iwbe.ru → Цитаты

Обобщенные координаты, обобщенные силы. Аналитическая механика. Классификация связей. Примеры. Возможные перемещения Обобщенные силы определение свойства краткое

1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.

2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (226"), т. е.

3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226""), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если , а остальные , то из (179") имеем

Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата . Если варьируемой координатой является , то

. (227")

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив: для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю

. (228")

Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

, (229)

где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:

Пусть голономная система имеет степеней свободы и, следовательно, ее положение в пространстве определяетсяобобщенными координатами
.

Подставляя (225) в (226) и изменяя порядок суммирования по индексам и, получим

. (226")

где скалярная величина

называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате . Используя известное выражение для скалярного произведения двух векторов, сообщенную силу можно также представить в виде

–проекции силы на оси координат;
– координаты точки приложения силы.

Размерность обобщенной силы в соответствии с (226") следующим образом зависит от размерности , совпадающей с размерностью:

, (228)

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы силы (энергии) или момента силы, деленной на размерность обобщенной координаты, к которой отнесена обобщенная сила. Из этого следует, что обобщенная сила может иметь размерность силы или момента силы.

Вычисление обобщенной силы

1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.

3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226""), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если
, а остальные
, то из (179") имеем

Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата. Если варьируемой координатой является, то

. (227")

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

. (228")

3.6.7. Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

, (229)

где – активная сила, приложенная к-ой точке системы;– сила реакции связей;
– сила инерции точки;– возможное перемещение.

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

где
– координаты-ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей
. Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где
– возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е.
.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси
. Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол
вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному векторуи главному моменту
. Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения
. Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

если угол
сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения.

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол
вокруг оси
, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Так как силы инерции при плоском движении твердого тела можно привести к главному вектору и главному моменту
(если за центр приведения выбрать центр масс), то сумма элементарных работ сил инерции на плоском возможном перемещении сведется к элементарной работе отавною вектора сил инерции
на возможном перемещении центра масс и элементарной работе главного момента сил инерции на элементарном поворотном перемещении вокруг оси
, проходящей через центр масс. При этом не равную нулю элементарную работу может совершить только проекция главного момента сил инерции на ось
, т.е.
. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем

если поворот на элементарный угол
направить по дуговой стрелке для.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность

[Q]= Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [q ] = м 2 , то [Q]=H/м и т.п.

Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.10

Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р , получим обобщенную силу

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р , колечко М , переместится на . Обобщенная сила получится

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и . Получается гораздо проще.

Уравнения равновесия Лагранжа

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…,s , где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q k = 0, (k =1,2,3,…, s ). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа , позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М 1 имеет минимум, в положении М 2 – максимум. Можно заметить, что в положении М 1 равновесие будет устойчивым; в положении М 2 – неустойчивым.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.

Рис.12

Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .

Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или

В положении равновесия должно быть . Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА 1 и ОА 2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , . Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.

Обобщенные силы инерции.

По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q k , соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S k , соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:

Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s ) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими . Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ , которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l , вес – Р .

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Составляем уравнение

или, окончательно,

Вопросы для самопроверки

Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

Чему равно число степеней свободы механической системы?

В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

Что называют возможными перемещениями механической системы?

Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

Какие связи механической системы называют идеальными?

Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

Как формулируется принцип возможных перемещений?

Какие виды может иметь уравнение работ?

Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

Как формулируется золотое правило механики?

Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

Какие связи называются голономными?

Что называется числом степеней свободы механической системы?

Что называется обобщенными координатами системы?

Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

Что называется обобщенной силой?

Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

Как определяется размерность обобщенной силы?

Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

Что такое обобщенная сила инерции?

Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

Какой вид имеет общее уравнение динамики?

Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

Какие связи называются геометрическими?

Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

Что называется кинетическим потенциалом системы?

Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 1

Р 1, кН Р 2, кН q , кН/м M , кНм Р 1 , кН Р 2, кН q , кН/м M , кНм

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Рис.16 Рис.17

Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).

