)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок
Р(Н 2)=2/5
Р(А/Н 1)=95/100
Р(А/Н 2)=70/100
Р(Н 1 /А)=(3/5*95/100):(3/5*95/100+2/5*70/100)=57/85
Р(Н 2 /А)=(2/5*70/100):(3/5*95/100+2/5*70/100)=28/85
Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки.
2) С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера.
1. А-событие что деталь небрак
Н 1 -гипотеза,что с первого конвеера
Н 2 -со второго
Н 3 -с третьего.
2. Р(Н 3 /А)= (Р(Н 3)× Р(А/Н 3)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н i)× Р(А/Н i))
3. Р(Н 1 )=m/n=150/(150+300+350)=150/800
Р(Н 2 )= 300/800
Р(Н 3 )=350/800
Р(Н 1 )+Р(Н 2 )+Р(Н 3 )=1
Р(А/Н 1)=1-0,3=0,7
Р(А/Н 2)=1-0,2=0,8
Р(А/Н 3)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза.
Р(Н 3 /А)=(7/16*8/10):(3/16*7/10+3/8*8/10+7/16*8/10)=44,8%
1. Изложение основных теорем и формул вероятностей: теорема сложения, условная вероятность, теорема умножения, независимость событий, формула полной вероятности.
Цели: создание благоприятных условий для введения понятия вероятности события; знакомство с основными теоремами и формулами теории вероятностей; ввести формулу полной вероятности.
Ход занятия:
Случайным экспериментом (опытом) называют процесс, при котором возможны различные исходы, причем заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Возможные исключающие друг друга исходы опыта называются его элементарными событиями . Множество элементарных событий обозначим через W.
Случайным событием называется событие, о котором нельзя заранее сказать, произойдет оно в результате опыта или нет. Каждому случайному событию А, происшедшему в результате опыта, можно поставить в соответствие группу элементарных событий из W. Элементарные события, входящие в состав этой группы, называют благоприятствующими появлению события А.
Множество W также можно рассматривать как случайное событие. Поскольку оно включает все элементарные события, то обязательно произойдет в результате опыта. Такое событие называют достоверным .
Если для данного события нет благоприятствующих элементарных событий из W, то и результате опыта оно произойти не может. Такое событие называют невозможным.
События называют равновозможными , если в результате испытания обеспечиваются равные возможности осуществления этих событий. Два случайных события называются противоположными , если в результате проведения опыта одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначают .
События А и В называют несовместными , если появление одного из них исключает появление другого. События А 1 , А 2 , ..., А n называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События А 1 , А 2 , ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий , если в результате испытания обязательно произойдет одно и только одно из них.
Суммой (объединением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие С, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А 1 , А 2 , ..., А n Сумма событий обозначается следующим образом:
C = A 1 +A 2 +…+A n .
Произведением (пересечением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие П, которое состоит в том, что одновременно произошли все события А 1 , А 2 , ..., А n . Произведение событий обозначается
Вероятность Р(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.
Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпадает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относительную частоту выпадений цифры 4 в данной серии испытаний. В более общем случае частотой случайного события А при проведении серии опытов называют отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов:
где Р*(А) - частота события А; m - число опытов, в которых произошло событие А; n - общее число опытов.
Вероятностью случайного события А называют постоянное число, около которого группируются частоты данного события по мере увеличения количества опытов (статистическое определение вероятности события ). Вероятность случайного события обозначают Р(А).
Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неограниченное число испытаний для того, чтобы определить вероятность. В этом нет и необходимости. Практически за вероятность можно принять частоту события при большом числе испытаний. Так, например, из статистических закономерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивается в 0,515.
Если при испытании нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появилось бы чаще других (равновозможные события ), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадения герба (событие А). разными экспериментаторами при нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к 0,5. учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А)=Р(В)=0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.
Пусть рассматриваемое событие А происходит в m случаях, которые называются благоприятствующими А, и не происходит при остальных n-m, неблагоприятствующих А.
Тогда вероятность события А равна отношению количества благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу (классическое определение вероятности события ):
где m - количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; n - Общее количество элементарных событий.