Освободимся от связи, соответствующей реакции X A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.

Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB , поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х ), находим мгновенный центр скоростей C 1 рамы АЕС . Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C 1 на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)

Из подобия треугольников EC 1 C и BCD имеем

В результате получим зависимости:

Согласно принципу возможных перемещений

Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:

Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна.

АДАПТАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПРИСПОСОБЛЕНИЯ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ К ЭКСТРЕМАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ СРЕДЫ

Б) СПОСОБЫ ПЕРЕВОДА СЛОВ, ОБОЗНАЧАЮЩИХ НАЦИОНАЛЬНО-СПЕЦИФИЧЕСКИЕ РЕАЛИИ

В зависимости от наличия тех или иных морфологических элементов сыпи выделяют различные типы дермального ангиита.

В клинической практике выделяют различные формы афазий, дизартрии, алалию, мутизм и общее недоразвитие речи.

Взаимосвязь мероприятий по охране труда и рентабельности работы хозяйственных субъектов. Реальные способы улучшения условий труда и его охраны без конфликтов с работодателями.

Виды буксирных линий. Способы подачи и крепления буксирных канатов.

1. Согласно определению (2.26) , обобщенная сила

Принимая во внимание, что , получаем

(2.28)

Этот способ определения обобщенных сил называют аналитическим.

Пример 2.11. Найти обобщенную силу Q q = j , если в кривошипно-ползунном механизме (рис.2.10) OA=AB= l, ¾ вертикальная, а ¾ горизонтальная силы.

Решение. Так как F 1 x =0 и F 2 y =0 ,то обобщенная сила согласно (2.28)

Проекции сил и координаты точек их приложения определяются как

F 1y =- F 1 ; F 2x =- F 2 ;

Рис.2.10 y A = l sin j ; x B = 2 l cos j.

Следовательно, Q q = j = - F 1 l cos j + 2F 2 l sin j.

2. Укажем на более простой способ вычисления обобщенной

силы, полезный при решении задач.

Обобщенные силы для механических систем с числом степеней свободы s=k > 1 целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит и их вариации независимы между собой. Системе всегда можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются. В этом случае из (2.27)

. получаем

(2.29)

откуда (2.30)

Индекс q i в (2.30) означает, что виртуальная работа сил, действующих на систему, определяется на перемещениях точек приложения этих сил, соответствующих вариации только одной i– йобобщенной координаты.

Пример 2.12 Найти обобщенные силы и для системы, показанной на рис. 2.11. Масса груза (1) равна m 1 , массацилиндра (2)равна m 2 , а его радиус ¾ r. Нить по блоку (3) и цилиндру (2) не скользит. Центр масс цилиндра (2) движется вдоль вертикали.

Решение. Для определения обобщенной силы зададим приращение ds ¹ 0 координате груза (1), а для угла j поворота цилиндра (2) ,будем считать

dj =0. При этом центр масс цилиндра (2)

будет иметь перемещение, равное перемещению груза. Следовательно,

Рис.2.11

где P 1 =m 1 g; P 2 =m 2 g .

Определяя , будем полагать, что ds=0, а dj ¹ 0. Тогда

3. Если силы, действующие на механическую систему, потенциальные, то для определения обобщенных сил можно использовать силовую функцию U или потенциальную энергию П системы.

Потенциальная сила

(2.31)

Подставляя проекции силы в (2.30) , получаем

Пусть имеем систему материальных точек , подчиненную s удерживающим связям, уравнения которых имеют вид, приведенный выше.

Если бы система была свободной, то все декартовых координат ее точек были бы независимыми. Для указания положения системы потребовалось бы задать все декартовых координат ее точек . В несвободной механической системе декартовых координат ее точек должны удовлетворять s уравнениям связей, поэтому независимыми среди них будут только координат.

Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы системы.

Следовательно, механическая система, состоящая из N свободных материальных точек, имеет степеней свободы. Несвободная система из N материальных точек с s удерживающими связями степеней свободы.