Рассмотрим несколько примеров:
Пример №1: В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероятность того, что наугад выбранный шар будет черным.
Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: m = 10. общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равна полному числу шаров в урне: n = 40. Эти события несовместны, так как вынимается один и только один шар. Р(А) = 10/40 = 0,25
Пример №2: найти вероятность выпадения четного числа при бросании игральной кости.
При бросании кости реализуется шесть равновозможных несовместных событий: появление одной цифры:1,2,3,4,5 или 6, т.е. n = 6. благоприятствующими случаями являются выпадение одной из цифр 2,4 или 6: m = 3. искомая вероятность Р(А) = m/N = 3/6 = ½.
Как видим из определения вероятности события, для всех событий
0 < Р(А) < 1.
Очевидно, что вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.
Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Для двух несовместных событий А и В вероятностей этих событий равна сумме их вероятностей:
Р(А или В)=Р(А) + Р(В).
Пример №3: найти вероятность выпадения 1 ил 6 при бросании игральной кости.
Событие А (выпадение 1) и В(выпадение 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому Р(А или В) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.
Пример №4: в урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.
Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) равна Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного шара (событие С) равно Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) +Р(В) =Р(С) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/10
Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:
Р(А) + Р() = 1
В выше рассмотренном примере вынимание белого, черного и красного шара будет событием А 1 , Р(А 1) = 7/10. Противоположным событием 1 является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р( 1) = 15/50 = 3/10 и Р(А) + Р() = 7/10 +3/10 = 1.
Если события А 1 , А 2 , ..., А n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.
В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р (АВ).
Теорема умножения вероятностей:
События А и В называются независимыми , если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот, вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или нет.
Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей . Для двух событий Р(А и В)=Р(А)·Р(В).
Пример: В одной урне 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными.
Решение: вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) – Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) – Р(В) = 3/20
Р(А и В)=Р(А)·Р(В) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.
На практике нередко вероятность события В зависит оттого, произошло некоторое другое событие А или нет. В этом случае говорят об условной вероятности , т.е. вероятности события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность обозначают P(B/A).
ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.
Основные определения и формулы:
Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).
Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .
Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:
1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;
2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.
Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.
Р(А) = n (A ) / n ,
где n – общее число равновозможных исходов,
n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.
Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.
Решение типовых примеров
Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:
А – “все извлеченные шары красные”;
В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;
С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.
Решение:
Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).
Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.
Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.
Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.
Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.
Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:
D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;
Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.
Решение:
Для вычисления n
(D
) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один
шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D
благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно
содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n
(D
) = 
P (D ) = 28/120.
Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:
1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;
2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.
Поэтому: n
(E
)=
Р(Е) = 36/120.
Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:
А – все частицы попали во вторую ячейку;
В – все частицы попали в одну ячейку;
С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );
D – все ячейки заняты (M =N +1);
Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.
Решение:
Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .
Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .
Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .
Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:
n
(C
)
= N
*(N
-1)*…*(N
+M
-1) и Р(С) = 
В частном случае при M =N : Р(С)=
Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.
Итак, n
(D
)
=
.
Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому:
Различные определения вероятности случайного события
Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.
Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:
Классическое определение вероятности случайного события.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.
Где
Число благоприятных исходов опыта;
Общее числоисходов опыта.
Исход опыта называется благоприятным для события , если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .
Примеры.
1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.
2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.
3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5
Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:
1) все исходы опыта должны быть равновероятными;
2) опыт должен иметь конечное число исходов.
На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.
Пример . Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.
Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):
Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?
Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):
Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:
Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:
Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:
Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:
, где
Обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.
Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.
Задача. (О встрече)
Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?
Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.
Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке
Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:
В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятымв настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).
Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.
Относительной частотой появления случайного события называется отношение числа появлений события в испытаниях к общему числу проведенных испытаний:
Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий и верно следующее:
Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие означает появление бубей , событие означает появление червей, а событие - появление карты красной масти. Очевидно, события и несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события или возле события , т.е. .
Назовем вероятностью случайного события число, сопоставленное событию по следующему правилу:
Для несовместных событий и
Итак,
|
Относительная частота |