Определяя положение несвободной системы, мы можем независимо задавать только координат; остальные s координат определяются из уравнений связей. Однако положение несвободной системы можно задавать более удобным способом - вместо независимых декартовых координат задавать такое же число других геометрических величин, через которые декартовы координаты (как зависимые, так и независимые) могут быть однозначно выражены. В качестве таких величин, называемых обобщенными координатами системы, могут выбираться углы, линейные расстояния, площади и т.п. Удобство состоит в том, что обобщенные координаты можно выбирать с учетом наложенных связей, т.е. сообразуясь с характером движения, допускаемого для системы всей совокупностью наложенных связей. При этом связи учитываются автоматически, а необходимость решать уравнения связей относительно зависимых координат отпадает.

Пример 1. Положение физического маятника, состоящего из шарнирно закрепленного в точке О тяжелого стержня О А, вполне определяется заданием угла (рис. 78). Если угол задан, то для любой точки стержня с заданным расстоянием могут быть вычислены ее декартовы координаты:

Пример 2. Для механической системы, состоящей из математического маятника на подвижной платформе (рис. 79), положение в пространстве вполне определяется величинами s и ( заданы).

Положение платформы определяется расстоянием s, координаты точечной массы М также легко вычисляются:

Величины (пример 1), и s (пример 2) являются обобщенными координатами указанных систем. Это понятие можно распространить на случай произвольной механической системы.

Таким образом, обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы .

Независимо от геометрического смысла и, соответственно, размерности, обобщенные координаты обозначают единообразным способом, буквой q с номером: . Из того факта, что обобщенные координаты однозначно определяют положение механической системы в выбранной системе координат Oxyz, следует, что существуют функции

выражающие декартовы координаты всех точек системы через обобщенные координаты и, быть может, время t. Конкретный вид этих функций устанавливается свой для каждой системы (см. примеры 1 и 2).

Если ввести радиусы-векторы точек () указанные функции можно представить в векторной форме

Введем теперь понятие обобщенной силы. Зафиксируем систему в произвольный момент времени t и сообщим ей из этого положения возможное перемещение.

Пусть в результате обобщенные координаты получают приращения (вариации) . Соответствующие элементарные перемещения точек системы найдем, вычисляя дифференциалы функций при фиксированном () времени:

Вычисляя возможную работу приложенных сил, найдем:

Видно, что возможная работа выражается однородной функцией первой степени (линейной формой) относительно вариаций обобщенных координат с коэффициентами

т. e. имеет вид

Коэффициенты называются обобщенными силами.

Таким образом, каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила . При этом обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется коэффициент при вариации этой обобщенной координаты в выражении для возможной работы сил, приложенных к точкам системы.

Обобщенные силы можно вводить для отдельных групп сил, например для активных сил, для реакций связей, для потенциальных сил и т.д. Тогда полная обобщенная сила будет выражаться суммой обобщенных сил, соответствующих этим выделенным группам. Так, если действующие силы поделены на активные силы и реакции связей, то полные обобщенные силы будут равны

где - обобщенные активные силы, - обобщенные реакции связей.

Обобщенные реакции идеальных связей всегда равны нулю. По этой причине реакции идеальных связей можно при вычислении обобщенных сил игнорировать.

Пример 3. Вычислить обобщенную силу физического маятника, состоящего из стержня ОА длиной и массой (рис. 80).

Решение. Физический маятник является системой с одной степенью свободы . Следовательно, положение маятника определяется одной обобщенной координатой, в качестве которой выберем угол наклона к вертикали .

Изображаем маятник в произвольном положении, прикладываем действующие силы. Реакции в опоре А можно не показывать, так как шарнир является идеальной связью и его вклад в обобщенную силу равен нулю. Сообщаем системе возможное перемещение - элементарный поворот маятника на угол в сторону возрастания угла . Работу совершает только вес маятника . Его точка приложения (центр тяжести С стержня) опишет дугу длиной , при этом поднимется вдоль вертикали на величину , совершив элементарную работу